Divulgación Geodésicas: ¿las distancias más larga entre dos puntos del espacio-tiempo?

[Fermat]

¡Muy buenos días! Me he suscrito a la colección de RBA "Grandes ideas de la ciencia" y acabo de terminar de leerme, aprovechando las vacaciones, el libro dedicado a Einstein, especialmente a la relatividad especial y la relatividad general. El libro es divulgativo y muy interesante para alguien que lee por primera vez sobre el tema, como yo. El caso es que hay un punto que no comprendo y me gustaría que pudieseis aclarármelo. Estoy cursando 2º de Bachillerato y no tengo los conocimientos necesarios para entenderlo de manera "formal", os agradecería que lo explicarais a un nivel al que pueda llegar.

Según entiendo tras leer la explicación sobre las geodésicas, estas se podrían definir como la línea más corta que une dos puntos. Más tarde explican como con la métrica de Gauss aplican las geodésicas a superficies curvas teniendo en cuenta los "accidentes" de estas superficies. Esta parte no la he entendido matemáticamente, pero sí su finalidad.

Mi duda llega cuando hablan del espacio-tiempo de Minkowski. Para él el tiempo es una coordenada como las otras tres, por lo que cuando un cuerpo se mueve lo hace a lo largo de una "hipersuperficie" (así la llaman en el libro) no sólo consta de las tres coordenadas "de toda la vida" sino que también tiene en cuenta el tiempo. Ahora, cuando medimos la distancia, medimos la distancia en el espacio y también en el tiempo, por lo que dos posiciones expresadas con las cuatro coordenadas expresan no sólo el donde sino también el cuando.

Ahora dan unas ecuaciones en las cuales toman la distancia euclídea entre dos puntos muy próximos (ds):

$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$

Y le añaden la coordenada temporal:

$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2dt^2$
$ds'^2 = dx'^2 + dy'^2 + dz'^2 - c^2dt'^2$

Al medirla en dos sistemas de coordenadas diferentes se confirma que $ds^2 = ds'^2$ Si buscan la transformación de coordenadas entre los dos sistemas obtienen las ecuaciones de Lorentz.

Hasta aquí creo que lo he entendido todo más o menos, si bien no con el rigor matemática necesario, sí conceptualmente. La parte que no comprendo es la que viene ahora.

Si extraen la métrica de la expresión ds² les da lo siguiente:

$\left(<br /> \begin{matrix}<br /> 1 & 0 & 0 & 0\\<br /> 0 & 1 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 1 & 0\\<br /> 0 & 0 & 0 & -c^2<br /> \end{matrix}<br /> \right)$

Copio lo que pone el libro: "[...] Sus geodésicas son líneas rectas, pero el cambio de signo en el término temporal introduce una peculiaridad: no corresponden ya a la distancia más corta entre dos puntos del espacio tiempo, sino a la más larga."

Entiendo las implicaciones de poner un signo -, la geodésica haría justo el recorrido contrario. Lo que no entiendo son las implicaciones físicas que esto puede tener. Es decir, ¿cómo puede ser la distancia más larga entre dos puntos del espacio-tiempo? ¿Qué significa esto? Si todo el rato estamos calculando las geodésicas porque son las distancias más cortas entre dos puntos no sé que sentido tiene que ahora sean justo lo contrario. Además, si es la distancia más larga entre dos puntos y el tiempo es una coordenada más, ¿significa esto que también tendría que pasar el tiempo más largo entre los dos sucesos?

Es que ni siquiera soy capaz de atisbar a que se refieren. Probablemente estoy tratando de comprender conceptos demasiado complejos para mi nivel de conocimientos, pero sólo quería saciar mi curiosidad entendiéndolo de una manera más "de andar por casa". Supongo que en algún momento de la carrera se me explicará esto y lo entenderé mucho mejor.

Igual incluso he metido la gamba redactando los conceptos que yo creo entender y ando aún más perdido de lo que yo pensaba . En fin, agradezco cualquier respuesta que me pueda aclarar un poco el tema.

¡Un saludo!,
Fermat

[Oriol Frigola Manzano]

Re: Geodésicas: ¿las distancias más larga entre dos puntos del espacio-tiempo?

