Divulgación Duda sobre compresión angular relativista.

[inakigarber]

Buenas tardes; Tengo una duda sobre la compresión angular relativista.
Supongamos una nave espacial que se desplazara a la velocidad de cercana a c. Un rayo de luz procedente de una fuente situada detras de la nave incide sobre esta formando un ángulo $\phi'$ medido en el propio sistema de referencia de la nave. Tal como se indica en la figura adjunta.

Un observador que estuviera en tierra mediria un ángulo distinto $\phi$ en función de las transformaciones de Lorentz.

Esta diferencia de ángulos ¿tiene aguna relación con la expresión

$$\boxed{\cos{\phi'}=\frac{\cos{\phi}-\frac{v}{c}}{1-\frac{v(\cos{\phi})}{c}}}$$

que he encontrado en varios documentos en la red?
Lo pregunto porque cuando he tratado de deducir esta formula utilizando la contracción de las longitudes me he encontrado con resultados distintos.
Utilizando la contracción de longitudes me encuentro con que la componente x del triangulo es menor en función del factor $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ en tanto que la altura permanece constante, por lo que aumenta el ángulo como se ve en la figura. Sin embargo, cuando sustituyo por valores númericos me dan resultados distintos aplicando la contracción de longitudes y la formula arriba indicada. ¿Que es lo que hago mal?

[Breogan]

Re: Duda sobre compresión angular relativista.

Hola:

Primero te quiero aclarar que no analice matemáticamente el problema, ni se mucho de relatividad. Así que no es de estrañar que este mandando fruta!!! Pero como nadie contesta me atrevo a un pequeño análisis.

Te lo ejemplifico con un triangulo rectángulo para el observador inercial en reposo con respecto a la fuente de luz (me es mas fácil pero creo que es lo mismo con otro tipo de triangulo).

Primero este observador medirá en su sistema la distancia perpendicular entre el foco y la trayectoria de la nave (punto F foco, punto O punto de la normal sobre la trayectoria, segmento OF distancia).

El evento de la emisión del rayo de luz inclinado por el foco y que la nave pase por O sobre su trayectoria, tiene que ser simultaneo para este observador (sino no puede realizar el calculo del angulo), esto lo puede lograr poniéndose en medio del segmento OF, desde ahí vera cuando se junten el rayo de luz y la nave, que por ser en el mismo lugar espacial no hay problemas con la simultaneidad. Queda formado el triangulo para este observador y determina el angulo buscado.

Ahora para el observador que esta en la nave, el evento de emitir la luz por el foco y que la nave pase por el punto O ya no son simultáneos Para este observador el foco recién se encendió un tiempo t después de que la nave paso por O. Entonces el triangulo que puede construir este observador va a tener un lado menor que el correspondiente del otro sistema transformado por Lorentz.

Es mas, para mi el observador en la nave construye un triangulo isósceles con altura igual a OF, pero de esto estoy menos seguro que de lo anterior.

Espero no haber dicho una burrada, o que por lo menos sirva de punto de partida para entender.

Suerte

[inakigarber]

Re: Duda sobre compresión angular relativista.

Hola:

.... Así que no es de estrañar que este mandando fruta!!! Pero como nadie contesta me atrevo a un pequeño análisis.

...Es mas, para mi el observador en la nave construye un triangulo isósceles con altura igual a OF, pero de esto estoy menos seguro que de lo anterior.
...
Suerte

Buenas noches Yo tampoco entiendo mucho sobre relatividad, y no se si estoy dando palos de ciego. Todo esto vino a raiz de un video que ví de la serie cosmos en la que Carl Sagan explicaba que si viajaramos a una velocidad cercana a la de la luz veríamos imagenes distorsionadas tanto en los colores (efecto Doppler) como en las formas. E incluso veríamos la luz de objetos situados tras nosotros. Esto último me tuvo intragado durante un tiempo, pero creo que ya lo entiendo satisfactoriamente. Es mas, ahoras me parece tan lógico que no entiendo como no lo entendia anteriormente. En cuanto a lo de los triángulos yo los veo como triángulos rectangulos tal y como los dibuje en la imagen anterior.
En todo caso te agradezco la respuesta. Un saludo.

[guibix]

Re: Duda sobre compresión angular relativista.

