Divulgación Paradoja relativista

[inakigarber]

Buenas noches. A vueltas con la relatividad me he encontrado con la siguente paradoja. Supongamos que un observador en reposo observara frontalmente un disco que gira sobre su eje. De manera que el disco gire sobre si mismo pero no se desplace respecto al observador. Para este es disco se encuentra en su sistema de referencia y lo vera en su tamaño propio. Pero ahora supongamos que ese disco esta formado por un numero muy elevado de sectores rectos unidos entre si. De manera que estos sectores si se desplazan respecto al observador y este si los vera reducidos. ¿Como puede ser que el curculo no cambie de tamaño cuando sus sectores disminuyen?.
P.D. No estoy en el PC en el que suelo conectarme y en este no puedo insertar una figura.

Ahora si puedo insertar la figura.

[guibix]

Re: Paradoja relativista

Jó!!, Aquí me has pillado!

He estado "dando vueltas" al tema y no encuentro una solución razonable sin cambiar el radio aparente del disco (cosa que no parece tener sentido). La verdad es que todo lo que sé de sistemas acelerados es lo que se puede deducir mediante Relatividad Especial (RE). También sé que según lo que se quiera conseguir, la RE se queda corta. Aún así, cuando se tratan objetos acelerados vistos desde un SRI casi siempre se puede resolver por RE mediante la "versión relativista" de la Segunda Ley de Newton, que trata de forma distinta la componente normal de la tangencial.

$$\vec{F}=m\vec{a}_t\gamma^3+m\vec{a}_n\gamma$$

Aunque no puedo darte una respuesta a tu pregunta, creo que "debería" poder resolverse así. O eso me parece a mi, ya que otras aparentes paradojas del movimiento circular se pueden explicar así. Pero éste caso se me escapa.

A ver si alguien más puede añadir algo.

Saludos!

[inakigarber]

Re: Paradoja relativista

Esta vez si he podido insertar la figura que la añago al post inicial. La paradoja la encontre en un libro de divulgación escrito por el propio Einstein y la respuesta que da es que en la relatividad general no se puede aplicar la geometria euclidea, lo cual anque ya lo sabia me resulta insatisfactorio. Yo, lo unico que he pensado estos dias lo siguente. Podriamos suponer el circulo como una sucesión larguisima de sercores rectos cada uno de los cuales giraria a velocidad lineal Vl=Wr donde W es la velocidad angular del disco y r la distancia al centro. Esto solo seria aproximado en el caso de que el sector recto fuera muchisimo menor que el radio. Cada uno de ellos lo veriamos acortado en función de la contarcción de longitudes. Pero por otra parte debo tener en cuenta (y aun no se muy bien como) que hay una aceleración y no se muy bien como encajarla en este juego. En eso estoy ahora. Un saludo.

[guibix]

Re: Paradoja relativista

Vale, creo que ya veo lo que pasa.

Imagina un gran número $n$ de objetos dispuestos en un círculo de radio $r$ en reposo. Cada objeto es independiente de los demás (no están atados entre si) y están separados por una longitud aproximada de $l=2\pi/n$. Ahora imaginemos que empiezan a girar de manera independiente, pero a la vez y con una velocidad angular creciente, por ejemplo $\omega=\alpha_t t.$.

Si en el SRI se observa que $l$ es constante, entonces significa que la distancia observada por uno de los objetos con respecto del objeto contiguo debe ser mayor que $l$. O sea, que para que todos los objetos mantengan la distancia $l$ para el SRI, deben alejarse mutuamente en su SRA propio.

¿Y qué pasa si los objetos están "atados" por cuerdas inelásticas ideales? Pues que los objetos no podrán seguir la trayectoria del problema anterior debido a la tensión que sufren entre ellos. Eso hará que el radio encoja hasta $r/\gamma,$ de manera que la longitud propia sea $l$ y la observada en el SRI $l/\gamma.$

Creo que esto "desmonta" la paradoja, aunque signifique asumir que un aro sólido girando a velocidades relativistas ve reducido su radio aparente.