Hola,

justamente estoy escribiendo un artículo sobre el tema, dentro de poco lo colgaré por aquí... La geodesica, en espacios no curvados, es simplemente la típica recta, pero en espacios deformados la geodésica se puede definir como la curva más recta possible o la cual tiene como derivada covariante 0 del vector tangente, esto significa que si transportas un vector a lo largo de una curva geodésica, la variación de este será la provocada "por la curvatura" no por su propio cambio. Respecto lo que dices de la distáncia más larga, está claro que no puede ser la que hay entre dos puntos, ya que esta sería infinita... No se porque dice lo de distancia más grande, hace falta tener en cuenta que al introducir la coordenada t, la distáncia (ds) ya no tiene nada que ver la imagen que tenemos de la convencional distancia espacial, piensa que dos eventos situados en el mismo punto del espacio si estan separados por un cierto tiempo, su intervalo es negativo...Yo lo veo como un parámetro que relaciona eventos y que es invariante.
En realidad se parte de que todos los observadores perciben c igual.
entonces...
$(cdt)^2=dx^2+dy^2+dz^2$ Para todos los obs.
Así que..
$0=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$
Todos los observadores acordaran en que esa ecuación da 0, por lo tanto parece raconable pensar que para cualquier otro caso (que no de 0) también estarán de acuerdo.

Espero que ayude!

Saludos!

[pod]

Re: Geodésicas: ¿las distancias más larga entre dos puntos del espacio-tiempo?

Supongo que en algún momento estudiaste la búsqueda de mínimos y máximos en funciones. Lo que hacías era igualar la primera derivada a cero y obtenías un "punto extremo", que podía ser mínimo o máximo (o ninguno de los dos) según el valor de la segunda derivada.

Con las geodésicas pasa lo mismo. Sólo que en este caso tenemos una derivada más "rara", llamada derivada funcional, que ya estudiarás en su día si sigues con la ciencia o con las mates (yo creo que lo di por primera vez en segundo de Física, según un plan pre-Bolonia de 4 años, ahora no sé cuando se dará). Pues tenemos exactamente lo mismo: la curva geodésica se obtiene igualando la primera derivada funcional a cero, y puede ser una distancia mínima o máxima dependiendo de la segunda derivada.

En una métrica euclídea, se da el caso que la segunda derivada es tal que siempre tenemos mínimos. En el caso de una métrica Minkoskiana, el signo de la segunda derivada ya no está definido. A veces es positivo, a veces es negativo, así que a veces tenemos distancia espacio temporal mínima, y a veces espacio temporal máxima, y otras veces puede darse que no sea ni una ni otra (como $f(x) = x^3$, que no tiene ni máximo ni mínimo en x=0).

Eso sí, recuerda que estas distancias son "distancias espacio temporales". Ya no son ni distancias ni intervalos de tempo, sino una especie de mezcla entre los dos. Esa esa combinación la que puede ser máxima o mínima, no ninguna de las dos por separado.

[Fermat]

Re: Geodésicas: ¿las distancias más larga entre dos puntos del espacio-tiempo?

¡Muchísimas gracias por las dos respuestas! Me han aclarado algo el tema. El ejemplo de pod en el que compara el caso de las geodésicas con el estudio de máximos y mínimos de las funciones ha sido muy clarificador. Entiendo por lo que dice que una vez que hemos empezado a hablar de espacio-tiempo ya son dos conceptos indisolubles y que no podemos entenderlos por separado como distancias o intervalos de tiempo.

Eso sí, recuerda que estas distancias son "distancias espacio temporales". Ya no son ni distancias ni intervalos de tempo, sino una especie de mezcla entre los dos. Esa esa combinación la que puede ser máxima o mínima, no ninguna de las dos por separado.

El problema es que yo me estaba imaginando las distancias máximas al modo clásico y no como el conjunto del espacio-tiempo. Aún así el conjunto espacio-tiempo, al ser un espacio de 4 dimensiones, es algo que cuesta representarse mentalmente.

[...]que ya estudiarás en su día si sigues con la ciencia o con las mates[...]

Esa es mi intención. Espero que en unos años sea yo el que pueda contestar este tipo de dudas a los que se encuentren en mi situación

¡Un saludo y gracias a los dos!,
Fermat

[Kimbosirk]

Re: Geodésicas: ¿las distancias más larga entre dos puntos del espacio-tiempo?