Buenas,

No sé si la fórmula que pusiste es correcta o no, pero si lo buscas por tangentes es más fácil. Si la longitud en el eje del movimiento es $a$ y la del eje vertical $b,$ entonces el ángulo en reposo es

$$\tan\phi=\frac b a$$

Para el observador que ve moverse el triángulo a una velocidad $v$, lo único que cambia es el valor de $a$ que pasa a ser $a'=\dfrac {a}{\gamma}$, por lo que nos queda

$$\tan\phi'=\frac b a \gamma$$

Con esto deberías poder comprobar si la formula que pusiste es correcta o no.

Saludos.

[Breogan]

Re: Duda sobre compresión angular relativista.

Hola:

Lo que plantee en el post anterior no esta del todo mal, pero creo que no es aplicable a este problema en particular. Estoy tratando de llegar a una deducción de la formula para luego ponerla en la pagina.
En el primer planteo que hice llegue a una expresión similar a la de guibix, pero este razonamiento asume que el angulo de 90º se conserva para los dos observadores, tanto el fijo como el móvil, esto yo no estoy en condiciones de afirmarlo y a mi me parece dudoso que suceda así.

Suerte.

[guibix]

Re: Duda sobre compresión angular relativista.

Estoy tratando de llegar a una deducción de la formula para luego ponerla en la pagina.
En el primer planteo que hice llegue a una expresión similar a la de guibix, pero este razonamiento asume que el angulo de 90º se conserva para los dos observadores, tanto el fijo como el móvil, esto yo no estoy en condiciones de afirmarlo y a mi me parece dudoso que suceda así.

Sí, el ángulo de 90º se conserva para los dos observadores. Fíjate que solo se contrae la longitud en la dirección del movimiento, por lo tanto el triangulo sigue siendo rectángulo. El dibujo que ha puesto inakigarber es correcto.

Lo que dices sería verdad si el movimiento no tuviera la dirección de ninguno de los catetos.

Salud!

[Breogan]

Re: Duda sobre compresión angular relativista.

Hola:

Yo no estoy tan seguro.
Pensemos la siguiente situación, que no tiene porque estar relacionado con el experimento original.

Supongamos que tenemos una nave con una altura h y en el techo de esta hay un agujero muy chiquito (una mirilla), en el piso de la nave tenes una marca tal que la linea que la une con el agujero en el techo es perpendicular al eje longitudinal de la nave.

Fuera de la nave, en el espacio y estático con respecto a nosotros en nuestro sistema de referencia, hay un rayo láser cuya luz es perpendicular a la trayectoria que va a seguir la nave.

Cuando pasa la nave por debajo del láser justo en nuestra posición nosotros veríamos la perpendicularidad entre el láser y el eje longitudinal de la nave.

En el mismo instante el observador ve que por la mirilla en el techo de la nave (único contacto con el exterior, para no complicarla) entra un trozo de luz (no quiero hablar de fotones) que va a tardar un tiempo t en llegar al piso.
Este foton va a chocar en el punto marcado en el piso? Su choque va a estar desplazado en el sentido de avance o en el sentido contrario? Cual seria el valor del angulo del rayo de luz medido por el observador en la nave?

Yo creo que tengo algunas respuestas, pero no estoy seguro. Asi que espero sus comentarios.

Gracias.

Suerte

[Jose D. Escobedo]

Re: Duda sobre compresión angular relativista.

Hola
El resultado sale directamente de la adicion de velocidades en teoria especial de la relatividad.

$\dst{\dot x}'=\frac{\dot x-v}{1-\frac{v\dot x}{c^2 } }$ donde, ${\dot x}'=c \cos \phi'$ y $\dot x=c \cos \phi$.

Tambien, se puede obtener ese resultado de $\dst\cos \phi'=\frac{x'}{ \sqrt{x'^2+y'^2}}$ al pasar del sistema $S'$ al $S$ con ayuda de las transformaciones de Lorentz.

Saludos
Jose

[inakigarber]

Re: Duda sobre compresión angular relativista.

Hola
El resultado sale directamente de la adicion de velocidades en teoria especial de la relatividad.