De todas formas, en este tipo de problemas hay que tener siempre muy presente de que toda la cinemática que puedas imaginar debe poder describirse con la dinámica.

Si existe una aceleración es porque hay una fuerza. Si tienes un cuerpo solido y le aplicas una fuerza en un punto, todas los puntos del cuerpo no acelerarán igual porque la fuerza se transmite a una velocidad inferior o igual a $c$.

Si por contra fuera posible aplicar una fuerza igual a cada punto del cuerpo para que todos los puntos aceleraran igual en el SRI, te encontrarías que para mantener la misma aceleración en todo el cuerpo se mantendría la distancia observada entre los puntos y eso haría que la distancia propia entre puntos aumentara. Si no observas contracción de Lorentz es porque la longitud propia ha aumentado en la misma medida.

Si hablamos de un cuerpo solido donde los puntos están ligados por fuerzas, deberías superar esas fuerzas para que todas las moléculas siguieran la misma aceleración observada en el SRI. Y si se consiguiera, se llegaría un punto en que se desintegraría el cuerpo por tener todas sus moléculas demasiado separadas. Además en los giros hay fuerzas ficticias internas que también se tienen que tener en cuenta.

En resumen, si quieres saber qué pasa con un aro o un disco que se mueve, gira así o asá, debes tener muy claro como se aplican las fuerzas. ¿Es un disco sólido con fuerzas de cohesión o es una nube etérea de puntos independientes? ¿Se aplica el giro desde el centro, en determinados puntos o en cada punto? Cada caso puede dar resultados muy distintos.

Tratar las fuerzas en Relatividad Especial es un infierno y no acaba de funcionar muy bien para resolver lo que pasa en los SRAs, cosa que sí resuelve la RG. Por algo Einstein tardó 10 años para pasar de la RE a la RG. Y aunque la RG es muy completa es ése sentido, es una auténtica pesadilla matemática.

Espero haberlo resuelto, aunque no tengo ni idea de si mis conclusiones son correctas. Pero al menos he disfrutado estrujándome la cabeza

Saludos.

[inakigarber]

Re: Paradoja relativista

Vale, creo que ya veo lo que pasa.

....En resumen, si quieres saber qué pasa con un aro o un disco que se mueve, gira así o asá, debes tener muy claro como se aplican las fuerzas. ¿Es un disco sólido con fuerzas de cohesión o es una nube etérea de puntos independientes? ¿Se aplica el giro desde el centro, en determinados puntos o en cada punto? Cada caso puede dar resultados muy distintos.
....

Me lo imagino como si fuera un disco de vinilo o un CD que estiviera girando sobre su eje central, y yo lo mirara desde una prolongación de su eje de giro. Esto me lleva a dos conclusiones contradictorias
A-) Desde mi sistema de referencia el disco en su conjunto no se mueve respecto a mi por lo que su tamaño debe ser el propio.
B-) Por otra parte, cada uno de los multíples sectores (unidos fijamente entre sí) que he imaginado sí se mueven respecto a mi por tanto deberían sufrir la contracción debida a la velocidad con lo que deberían ser mas cortos. Ello implicaría que el disco debiera reducirse de tamaño lo cual es incompatible con lo mencionado al principio.

[guibix]

Re: Paradoja relativista

El problema es que en Relatividad Especial (Y apuesto que también en RG) NO puedes tener dos sistemas acelerados con la misma aceleración (vista desde el SRI) y al mismo tiempo que los dos sistemas mantengan una distancia propia invariante. Si tenemos una regla de longitud propia $l_0$ acelerando hasta velocidad $v$, el observador en el SRI verá la regla de longitud $l=l_0/\gamma$. Esto significa que la parte delantera de la regla ha acelerado menos que la trasera. Si el observador ve que los dos extremos de la regla aceleran igual, entonces la regla no cambiaría de tamaño aparente (seguiría observándose como $l_0$), pero para que ello ocurra su tamaño propio debe haber aumentado hasta $\gamma l_0$. Por lo tanto un cuerpo rígido ideal no puede acelerar igual en todos los puntos.

