1r ciclo Precesión de Mercurio

[Oriol Frigola Manzano]

Hola,

Mi duda trata de la precesión de la órbita de mercurio, mi pregunta es, ¿porqué se produce?¿Hay alguna analogia o manera de entenderla sin tener que recurrir a las equaciones? por mucho que busco por internet no encuentro nada que me convenza del todo. Las explicaciones son tales como "porque como puedes ver en esta equación..." o "porque la deformación del espacio-tiempo provoca el efecto"(demasiado superficial). Creo que la explicación (la causa) debería poder entenderse sin matemáticas y estas ser usadas para cálculos en casos concretos, ¿no?

Muchas gracias!

Oriol F. M

[guibix]

Re: Precesión de Mercurio

Buenas Oriol,

Tu duda es interesante y es algo que se me había pasado por la cabeza.

No sé mucho de RG, pero creo que la clave está en las energías. Creo que la energía potencial gravitatoria es igual que la newtoniana $V=-\frac{GMm}{R},$ pero la cinética es la relativista $T=(\gamma-1)mc^2$. Por lo que la velocidad asociada a esa energía no es la misma. Es posible que en órbitas muy excéntricas (como la energía potencial y cinética se intercambian más), ésa diferencia entre la velocidad newtoniana y la relativista en el perihelio y el afelio, pueda resultar una precesión.

Si en el modelo newtoniano las órbitas son elipses perfectas, es lógico pensar que si algo cambia en el modelo, las órbitas dejarán de ser elipses perfectas.

Pero no sé suficiente de RG para afirmar que lo que digo es correcto, sólo es un razonamiento mío .

Salud!

[Jose D. Escobedo]

Re: Precesión de Mercurio

Hola,

Mi duda trata de la precesión de la órbita de mercurio, mi pregunta es, ¿porqué se produce?¿Hay alguna analogia o manera de entenderla sin tener que recurrir a las equaciones? por mucho que busco por internet no encuentro nada que me convenza del todo. Las explicaciones son tales como "porque como puedes ver en esta equación..." o "porque la deformación del espacio-tiempo provoca el efecto"(demasiado superficial). Creo que la explicación (la causa) debería poder entenderse sin matemáticas y estas ser usadas para cálculos en casos concretos, ¿no?

Muchas gracias!

Oriol F. M

Hola Oriol

Mi respuesta sería porque la energía potencial efectiva no es la misma en la teoría general de la relatividad que en la mecanica newtoniana. La mejor aproximación a la realidad es la teoría general de la relatividad (comprobada experimentalmente), es decir el comportamiento mas adecuado para el estudio del universo viene dado por esta. En este potencial hay un término cúbico inversamente proporcional, y que es el que causa la precesión de la órbita elíptica. Finalmente lo que te dijeron es cierto es por la "deformación del espacio-tiempo" y "la expresión que representa la energía potencial."
En mi opinión, a mi me gusta mas que muestren las respuestas con expresiones matematicas porque son menos ambiguas que el lenguaje.

Saludos
Jose

[guibix]

Re: Precesión de Mercurio

En éste artículo en PDF: "Energía Potencial Gravitacional Relativista y Caída Libre General" se deduce las energías cinéticas y potenciales. Lo de que el potencial es igual al newtoniano lo interpreté mal en la ecuación 3.5 que es una aproximación. La energía potencial relativista correcta es:

$$V=-m\left[\frac{GM}{R}+\frac{12G^2M^2}{R^2c^2}\right]$$

El término al cubo del que habla Jose, està en la misma expresión antes de simplificarla:

$$V=-\frac{m}{\left(1-\dfrac{2GM}{Rc^2}\right)^{3/2}}\left(\dfrac{4GM}{R}-c^2\right)$$

Para la explicación no matemática me quedaría con lo que ya dije: "Si el modelo newtoniano da como resultado elipses perfectas, cualquier desviación de ése modelo dará otro resultado distinto." Pero para saber cuanto se desvía del modelo newtoniano, entonces sí necesitarás de las matemáticas .

Saludos!

[Oriol Frigola Manzano]

Re: Precesión de Mercurio

Entiendo lo que decís, pero tambien he leído que hay un efecto muy típico de los espacios curvados, que es el de la variación de la dirección de un vector al hacer su transporte paralelo a lo largo de una superfície cerrada. Podria explicarse la precesión con este efecto?

