El campo gravitatorio uniforme

[SSS]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Exacto, he ahí la cuestión. El campo gravitatorio uniforme es un espacio-tiempo plano sin curvatura, aunque no estoy de acuerdo con eso de "un espaciotiempo plano sin gravedad". La gravedad no sólo es manifestación de la curvatura, como hemos debatido ya aquí.

No estoy deacuerdo en que el campo gravitatorio es un espaciotiempo plano sin curvatura. Supongamos que queremos analizar la situación de campo gravitatorio uniforme en el vacío (exterior de la supuesta fuente de masa que lo crearía).

Tenemos (esto es general para el vacío):

$R_{ab}-\frac{1}{2}R g_{ab} = 0$

De donde se deduce que $R = 0$ y por tanto las ecuaciones de campo a resolver son:

$R_{ab} = 0$

Por tanto no se puede suponer que un campo gravitatorio uniforme en el vacío implique una métrica plana. Ahora habría que imponer algún tipo de simetría o condición en el problema para poder continuar. Por ejemplo, si imponemos simetría esférica obtenemos la métrica de Scharzchild.

[Entro]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Para mi el problema está en que un espaciotiempo plano con observadores acelerados está muy bien como ejemplo. Pero yo no entiendo eso como gravedad, la gravedad incorpora efectos muy concretos que lo diferencian de un sistema acelerado en cuanto te sales un pelín de un punto (eso que estabais discutiendo en el otro hilo). Los efectos de marea y de desviación geodésica son fundamentales a mi modo de ver y muchas veces hay ciertas confusiones con el concepto de planitud. Una cosa es poder hacer secciones espaciales planas, lo cual ya es interesante de por sí, y otra tener un espaciotiempo completamente plano, que también hay ejemplos bien planteados.

La cuestión que yo miraría fundamentalmente es la que tu planteas acerca de como se ven unos sistemas a otros, o dicho de otra manera, como se relacionan dichos sistemas.

Un tema muy interesante alshain.

[SSS]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Para mi el problema está en que un espaciotiempo plano con observadores acelerados está muy bien como ejemplo. Pero yo no entiendo eso como gravedad, la gravedad incorpora efectos muy concretos que lo diferencian de un sistema acelerado en cuanto te sales un pelín de un punto (eso que estabais discutiendo en el otro hilo). Los efectos de marea y de desviación geodésica son fundamentales a mi modo de ver y muchas veces hay ciertas confusiones con el concepto de planitud. Una cosa es poder hacer secciones espaciales planas, lo cual ya es interesante de por sí, y otra tener un espaciotiempo completamente plano, que también hay ejemplos bien planteados.

La cuestión que yo miraría fundamentalmente es la que tu planteas acerca de como se ven unos sistemas a otros, o dicho de otra manera, como se relacionan dichos sistemas.

Un tema muy interesante alshain.

Yo veo el siguiente problema: todo espacio tiempo estático es esféricamente simétrico y viceversa, por el teorema de Birkoff. Un espaciotiempo con un campo gravitatorio uniforme y constante deberia ser estático, y por tanto tener simetría esférica. Pero no veo como podemos obtener un espacio tiempo con simetría esférica y campo gravitatorio constante...

[alshain]

Re: El campo gravitatorio uniforme

No estoy deacuerdo en que el campo gravitatorio es un espaciotiempo plano sin curvatura. Supongamos que queremos analizar la situación de campo gravitatorio uniforme en el vacío (exterior de la supuesta fuente de masa que lo crearía).

Tenemos (esto es general para el vacío):

$R_{ab}-\frac{1}{2}R g_{ab} = 0$

De donde se deduce que $R = 0$ y por tanto las ecuaciones de campo a resolver son:

$R_{ab} = 0$

Por tanto no se puede suponer que un campo gravitatorio uniforme en el vacío implique una métrica plana. Ahora habría que imponer algún tipo de simetría o condición en el problema para poder continuar. Por ejemplo, si imponemos simetría esférica obtenemos la métrica de Scharzchild.

La verdad es que este aspecto lo he mencionado muy por encima en la derivación de la expresión general para un campo gravitatorio uniforme que he puesto antes. En principio todo parece ser una cuestión de definiciones y de si quieremos imponer la condición adicional de curvatura nula.

Pero creo que no, porque la condición de curvatura nula viene dada de forma natural por el principio de equivalencia. El principio de equivalencia exige que un observador estacionario en un campo gravitatorio uniforme ha de ser equivalente a un observador uniformemente acelerado. Es decir, el observador en un campo gravitatorio uniforme ha de poder eliminar el efecto del campo gravitatorio por medio de una transformación de coordenadas. Esto sólo es posible si la curvatura es nula.

