Tensor Energía Impulso

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Supongamos que tenemos un Espacio-Tiempo descrito por una variedad cuadridimensional $M$ y una métrica lorentziana $g_{ab}$. En dicho Espacio-Tiempo tenemos un campo gravitatorio y un campo electromagnético. Planteando las ecuaciones del campo de Einstein:

$G_{ab}=8 \pi G T_{ab}$

Tenemos que el tensor $T_{ab}$ tiene que "dar cuenta" tanto de la parte de radiación electromagnética como de la parte del campo gravitatorio.

Supongamos que puedo resolver las ecuaciones acopladas para la métrica, obteniendo$g_{ab}.$Mi preguntas son:

las geodésicas halladas para este Espacio-Tiempo, (con un tensor de energía impulso suma de las contribuciones del campo electromagnético y del gravitatorio) son las trayectorias de partículas (de prueba) libres que no tienen carga?

En caso de ser así, porque hay que tener en cuenta el campo electromagnético si las geodésicas solo van a describir las trayectorias de las partículas sin carga?

Y si tuviera una partícula de prueba con carga, ya no seguiria las geodésicas halladas sumando las dos contribuciones? Su "desviación" respecto las geodésicas vendría dada por:

$u^a \nabla_a u^b=q/m F^b_c u^c$

En ese caso me resulta un poco raro: hay que tener en cuenta la contribución electromagnética para hallar las geodesicas de particulas sin carga, y cuando tienes una partícula con carga tienes ademas que usar la fuerza de Lorentz. Aunque también sería raro que las geodesicas se cumplieran para particulas cargadas, ya que en este caso no se cumple el principio de equivalencia.

[Entro]

Re: Tensor Energía Impulso

En ese sistema describirías las geodésicas para todas las partículas "libres" llamando libres a las que no interacctuan con otras partículas. Solo que si no tienen carga, simplemente no acoplarán al campo electromagnético, pero sus geodésicas sabrán de la existencia de este campo porque el campo habrá aportado energía para generar curvatura.

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Re: Tensor Energía Impulso

En ese sistema describirías las geodésicas para todas las partículas "libres" llamando libres a las que no interacctuan con otras partículas. Solo que si no tienen carga, simplemente no acoplarán al campo electromagnético, pero sus geodésicas sabrán de la existencia de este campo porque el campo habrá aportado energía para generar curvatura.

Vale, vale, es decir, el campo electromagnético contribuye a la curvatura del Espacio-Tiempo, aunque se consideren partículas no cargadas.

Y asimismo, tomando en cuenta la contribución del campo electromagnético, si pones una carga de prueba, seguirá geodésicas.

Eso es lo que me dices, si no me equivoco.

Ahora entonces viene una nueva pregunta:

Imagina que ya tenemos la métrica del espacio tiempo, y pongo una carga Q de prueba. Segun lo que me has dicho, seguirá las geodésicas. Pero y si ahora pongo otra carga de prueba de Q/2?.La métrica es la misma, ya ha sido hallada tomando en cuenta las contribuciones electromagneticas y gravitacionales. Por tanto las geodésicas son las mismas que en el caso anterior y entonces la carga de valor Q y la de valor Q/2 seguirían la misma trayectoria (geodésica). Pero esto es manifiestamente falso, ¿no?

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Re: Tensor Energía Impulso

Más o menos, pero en el geodésica encontrarás un término de acoplo con el campo electromagnético...

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Re: Tensor Energía Impulso

Más o menos, pero en el geodésica encontrarás un término de acoplo con el campo electromagnético...

No pillo. Entonces las geodesicas en el caso Q y Q/2 no son las mismas? (siendo ambas cargas de prueba).

[Entro]

Re: Tensor Energía Impulso

No son las mismas, porque aparte de las ecuaciones de Einstein tienes las ecuaciones de Maxwell.

Las geodésicas son las curvas que siguen partículas totalmente libres, y están condicionadas por el contenido energético total del espaciotiempo. Pero cuando tienes cargas o monopolos se han de satisfacer simultáneamente las ecuaciones de Maxwell.

Esto es una parte chunga de la película, la teoría de Einstein-Maxwell que de hecho se puede reescribir en 5 dimensiones en una única teoría, de Kaluza y es bastante divertido.

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Re: Tensor Energía Impulso

No son las mismas, porque aparte de las ecuaciones de Einstein tienes las ecuaciones de Maxwell.

Las geodésicas son las curvas que siguen partículas totalmente libres, y están condicionadas por el contenido energético total del espaciotiempo. Pero cuando tienes cargas o monopolos se han de satisfacer simultáneamente las ecuaciones de Maxwell.

Esto es una parte chunga de la película, la teoría de Einstein-Maxwell que de hecho se puede reescribir en 5 dimensiones en una única teoría, de Kaluza y es bastante divertido.

Osea, en el caso de una partícula cargada, tiene que seguir las geodésicas y cumplir las ecuaciones de Maxwell. Pero las geodésicas ya estan especificadas univocamente, entonces estaría todo "sobreespecificado" no?

