2o ciclo Valor de la aceleración de la gravedad según la solución de Schwarzschild de la Relatividad General

[antdeljim]

He visto en el wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9..._Schwarzschild que la aceleración aparente respecto a un observador estático,
en la teoría de Newton es :



mientras que Solución de Schwarzschild es:



Me gustaría que alguien me dijera como obtener esta ecuación, me imagino que a partir de las ecuaciones de las geodésicas, que vienen en el mismo artículo de la wikipedia, pero no sé cómo hacerlo.

Muchas gracias.

[guibix]

Re: Valor de la aceleración de la gravedad según la solución de Schwarzschild de la Relatividad General

Hola antdeljim,

Todas las soluciones de Schwarzchild se deducen derivando su métrica. Lo primero es el radio de Schwarzchild que se deduce igualando la velocidad de escape a la de la luz

$$c=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$$

Aislando el radio nos queda el radio de Schwarzchild que es el radio del horizonte de sucesos.

$$R_s=\frac{2GM}{c^2}$$

Luego se determinan los efectos relativistas de un radio cualquiera con respecto $R_s.$ No voy a deducirlo porqué es un poco largo, pero éste factor es

$$\gamma_g=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{R_s}{r} }}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r} }}$$

Esa expresión tiene una función parecida al factor gamma de la Relatividad Especial , $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$. Por esto le he puesto ése nombre, pero creo que no tiene nombre propio

Después de eso, se pasa la métrica de Minkowski para el tiempo propio (en una dimensión espacial y una temporal) $-c^2\dd\tau^2=-c^2\dd t^2+\dd x^2$ a una expresión para espacio propio $\dd s^2=-c^2\dd t^2+\dd x^2$. Esto se representa en coordenadas polares, pero con una sola dimensión espacial queda igual con $r$ en lugar de $x$.

$$\dd s^2=-\frac{c^2}{\gamma_g^2}\dd t^2+\gamma_g^2\dd r^2$$

$$\dd s^2=-c^2\left(1-\frac{R_s}{r}\right)\dd t^2+\frac{\dd r^2}{1-\frac{R_s}{r}}$$

De aquí se obtiene cualquier otra medida. Si derivas la métrica dos veces respecto del tiempo de un observador lejano obtendrás las ecuaciones de aceleración para un radio $r$ para ése observador.

La ecuación que has puesto, creo que se refiere a esto, pero no lo tengo muy claro, ya que he visto muy poco de ésa métrica y no me pondré a calcularlo ahora. Eso te lo dejo a ti para que experimentes .

En los términos que te he expuesto, tu expresión quedaría

$$a=c^2\frac{R_s}{2r^2}\left(1+\frac{R_s}{2r}\right)$$

Me he saltado muchos pasos y es probable que haya cometido algún error, pero el procedimiento viene a ser esto. Si he cometido algún error o me he dejado algún paso importante, espero que me corrijan.

Salud.

[pod]

Re: Valor de la aceleración de la gravedad según la solución de Schwarzschild de la Relatividad General

He visto en el wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9..._Schwarzschild que la aceleración aparente respecto a un observador estático,
en la teoría de Newton es :



mientras que Solución de Schwarzschild es:



Me gustaría que alguien me dijera como obtener esta ecuación, me imagino que a partir de las ecuaciones de las geodésicas, que vienen en el mismo artículo de la wikipedia, pero no sé cómo hacerlo.

Muchas gracias.

Lee este otro artículo de la wikipedia en inglés: http://en.wikipedia.org/wiki/Proper_...rved_spacetime

Todas las soluciones de Schwarzchild se deducen derivando su métrica.

Me temo que es más complicado.

Lo primero es el radio de Schwarzchild que se deduce igualando la velocidad de escape a la de la luz

Si te pones a jugar con métricas, no utilices la definición de juguete (valga la redundancia). El horizonte de sucesos es aquella superficie donde $g^{rr} = 0$ (o, alternativamente, donde $g_{rr} \to\infty$).

[antdeljim]

Re: Valor de la aceleración de la gravedad según la solución de Schwarzschild de la Relatividad General

Muchas gracias por tu respuesta, pero no sé qué es lo que tengo que derivar. ¿ds/dt? Entonces me salen términos ds/dt y dr/dt que no sé cómo cuadrar.
Si fueras tan amable, ¿me podrías poner el desarrollo de la derivación de la métrica que me dices? Te estaría muy agradecido.
Gracias.

[antdeljim]

Re: Valor de la aceleración de la gravedad según la solución de Schwarzschild de la Relatividad General

Perdona que insista, pero no sé cómo derivar la métrica para obtener la aceleración que me dices.

[guibix]

Re: Valor de la aceleración de la gravedad según la solución de Schwarzschild de la Relatividad General

Perdona que insista, pero no sé cómo derivar la métrica para obtener la aceleración que me dices.

Eso es lo que yo supuse, ya que en Relatividad Especial se puede hacer. Pero según dice Pod esto no es suficiente. Como dije, nunca he tratado con ésta métrica, sólo he visto algunas demostraciones, por lo que no puedo ayudarte mejor.

Salud.

[antdeljim]

Re: Valor de la aceleración de la gravedad según la solución de Schwarzschild de la Relatividad General

Muchas gracias de todas formas.
Saludos.