¿Crees que uno puede pasar por alto esta condición? La verdad es que este punto también me pasó por la cabeza cuando preparaba el articulito, pero me pareció que la curvatura nula era una consecuancia natural y necesaria. De hecho, mi dericavión de la forma general para el campo gravitatorio uniforme está basada en un papel de Rohrlich (ver referencias) donde él también la impone, y creo que precisamente debido al principio de equivalencia.

Un saludo.

[alshain]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Yo veo el siguiente problema: todo espacio tiempo estático es esféricamente simétrico y viceversa, por el teorema de Birkoff. Un espaciotiempo con un campo gravitatorio uniforme y constante deberia ser estático, y por tanto tener simetría esférica. Pero no veo como podemos obtener un espacio tiempo con simetría esférica y campo gravitatorio constante...

Yo conozco la versión del teorema que dice que toda solución de vacío con simetría esférica ha de ser estacionaria y asintóticamente plana. Es decir, simetría esférica $\Rightarrow$ estacionario. O de forma equivalente, imponer la condición de simetría esférica tiene como solución única la métrica de Schwarzschild. Pero ¿se cumple también que estacionario $\Rightarrow$ simetría esférica? Si es cierto entonces el punto que traes aquí a discusión es muy interesante y lo he pasado completamente por alto.

[SSS]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Yo conozco la versión del teorema que dice que toda solución de vacío con simetría esférica ha de ser estacionaria y asintóticamente plana. Es decir, simetría esférica $\Rightarrow$ estacionario. O de forma equivalente, imponer la condición de simetría esférica tiene como solución única la métrica de Schwarzschild. Pero ¿se cumple también que estacionario $\Rightarrow$ simetría esférica? Si es cierto entonces el punto que traes aquí a discusión es muy interesante y lo he pasado completamente por alto.

Tienes razón! la implicación contraria no se tiene por qué cumplir. Un lapsus.

Realmente lo que se establece es que:

Simetría esférica $\Rightarrow$ estático (no solo estacionario)

Por tanto mi razonamiento queda invalidado.

[SSS]

Re: El campo gravitatorio uniforme

La verdad es que este aspecto lo he mencionado muy por encima en la derivación de la expresión general para un campo gravitatorio uniforme que he puesto antes. En principio todo parece ser una cuestión de definiciones y de si quieremos imponer la condición adicional de curvatura nula.

Pero creo que no, porque la condición de curvatura nula viene dada de forma natural por el principio de equivalencia. El principio de equivalencia exige que un observador estacionario en un campo gravitatorio uniforme ha de ser equivalente a un observador uniformemente acelerado. Es decir, el observador en un campo gravitatorio uniforme ha de poder eliminar el efecto del campo gravitatorio por medio de una transformación de coordenadas. Esto sólo es posible si la curvatura es nula.

¿Crees que uno puede pasar por alto esta condición? La verdad es que este punto también me pasó por la cabeza cuando preparaba el articulito, pero me pareció que la curvatura nula era una consecuancia natural y necesaria. De hecho, mi dericavión de la forma general para el campo gravitatorio uniforme está basada en un papel de Rohrlich (ver referencias) donde él también la impone, y creo que precisamente debido al principio de equivalencia.

Un saludo.

No sé si te he entendido. Es decir, estamos de acuerdo en que se debe cumplir $R_{ab}=0$. Esta sería la situación más general. Yo ahi impondría simetría cilíndrica entorno a una dirección privilegiada (campo gravitatorio) a ver que pasa.

Tu propones suponder directamente que la métrica es plana, no?. En ese caso estamos en RE y no tenemos por qué integrar el campo gravitatorio en la estructura geométrica, lo podemos tratar como una cuadrifuerza.

[alshain]

Re: El campo gravitatorio uniforme

En efecto, estamos en la relatividad especial con una métrica plana, al menos en el artículo que he escrito. En mi opinión este requerimiento es esencial a un campo gravitatorio uniforme, como he mencionado, debido al principio de equivalencia. Lo mismo ocurre con ese aspecto del teorema de Birkoff, que tras reflexionar creo no es relevante para el caso tratado: estamos tratando con la solución de Minkowski a las ecuaciones de Einstein.