Antes que nada pido disculpas por mi comportamiento arqueológico.

En la revista dedicada a Einstein que dan con la oferta de National Geographic (que por cierto, pillé a través de Magonia porque fue donde lo vi primero, una lástima no haberlo visto antes aquí...) se dice literalmente lo mismo que citó quien inició este hilo. Mi duda es exactamente la misma que la que se pregunta aquí, es decir, por qué afirman que es "la distancia más larga". Me parece completamente imposible definir la distancia más larga entre dos puntos, en las dimensiones que sea, ya que ésta siempre será infinita. ¿Por qué razón afirma eso?

[guibix]

Re: Geodésicas: ¿las distancias más larga entre dos puntos del espacio-tiempo?

Me parece completamente imposible definir la distancia más larga entre dos puntos, en las dimensiones que sea, ya que ésta siempre será infinita. ¿Por qué razón afirma eso?

Esto te lo parece porqué tenemos nuestro cerebro programado para espacios euclídeos. Queremos imaginar una cuarta dimensión como si fuera una más igual a las otras y esto no es así, pues el tiempo como coordenada tiene el signo opuesto a las coordenadas esapciales en la métrica.

En un espacio euclídeo, la línea recta que une dos puntos es la distancia más corta posible. Pero en un espacio de Minkowski, la línea recta es la distancia espacio-temporal más larga posible.

Imagina el espacio-tiempo en dos dimensiones, una espacial y otra temporal. La distancia $\tau$ al origen de cualquier punto $(t,x)$ en el cono de luz es

$\tau^2=t^2-x^2,$

al tener el mismo signo que el tiempo, llamamos a esta distancia de tipo temporal o temporaloide. Para distancias $s$ fuera del cono luz tenemos

$s^2=-t^2+x^2,$

estas distancias las llamamos de tipo espacial o espacialoide y tienen el mismo signo que las coordenadas espaciales.

Bien, ahora definamos un punto $(t=1,x=0).$ Vemos que la distancia es de tipo temporal y mide 1 y aparentemente no pasa nada especial. Ahora definamos el punto (t=1,x=1), aquí vemos algo chocante para nuestra concepción euclidiana, pues la distancia al origen de este punto es cero! No solo es una distancia más corta (a pesar de en el diagrama trazamos una línea más larga), si no que además es nula. O sea que todos los puntos $x^2=t^2$ tienen distancia cero al origen. Esto es precisamente el cono de luz.

Si definimos dos puntos $A=(1,1)$ y $B=(0,2),$ tenemos que la distancia entre ellos también es cero. Por lo tanto, la recta que va del origen $O$ al punto $B$ mide $2$ unidades. Pero si trazamos una trayectoria del $O$ a $B$ pasando por $A$ con dos rectas $OA$ y $AB,$ tenemos que la distancia de toda la trayectoria es cero.


Hay algunas restricciones importantes. La trayectoria de un objeto con masa es siempre temporal, no puede girar más de 45º en el diagrama espacio-tiempo. Esto significa que no se puede dar la vuelta (viaje temporal) o que no se puede inclinar hasta los 45º (no alcanza ni supera la velocidad de la luz). Con estas restricciones, cualquier trayectoria temporal no recta entre dos puntos, será más corta que la recta que los une.


Esto es el principio que explica la Paradoja de los Gemelos (Que no es una paradoja aunque lleve la palabra en el nombre). Si un observador está en reposo traza la recta $x=0$ y mide una unidad de tiempo entre el origen y $(1,0).$ Si tenemos otro observador que va y viene, acelera mucho, frena, regresa, en otras palabras: traza curvas pronunciadas en el espacio-tiempo entre el origen y $(1,0),$ entonces este observador recorrerá una distancia temporal más corta y habrá medido menos tiempo propio entre el origen y $(1,0).$ O dicho llanamente: el observador viajero será más joven que el otro en el momento de su reencuentro. Y al contrario de lo que pasa en un espacio euclídeo, cuanto más uno se esfuerza en intrincar y retorcer una trayectoria, solo se consigue hacerla más corta.


Saludos.