Además hay un problema para medir distancias en un SRA y es que a diferencia de los SRIs, en un SRA el observador debe estar localizado en un punto concreto. Si un volumen está acelerado, cada punto del volumen es un SRA distinto sí o sí.

Volvamos a la regla que acelera mientras "encoge" en función de $\gamma.$ Si el observador acelerado se encuentra en la "cola" de la regla, tendrá una aceleración mayor que si se encuentra en la parte delantera. En ambos casos los observadores no medirán la misma longitud para la regla, ni ninguno de los dos medirá su longitud propia. Solo cuando el tamaño de la regla tiende a cero podemos hablar de longitud propia medida por un observador acelerado. Dicho de otra manera: cada punto "fijo" de un SRA en donde no está el observador es otro SRA distinto que mide distancias distintas.

En el caso del disco ocurre algo parecido. Voy a omitir el tema de la transferencia no instantánea de la fuerza para no complicarlo más y también omitiré las fuerzas ficticias típicas del MCU. Imaginemos el disco en reposo como una secuencia de aros a un $\dd r$ de distancia y cada aro con una sucesión de puntos a con $r\dd \theta$ entre ellos. Si hablamos de un disco rígido ideal, significa que en el sistema de referencia de cada punto, los cuatro puntos vecinos mantienen su distancia. Solo estos cuatro porque, a cierta velocidad, el SRA de cada punto no permite ver el conjunto del disco en su forma original. Si bien se puede pensar que desde este sistema de referencia el disco está en reposo, no es así por ser un SRA. Cada punto del disco girando no comparte el mismo hiper-plano de simultaneidad con el resto de puntos, no comparten sistema de referencia. Desde un punto exterior del disco se vería el disco entero como una especie de elipse con su semi-eje mayor pasando por el punto.

Si tomamos un solo aro rígido y lo hacemos girar a velocidad $v=\omega r$, la única manera de que cada punto del aro mantenga la distancia con sus vecinos (2 vecinos en este caso), es reduciendo el radio en una proporción de $\gamma$. No es que tengas que reducirlo, es que de manera natural y a medida que acelera, las fuerzas internas actúan por encima de cualquier otra fuerza (cuerpo rígido ideal) y el radio se va encogiendo por efecto de dichas fuerzas. Solo que al reducir el radio, si se mantiene la velocidad angular, la velocidad disminuirá y con ella también disminuirá $\gamma$. El radio depende de gamma y gamma depende del radio, con lo que el radio no se situará a $r=r_0/\gamma$ sino a $r=r_0(1+\omega^2r_0^2/c^2)^{-1/2}$ (eso si lo he calculado bien ). Esto hace que aunque $\omega r_0>c$ se puede mantener la velocidad angular disminuyendo el radio de manera que $v=\omega r<c.$

Con el disco entero pasa exactamente lo mismo. Cada aro se encogerá en función de su velocidad. Como los dos aros vecinos de cada aro tienden a la misma velocidad cuando $\dd r$ tiende a cero, pueden mantener su "distancia propia". Lo que acaba ocurriendo es que el centro del disco se mantiene en su sitio, los aros cercanos al centro reducen poco su radio y los más alejados lo reducen más aún.

No hay contradicción, sino efectos "extraños" y fuerzas ficticias, como tanto ocurre en Relatividad. Este caso se parece un poco a la expansión del Universo: los puntos se separan entre si y solo se mantienen unidos por "fuerzas internas".

Antes de buscar más contradicciones te recomiendo que primero aprendas a dominar la métrica Minkowski. Con sus derivadas puedes ver muchas cosas de los SRA de manera geométrica. Lo único que ocurre es que los SRA tienen puntos de vista muy "extraños" y sorprendentes, pero totalmente razonables. Por ejemplo, girando sobre ti mismo, en tu SRA puedes ver una estrella lejana describir un arco de varios años luz en décimas de segundo a velocidades super-lumínicas. Y eso sin que la estrella se entere de nada .

Un saludo.