[pod]

Re: Precesión de Mercurio

La energía potencial relativista correcta es

Cuidado con la definición de "correcta". Eso no deja de ser una aproximación, una corrección a la teoría Newtoniana; pero no da toda la interacción gravitatoria de la relatividad general (por ejemplo, en esa aproximación un cuerpo de masa cero no siente la gravedad, $m = 0 \longrightarrow V = 0$).

Aunque en principio debería ser posible escribir la relatividad como un potencial (al fin y al cabo, la relatividad se puede deducir a partir de la acción de Hilbert-Einstein, desarrollándola y quitando los términos con cuadrados de derivadas, que serían el término cinético, nos quedaría un potencial), pero la expresión seria increíblemente complicada y difícil de tratar. Lo que si se puede hacer es una solución perturvativa, una aproximación que permita realizar buenos cálculos en situaciones de campo débil como el sistema solar, mercurio por ejemplo.

Hola,

Mi duda trata de la precesión de la órbita de mercurio, mi pregunta es, ¿porqué se produce?¿Hay alguna analogia o manera de entenderla sin tener que recurrir a las equaciones? por mucho que busco por internet no encuentro nada que me convenza del todo. Las explicaciones son tales como "porque como puedes ver en esta equación..." o "porque la deformación del espacio-tiempo provoca el efecto"(demasiado superficial). Creo que la explicación (la causa) debería poder entenderse sin matemáticas y estas ser usadas para cálculos en casos concretos, ¿no?

Muchas gracias!

Oriol F. M

Primero, apunte quisquilloso repelente: mercurio no precesiona (bueno, seguramente sí tiene cierta precesión como la mayoría de cuerpos celestes, pero no es a lo que te refieres en este post). Lo que precesiona es el perihelio de la órbita de mercurio.

Esta es una de esas ocasiones en que creo que uno saca mucho dando la vuelta a la pregunta: ¿por qué en teoría de Newton las órbitas son cerradas?

Fíjate que una órbita elíptica se compone de dos movimientos independientes: un vaivén radial en el que el planeta se acerca y se aleja del sol, más el movimiento al rededor del mismo. La oscilación radial es sencilla de entender. Cuando el planeta se mueve lento, empieza a caer hacia el sol. En esa caída, gana velocidad. Cuando ha ganado suficiente, entonces va suficientemente rápido como para poderse alejar del sol. Pero al alejarse, pierde velocidad. Por lo tanto, el planeta vuelve a ir lento y vuelve a tender a caer. Y así sucesivamente.

Que la órbita sea una elipse perfecta significa que el tiempo que tarda en completar un vaivén es exactamente el mismo que el necesario para dar una vuelta al sol. Si la oscilación fuera más rápida que la translación, significaría que en la siguiente órbita el perihelio se produciría un poco antes de que se completara la órbita, y por lo tanto el perihelio precesionaría hacia atrás. Si fuera más lento, precesionaría hacia adelante.

Visto de esta forma, una órbita cerrada parece muy muy improbable. Las fuerzas de tipo $1/r^2$ son de las pocas que consiguen ese ajuste perfecto entre ambas frecuencias (hay más, pero no muchas más). Si el exponente no fuera exactamente dos, sino por ejemplo 2,000001, entonces ya no tendríamos órbitas cerradas.

En mecánica teórica existe un formulismo muy bonito para describir todo esto: las variables acción-ángulo y el teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser. Por desgracia, creo que estaría un poco fuera de lugar entrar en ello en este hilo, pero es de mis partes favoritas de la mecánica.

Volviendo a la relatividad, ¿qué nos hace pensar que las correcciones relativistas pueden alterar las frecuencias de esos dos movimientos? Pues es muy sencillo. Sabemos que el campo gravitatorio afecta a la velocidad relativa del tiempo. Cuanto más profundo está una partícula en un potencial gravitatorio con respecto del observador, más lento avanza su tiempo. Es fácil imaginarse que esta diferencia en el ritmo en el que transcurre el tiempo (relativo a un observador externo) hace variar la frecuencia de la oscilación radial. Y, por eso, es lógico pensar que el perihelio tiene que sufrir cierta precesión.