Es importante notar que en realidad no estamos buscando otra solución a las ecuaciones de Einstein. Lo que buscamos son sistemas coordenados diferentes al de Minkowski "inercial" para describir el espacio-tiempo de Minkowski. Son las propiedades de estos sistemas lo que nos interesa. Llegar a esto es posible o bien partiendo del elemento de línea de Minkowski y luego realizando una transformación de coordenadas, o bien analizando las propiedades del campo gravitatorio uniforme diréctamente (como en la derivación de Rohrlich que sigo en mi artículo).

¿Podemos tratar entonces el campo gravitatorio uniforme como una cuadrifuerza? Claro, podemos. Es la parte de los símbolos de Christofell para un movimiento acelerado. Pero esto abre una serie de preguntas interesantísimas: ¿actúa la cuadrifuerza sobre la masa en reposo o sobre la masa relativista? ¿es la cuadrifuerza uniforme constante a lo largo del espacio "en dirección Z"? etc. Parte de las respuestas se desprenden de mi artículo. No lo he tratado de forma explícita, pero tus comentarios y los de Entro creo que son excelentes porque quizás sea buena idea reescribir partes del artículo con esto en mente.

De mi artículo se desprende que el sistema coordenado de Rindler se obtiene en caso de una fuerza, la cual, actuando sobre la masa en reposo, no puede ser constante en el espacio. Esto contradice la noción intuitiva que tenemos de la fuerza gravitatoria newtoniana en un campo gravitatorio uniforme. Esto no es nada nuevo vaya, y es un resultado estándar ¿Por qué de tal resultado? En mi opinión, como ya he mencionado, esto se debe a una definción muy precisa de "estar en reposo" que viene impuesta por el requerimiento de rigidez de Born.

¿Qué ocurre con "otros campos gravitatorios uniformes"? Pues hay varias posibilidades. Investigar esto, en concreto su relación con el modelo newtoniano y el de la cuadrifuerza en la relatividad especial, creo que sería un tema muy interesante. Nada nuevo supongo, pero que personalmente la verdad no he visto en detalle en la literatura, ya que siempre se toma "obviamente" al campo gravitatorio uniforme como el de Rindler. Una determinada noción de reposo creo que es la clave del asunto aquí.

Un saludo.

[SSS]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Es importante notar que en realidad no estamos buscando otra solución a las ecuaciones de Einstein. Lo que buscamos son sistemas coordenados diferentes al de Minkowski "inercial" para describir el espacio-tiempo de Minkowski. Son las propiedades de estos sistemas lo que nos interesa. Llegar a esto es posible o bien partiendo del elemento de línea de Minkowski y luego realizando una transformación de coordenadas, o bien analizando las propiedades del campo gravitatorio uniforme diréctamente (como en la derivación de Rohrlich que sigo en mi artículo).

Creo que no te entiendo. En el espacio de Minkowski las unicas transformaciones que se pueden considerar son las del grupo de Poincaré, que dejan invariante la métrica. A qué te refieres con otras transformaciones?

¿Podemos tratar entonces el campo gravitatorio uniforme como una cuadrifuerza? Claro, podemos. Es la parte de los símbolos de Christofell para un movimiento acelerado. Pero esto abre una serie de preguntas interesantísimas: ¿actúa la cuadrifuerza sobre la masa en reposo o sobre la masa relativista? ¿es la cuadrifuerza uniforme constante a lo largo del espacio "en dirección Z"? etc. Parte de las respuestas se desprenden de mi artículo. No lo he tratado de forma explícita, pero tus comentarios y los de Entro creo que son excelentes porque quizás sea buena idea reescribir partes del artículo con esto en mente.

Una vez que no se introduce la gravitacion en la estrutura geométrica y se supone un espaciotiempo Minkowski, la ecuacion dinámica es la ecuacion de Newton y solo se consideran cuadrifuerzas.

En el libro Special Relativity de Ugarov, que solo trata de RE pero muy profundamente, hace todos estos analisis, y hace mecánica en RE. De hechot iene resueltos muchos problemas, particula en un campo gravitatorio uniforme, en un campo electrico, magnetico... todo desde el punto de vista de la RE con cuadrifuerzas. La unica masa real que existe es la de reposo, lo que pasa que en las definiciones de cuadrifuerzas se introducen varias gammas por ahi.

De mi artículo se desprende que el sistema coordenado de Rindler se obtiene en caso de una fuerza, la cual, actuando sobre la masa en reposo, no puede ser constante en el espacio. Esto contradice la noción intuitiva que tenemos de la fuerza gravitatoria newtoniana en un campo gravitatorio uniforme. Esto no es nada nuevo vaya, y es un resultado estándar ¿Por qué de tal resultado? En mi opinión, como ya he mencionado, esto se debe a una definción muy precisa de "estar en reposo" que viene impuesta por el requerimiento de rigidez de Born.