[inakigarber]

Re: Paradoja relativista

...Antes de buscar más contradicciones te recomiendo que primero aprendas a dominar la métrica Minkowski. Con sus derivadas puedes ver muchas cosas de los SRA de manera geométrica. Lo único que ocurre es que los SRA tienen puntos de vista muy "extraños" y sorprendentes, pero totalmente razonables. Por ejemplo, girando sobre ti mismo, en tu SRA puedes ver una estrella lejana describir un arco de varios años luz en décimas de segundo a velocidades super-lumínicas. Y eso sin que la estrella se entere de nada .

Un saludo.

Agradezco tu mensaje y el tiempo que te has tomado en responderme. No pretendia en absoluto buscar contardicciones. Simplemente me llamo la atención la paradoja (expuesta por el mismo Einstein) y quise buscar una explicación. El resto del mensaje merece estudiarlo más detenidamente para que saque conclusiones más elaboradas....
Voy a ir por partes y poco a poco a ver si no me pierdo. Veamos.

... Si tenemos una regla de longitud propia acelerando hasta velocidad , el observador en el SRI verá la regla de longitud . Esto significa que la parte delantera de la regla ha acelerado menos que la trasera. Si el observador ve que los dos extremos de la regla aceleran igual, entonces la regla no cambiaría de tamaño aparente (seguiría observándose como ), pero para que ello ocurra su tamaño propio debe haber aumentado hasta . Por lo tanto un cuerpo rígido ideal no puede acelerar igual en todos los puntos.

Lógico (aunque reconozco que no lo habia pensado).

Volvamos a la regla que acelera mientras "encoge" en función de Si el observador acelerado se encuentra en la "cola" de la regla, tendrá una aceleración mayor que si se encuentra en la parte delantera. En ambos casos los observadores no medirán la misma longitud para la regla, ni ninguno de los dos medirá su longitud propia. Solo cuando el tamaño de la regla tiende a cero podemos hablar de longitud propia medida por un observador acelerado. Dicho de otra manera: cada punto "fijo" de un SRA en donde no está el observador es otro SRA distinto que mide distancias distintas.

Entiendo que respecto al observador en reposo el observador acelerado tendrá una aceleración diferente según se situe detras o delante por la misma razon arriba expuesta. Pero no entiendo eso de que ninguno medirá la longitud propia ¿no esta este último en reposo respecto a la barra?. Tendré que meditarlo mejor.
Un saludo.

[guibix]

Re: Paradoja relativista

Entiendo que respecto al observador en reposo el observador acelerado tendrá una aceleración diferente según se situe detras o delante por la misma razon arriba expuesta. Pero no entiendo eso de que ninguno medirá la longitud propia ¿no esta este último en reposo respecto a la barra?. Tendré que meditarlo mejor.
Un saludo.

El problema es que ningún punto fijo con respecto a un observador acelerado puede considerarse en reposo. En un SRI todos los puntos fijos de dicho sistema pertenecen al mismo SRI, todos esos puntos tienen los mismos tiempos propios y distancias propias. En un SRA, la única distancia propia y el único tiempo propio del sistema se encuentran en el punto sin dimensiones en donde está situado el observador. Incluso puede haber puntos de un SRA que no pueden siquiera ser un sistema de referencia, como en el ejemplo que puse: Si estás girando sobre ti mismo a $\omega$, cualquier punto "fijo" más lejos que $r=c/\omega$ no es un sistema de referencia válido, pues viaja a mayor velocidad que $c.$

Se puede entender con el mismo ejemplo de la regla acelerada. Con las mismas condiciones de antes, si el observador del SRI ve la regla acelerar al mismo tiempo que encoge (siguiendo $l=l_0/\gamma$). Luego si el observador "trasero" acelera más que el delantero, significa que en cualquier momento para el SRI, el observador trasero tiene más velocidad que el delantero y entre esas velocidades está la velocidad media de la regla medida en el SRI (que será la velocidad de un determinado punto de la regla). Esa última velocidad determina la longitud de la regla medida en el SRI mediante gamma. Pero esa longitud solo es la propia para un SR que viaje a dicha velocidad y si tanto el delantero como el trasero no van a esa velocidad, no pueden ver la regla en su longitud propia. Como dije, la regla solo se puede considerar en reposo en el punto donde está el observador.