[Entro]

Re: Tensor Energía Impulso

Bueno, en una perspectiva cuadridimensional no, porque las geodésicas solo las definiremos para partículas neutras. Para las otras hay que meter Maxwell de pormedio...

[pod]

Re: Tensor Energía Impulso

Para todo esto no hay que recurrir a Kaluza-Klein; ni mucho menos; es más KK sólo se reduce a relatividad + electromagnetismo en 4-D si imponemos que el dilatón no está excitado, que es algo muy artificail.

Es mucho más sencillo que eso, triple-s. El principio de equivalencia fuerte dice que "las ecuaciones de la relatividad especial, son válidas en relatividad general si substituimos todas las derivadas parciales por derivadas covariantes". De ahí sale absolutamente todo:

- Una partícula libre, sobre la que no actúa fuerza neta, en relatividad especial sigue una trayectoria sin aceleración; $\partial_\tau u^\mu = 0$. Por lo tanto, en relatividad general, tendremos $\nabla_\tau u^\mu = u^\nu \nabla_\nu u^\mu = 0$, que como sabes es la ecuación de las geodésicas.

- Una partícula cargada acoplada a un campo electromagnético, que viene representado por un tensor de Faraday $f_{\mu\nu}$, seguirá una trayectoria que cumpla la segunda ley de newton generalizada, $\partial_\tau p^\mu = q f^\mu_{\,\nu} u^\nu$. La generalización a relatividad general debería ser trivial.

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Re: Tensor Energía Impulso

Para todo esto no hay que recurrir a Kaluza-Klein; ni mucho menos; es más KK sólo se reduce a relatividad + electromagnetismo en 4-D si imponemos que el dilatón no está excitado, que es algo muy artificail.

Es mucho más sencillo que eso, triple-s. El principio de equivalencia fuerte dice que "las ecuaciones de la relatividad especial, son válidas en relatividad general si substituimos todas las derivadas parciales por derivadas covariantes". De ahí sale absolutamente todo:

- Una partícula libre, sobre la que no actúa fuerza neta, en relatividad especial sigue una trayectoria sin aceleración; $\partial_\tau u^\mu = 0$. Por lo tanto, en relatividad general, tendremos $\nabla_\tau u^\mu = u^\nu \nabla_\nu u^\mu = 0$, que como sabes es la ecuación de las geodésicas.

- Una partícula cargada acoplada a un campo electromagnético, que viene representado por un tensor de Faraday $f_{\mu\nu}$, seguirá una trayectoria que cumpla la segunda ley de newton generalizada, $\partial_\tau p^\mu = q f^\mu_{\,\nu} u^\nu$. La generalización a relatividad general debería ser trivial.

No, si esto lo sé. Mi duda está entonces en que para hallar las geodésicas de partículas neutras tenemos que tomar encuenta todas las contribuciones energéticas y materiales, incluido el campo eletcromagnético.

Sin embargo, las partículas cargadas no siguen anteriores geodésicas, sino que su desviación respecto las mismas viene dada por la fuerza de lorentz, la que has puesto. Es eso no?.

[pod]

Re: Tensor Energía Impulso

No, si esto lo sé. Mi duda está entonces en que para hallar las geodésicas de partículas neutras tenemos que tomar encuenta todas las contribuciones energéticas y materiales, incluido el campo eletcromagnético.

Eso ya te lo han respondido: todas las formas de cuadri-momento curvan el espacio y por lo tanto se deben tener en cuenta.

Sin embargo, las partículas cargadas no siguen anteriores geodésicas, sino que su desviación respecto las mismas viene dada por la fuerza de lorentz, la que has puesto. Es eso no?.

Esto no tiene nada de específico de la relatividad general. Si substituimos la palabra "geodésicas" por "trayectoria recta" podríamos estar hablando de relatividad especial, o incluso teoría de Newton. La geodésica no es más que la generalización de la linea recta. Una partícula, cargada o no, seguirá la geodésica si no actúa sobre ella ninguna fuerza: una partícula cargada seguirá una geodésica si no hay campo electromagnético (que haya radiación en la lejanía no tiene por qué significar que haya campo en el punto donde está la partícula).

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Re: Tensor Energía Impulso

Esto no tiene nada de específico de la relatividad general. Si substituimos la palabra "geodésicas" por "trayectoria recta" podríamos estar hablando de relatividad especial, o incluso teoría de Newton. La geodésica no es más que la generalización de la linea recta. Una partícula, cargada o no, seguirá la geodésica si no actúa sobre ella ninguna fuerza: una partícula cargada seguirá una geodésica si no hay campo electromagnético (que haya radiación en la lejanía no tiene por qué significar que haya campo en el punto donde está la partícula).

Me estaba refiriendo en todo momento a la situación que especifiqué en el primer post. Un espacio-tiempo con campo gravitatorio y electromagnético, y a partículas de prueba en él.