$\dst{\dot x}'=\frac{\dot x-v}{1-\frac{v\dot x}{c^2 } }$ donde, ${\dot x}'=c \cos \phi'$ y $\dot x=c \cos \phi$.

....Jose

“Pero qué tontos hemos sido. Esto es maravilloso y justo como debe ser”
Esta frase la pronuncio Bohr cuando le explicaron la solución a la que habia llegado Meitner para explicar los resultados de bombardear uranio con neutrones. A mi tambien se me ha quedado cara de tonto. No me habia dado cuenta del parecido entre esta formula y la suma reativista de velocidades.

[Breogan]

Re: Duda sobre compresión angular relativista.

Hola:

“Pero qué tontos hemos sido. Esto es maravilloso y justo como debe ser”
Esta frase la pronuncio Bohr cuando le explicaron la solución a la que habia llegado Meitner para explicar los resultados de bombardear uranio con neutrones. A mi tambien se me ha quedado cara de tonto. No me habia dado cuenta del parecido entre esta formula y la suma reativista de velocidades.

No es tan maravilloso. La respuesta de Escobedo es:

$\dst\cos\varphi'=\frac{v'}{c }$

Y la formula que copiaste/posteaste es:

$\boxed{\cos{\phi'}=\frac{\cos{\phi}-\frac{v}{c}}{1-\frac{v(\cos{\phi})}{c}}}$

$\varphi=90^o$

$\dst\cos{\phi'}=\frac{\cos{90^o}-\frac{v}{c}}{1-\frac{v(\cos{90^o})}{c}}=-\frac{v}{c }$

Alguna de las dos esta mal o me estoy perdiendo algo en el medio.

A mi me dio la que posteo Escobedo.

Suerte

[inakigarber]

Re: Duda sobre compresión angular relativista.

Hola:
No es tan maravilloso. La respuesta de Escobedo es:
$\dst\cos\varphi'=\frac{v'}{c }$
Y la formula que copiaste/posteaste es:
$\boxed{\cos{\phi'}=\frac{\cos{\phi}-\frac{v}{c}}{1-\frac{v(\cos{\phi})}{c}}}$
$\varphi=90^o$
$\dst\cos{\phi'}=\frac{\cos{90^o}-\frac{v}{c}}{1-\frac{v(\cos{90^o})}{c}}=-\frac{v}{c }$
Alguna de las dos esta mal o me estoy perdiendo algo en el medio.
A mi me dio la que posteo Escobedo.
Suerte

Vamos a ver si voy entendiendo la cuestión. Escobedo dijo

Jose D. Escobedo

Re: Duda sobre compresión angular relativista.
Hola
El resultado sale directamente de la adicion de velocidades en teoria especial de la relatividad.

donde, y .

Si hacemos $x'=c\cos{\phi'}$ y $x=c\cos{\phi}$
y sustituyo en la formula relativista de suma de velocidades entonces tendremos;

$$c\cos{\phi'}=\frac{c\cos{\phi}-v}{1-\frac{v(c\cos{\phi})}{c^2}}$$

simplificando;

$$c\cos{\phi'}=\frac{c\cos{\phi}-v}{1-\frac{v(\cos{\phi})}{c}}$$

dividiendo ambos extremos por "c"

$$\cos{\phi'}=\frac{\frac{c\cos{\phi}-v}{c}}{1-\frac{v(\cos{\phi})}{c}}$$

De lo cual obtengo;

$$\boxed{\boxed{\cos{\phi'}=\frac{\cos{\phi}-\frac{v}{c}}{1-\frac{v(\cos{\phi})}{c}}}}$$

Que es lo que pretendia demostrar.
Por tanto, la formula que me intrigaba se puede demostrar, al menos mediante la suma relativista de velocidades. Supongo que tambien podra demostrarse mediante las Contracciones de Lorentz.

Por otra parte;

Alguna de las dos esta mal o me estoy perdiendo algo en el medio.

A mi me dio la que posteo Escobedo.

Suerte

dado que v nunca puede ser mayor que c, el vaor absoluto del cociente siempre sera igual o mayor que 1. En este caso el valor de $\cos{\phi'}$ implica un ángulo mayor que 90º y menor que 270º (al menos es lo que me sale a mí). De todos modos, agradezco las respuestas y el tiempo que habeis dedicado a contestarme. Gracias.