Ahora que leo mi último mensaje, veo que se interpreta un cierto tono condescendiente. Disculpa, esa no era mi intención. Sólo quería remarcar que si usas la métrica Minkowsky puedes ver muchos de esos casos. Fíjate que no hemos hablado de tiempos propios y la clave de todo esto está precisamente en que el tiempo propio de cada objeto puntual (en el espacio) es invariante. O dicho de otra forma: la "distancia" espacio-temporal entre dos eventos dentro del cono luz (esto es que los eventos pueden ser causa-efecto uno del otro) es invariante en todos los sistemas de referencia.

La métrica Minkowsky se puede describir como

$$-c^2\dd \tau^2=-c^2\dd t^2+\dd x^2+\dd y^2+\dd z^2$$

donde $\tau$ es el tiempo propio del objeto estudiado que es la distancia espacio-temporal recorrida o periodo propio, $t$ es el tiempo medido en el SRI del observador "externo" y las tres componentes espaciales medidas en el mismo SRI que conforman el espacio euclídeo tridimensional.

Si derivamos ambos lados de la igualdad con respecto de $\tau$ obtenemos la "velocidad propia" o cuadrivelocidad $\eta$

$$-\eta^2=-c^2=-c^2\frac{\dd t^2}{\dd \tau^2}+\frac{\dd x^2}{\dd \tau^2}+\frac{\dd y^2}{\dd \tau^2}+\frac{\dd z^2}{\dd \tau^2}$$

Esto significa que la velocidad propia espacio-temporal de cualquier cuerpo es constante e igual a $c.$ De aquí resulta que $\gamma=\frac{\dd t}{\dd \tau}.$ Y como $\frac{\dd x}{\dd \tau}=\frac{\dd x}{\dd t}\frac{\dd t}{\dd \tau}$ y $\frac{\dd x}{c\dd t}=\frac {v_x} {c}=\beta_x$, podemos simplificar la ecuación dividiendo ambos lados por $c^2$ como

$$1=\gamma^2-\beta_x^2\gamma^2-\beta_y^2\gamma^2-\beta_z^2\gamma^2,$$

donde verificamos que

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_x^2-\beta_y^2-\beta_z^2}}$$

Si derivásemos otra vez la ecuación 3 nos sale que la cuadri-aceleración propia es nula. Esto significa que acelerar no cambia el módulo de la cuadri-velocidad que sigue siendo $c,$ lo que cambia es la dirección espacio-temporal. Cualquier aceleración tridimensional es una aceleración centrípeta (un giro) en el espacio-tiempo. Solo que si la aceleración es completamente tangencial en el espacio el "giro" no es circular sino hiperbólico que se limita a $\pm 45$º con respecto la coordenada temporal de cualquier SRI (dentro del cono de luz propio de cada objeto) y es lo que hace que no se pueda superar $c$ por mucho que aceleres.

Bueno, pues si se ponen funciones de movimiento en los ejes $(x(t), y(t), z(t))$ que son la observación de un SRI, se puede encontrar cualquier distancia espacio-temporal entre eventos. Para un objeto cualquiera, los eventos pueden ser un "tic" del reloj propio y se pueden comparar relojes de distintos objetos para saber cuando y dónde se observa cada "tic" de cada reloj para cada observador. Eso sí, dependiendo de que funciones se elijan, las integrales a resolver pueden ser sin solución analítica. En tu caso puedes probar con $x=r\cos(\omega t),y=r\sin(\omega t), z=0$ y lo podrás representar en tres dimensiones en coordenadas cilíndricas (una temporal cartesiana y dos espaciales polares). Es muy buen ejercicio jugar con esas ecuaciones y buscar magnitudes en función de otras, como pasar las ecuaciones en función de $t$ a ecuaciones en función de $\tau.$

Con lo de no buscar contradicciones era más que nada porqué la Relatividad ya ha sido puesta prueba por cientos de miles de físicos que ya han pensado ese tipo de casos y aún no se han encontrado inconsistencias. Es mucho más productivo aprender a usar la Relatividad para intentar explicar situaciones aparentemente contradictorias que quedarse con la contradicción en si. Pero en realidad, más que un consejo, eso es lo que intento aplicarme a mi mismo y no quiero decir que no preguntes lo que te parece inconsistente, pues para mi es un ejercicio muy bueno el tener que hacerme entender para "solidificar" mis propios conocimientos (pues tampoco son tantos ni tan profundos).

En mi corta, pero intensa experiencia con la RE y algo de RG, he podido constatar algunos casos aparentemente contradictorios y al final siempre "gana" la RE . Y es muy estimulante el plantear una situación que parece contradictoria, resolverla matemáticamente y ver como las contradicciones se diluyen haciéndolo encajar todo.

Aún así yo mismo tengo mis dudas de si todo lo que he dicho es correcto. Entretanto, mientras ninguna autoridad me corrija, lo tomaremos como correcto .

Salud!

[inakigarber]

Re: Paradoja relativista

El problema es que ningún punto fijo con respecto a un observador acelerado puede considerarse en reposo. En un SRI todos los puntos fijos de dicho sistema pertenecen al mismo SRI, todos esos puntos tienen los mismos tiempos propios y distancias propias. En un SRA, la única distancia propia y el único tiempo propio del sistema se encuentran en el punto sin dimensiones en donde está situado el observador. Incluso puede haber puntos de un SRA que no pueden siquiera ser un sistema de referencia, como en el ejemplo que puse: Si estás girando sobre ti mismo a $\omega$, cualquier punto "fijo" más lejos que $r=c/\omega$ no es un sistema de referencia válido, pues viaja a mayor velocidad que $c.$...

Tu mensaje requiere que lo lea con mas detenimiento pero este primer párrafo ya me induce a pensar que hay mas de un concepto que no he entendido bien. Supongamos que yo me encuentro en una cabina junto a un reloj y otro objeto cualquiera en reposo. Ambos nos encontramos en caida libre por lo que sentimos la ingravidez. Respecto a tí, que no estas en caida libre, nosotros caemos con movimiento uniformemente acelerado. Tu observaras que mi reloj marcha cada vez mas despacio, por una parte porque caigo mas rapidamente y porque la gravedad es mas intensa para mi. Yo sin embargo seguire viendo que mi tiempo sigue siendo uniforme y que mi reloj se encuentra a la misma distancia. Este es el punto hasta donde llegan mis conocimientos. Queriendo profundizar mas en el tema me hice con el libro de Einstein, donde me encontre con la paradoja con que abrí el post y que se me ha atragantado. ¿Que puedo hacer para avanzar en este tema?.

Es mucho más productivo aprender a usar la Relatividad para intentar explicar situaciones aparentemente contradictorias que quedarse con la contradicción en si.

Desde mi punto de vista la emoción consiste en demostrar que a veces lo aparentemente obvio no lo es tanto y lo aparentemene ilógico es más lógico de lo que parece.

Sólo quería remarcar que si usas la métrica Minkowsky puedes ver muchos de esos casos.

Reconozco que con la métrica de Minkowski me falta experiencia. Estoy buscando por internet algun lugar donde haya ejercicios resueltos "para tontos" para seguir practicando.
El resto del post lo he imprimido mañana quiza pueda con mas detalle meterme con las derivadas y de paso tambien practicar las matematicas con un poco de paciencia.
Un saludo.

[guibix]

Re: Paradoja relativista

Ambos nos encontramos en caida libre por lo que sentimos la ingravidez. Respecto a tí, que no estas en caida libre, nosotros caemos con movimiento uniformemente acelerado. Tu observaras que mi reloj marcha cada vez mas despacio, por una parte porque caigo mas rapidamente y porque la gravedad es mas intensa para mi. Yo sin embargo seguire viendo que mi tiempo sigue siendo uniforme y que mi reloj se encuentra a la misma distancia.

Lo que dices es cierto, pero es debido a que el que está en caída libre está en un SRI y es el que está en reposo respecto a la Tierra el que está en un SRA. Los SRIs no tienen ese "problema" y efectos extaños. El que está en la Tierra puede ver su reloj no va con su tiempo propio si se encuentra a cierta distancia y dirección. Claro que cuanto más cerca está el observador del reloj, menos se nota el efecto. La distancia con el reloj se puede mantener con una fuerza (de hecho si no lo sostienes se cae), pero no se puede mantener el mismo tiempo propio si no se encuentran (observador y reloj) en el mismo punto.

¿Que puedo hacer para avanzar en este tema?.

En eso poco te puedo ayudar ya que no conozco bibliografía especializada. Las bases de la RE las conozco de la universidad de manera no muy profunda, ni mucho menos con aceleraciones. Donde he aprendido más es de forma autodidacta, en vídeos de youtube, aquí en la web, en información dispersa y gracias a que Pod me está ayudando a escribir un artículo precisamente sobre aceleración en RE. Pero mi información es muy inconexa.

También he aprendido mucho en los cursos de Susskind de Stanford University de casi 20 horas cada uno. Aunque son en inglés, se entiende muy bien (yo no sé mucho inglés y me entero bastante). Eso sí, el nivel es bastante alto y de contenido amplio y espeso, además del tiempo que requiere mirarlos. Pero merece la pena intentarlo

Course Special Relativity. Este míralo primero, evidentemente . Hacia la mitad se pone muy complicado, pero si superas los tres o cuatro primeros ya tienes material para mucho.

Course General Relativity. Este es mucho más complicado, pero también en los primeros capítulos se sientan las bases de la RG de manera bastante comprensible.

Si te interesa, hay más cursos parecidos de Susskind de cosmología, cuántica, cuerdas y más. Los puedes buscar por las listas de reproducción del canal youtube de Stanford University donde hay muchísimo material de un sinfín de temas científicos y de humanidades.

Yo también estoy interesado en material de este tema. O sea que si alguien sabe de algún enlace, libro o lo que sea sobre el tema que nos lo comunique por favor

[inakigarber]

Re: Paradoja relativista

...Yo también estoy interesado en material de este tema. O sea que si alguien sabe de algún enlace, libro o lo que sea sobre el tema que nos lo comunique por favor

No se si el link que adjunto satisfacera tus necesidades, por si acaso te lo pongo. http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx...stronomia.html. Salseando un poco encontraras tambien en la sección de física algun libro que tratra sobre la relatividad y física en general. Se trata de publicaciones mexicanas con lo que alguno de los giros linguisticos son un poco raros pero se entiende bien. Yo, de momento, me he inclinado a buscar información por esta pagina , que ya conocia, porque la verdad, el ingles se me da mal y ya tengo bastante. De todos modos he agregado a mis favoritos los enlaces que propones para mas adelante meterme con ellos. A ver si con estas publicaciones mas asequibles voy cogiendo ideas.
Un saludo.

[guibix]

Re: Paradoja relativista

Creo que ese link está bastante bien. El de "Los hoyos negros y curvatura del espacio-tiempo" habla algunas cosas de las comentadas aquí. Me lo miraré con detenimiento cuando tenga tiempo.

pero no se puede mantener el mismo tiempo propio si no se encuentran (observador y reloj) en el mismo punto.

Debo corregir esta afirmación. Si el reloj y el observador en la Tierra están a la misma altura no hay esos efectos. Solo se hacen notar si la dirección del reloj respecto del observador tiene componente en la dirección de la aceleración. En el caso de la regla acelerada, si los observadores traen la regla de forma perpendicular a la aceleración, entonces sí podrán ver a la regla con su tamaño propio.

[Alriga]

Hoy por casualidad he visto este antiguo hilo que no conocía. Simplemente anoto, que el experimento mental que describe inakigarber es conocido como Paradoja de Ehrenfest

Saludos.