No entiendo lo que quieres decir aquí.

[alshain]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Creo que no te entiendo. En el espacio de Minkowski las unicas transformaciones que se pueden considerar son las del grupo de Poincaré, que dejan invariante la métrica. A qué te refieres con otras transformaciones?

En la relatividad general la métrica es invariante frente a transformaciones de coordenadas, no sólo frente a transformaciones inerciales. En concreto, estamos hablando de una transformación a un sistema uniformemente acelerado.

Una vez que no se introduce la gravitacion en la estrutura geométrica y se supone un espaciotiempo Minkowski, la ecuacion dinámica es la ecuacion de Newton y solo se consideran cuadrifuerzas.

En general la gravitación no se considera así nunca en la relatividad general. De lo que se trata aquí es del cambio a un sistema uniformemente acelerado. En concreto, no hay fuerzas, sino símbolos de Christoffel no nulos. Pero si uno quiere quedarse en el marco de la relatividad especial, en el sentido de quedarse en un sistema de coordenadas inerciales, entonces también se puede hacer, como he mencionado y como puedes leer en mi artículo, pero eso plantea ciertas preguntas sobre la fuerza a considerar.

No entiendo lo que quieres decir aquí.

Creo que deberías leer mi artículo. Todas las preguntas anteriores creo que hubieran encontrado respuesta ahí.

Un saludo.

[Entro]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Ahora no dispongo de tiempo para pensar sobre esto, pero es un tema sutil y extremadamente interesante y creo que un buen punto de partida es este artículo:

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0503092

[SSS]

Re: El campo gravitatorio uniforme

En la relatividad general la métrica es invariante frente a transformaciones de coordenadas, no sólo frente a transformaciones inerciales. En concreto, estamos hablando de una transformación a un sistema uniformemente acelerado.

Lo sé lo sé, pero se supone que estamos hablando de RE!( o eso me has dado a entender) si tu quieres mantener la métrica plana $\eta_{\mu\nu}$ sólo puedes considerar transformaciones del grupo de Poincaré.

En general la gravitación no se considera así nunca en la relatividad general. De lo que se trata aquí es del cambio a un sistema uniformemente acelerado. En concreto, no hay fuerzas, sino símbolos de Christoffel no nulos. Pero si uno quiere quedarse en el marco de la relatividad especial, en el sentido de quedarse en un sistema de coordenadas inerciales, entonces también se puede hacer, como he mencionado y como puedes leer en mi artículo, pero eso plantea ciertas preguntas sobre la fuerza a considerar.

Vamos a ver. Sé que como se considera la gravedad en RG. Pero de nuevo se supone que estamos hablando de un campo gravitatorio uniforme en RE. (Por cierto, en RG también hay fuerzas claro, como la que viene dada por la fuerza de Lorentz cuadridimensional).

En cualquier caso, lo que no puedes decir es: me quedo con una métrica plana, (esa es la solución que me dijiste que escogías de $R_{ab}=0$) y considero un campo gravitatorio y después decirme que estas considerando una situación en RG.

Tienes dos opciones:

a) No metes el campo gravitatorio en la estructura geométrica, y por tanto tienes una métrica plana con un campo gravitatorio uniforme (con la métrica constante!) y la evolución dinámica viene dada por la ecuacion de Newton en forma cuadridimensional. Todo esto está resuelto en muchos casos en el Ugarov de RE que te nombré.

b) Consideras un campo gravitatorio uniforme pero esta vez lo incluyes en la estructura geométrica de forma que las trayectorias de las partículas son las geodésicas de la métrica $g_{ab}$ solución de $R_{ab}=0$. En este caso la métrica ya no será plana, claro, y se puede considerar cualquier transformación tensorial.

Incluso tienes una opción más dentro de la b):

b') Adopto la postura b) pero escojo coordenadas normales en caída libre de manera que localmente recupero RE.

Si escoges b') entonces dime antes cual es la métrica claro.

[alshain]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Lo sé lo sé, pero se supone que estamos hablando de RE!( o eso me has dado a entender) si tu quieres mantener la métrica plana $\eta_{\mu\nu}$ sólo puedes considerar transformaciones del grupo de Poincaré.

Pero es que eso no es correcto. La transformación de la métrica diag(-1, 1, 1, 1) a un sistema uniformemente acelerado la hace cambiar, en el sentido que varía su elemento de línea al variar sus componentes, pero el tensor métrico es el mismo en el sentido que describe el mismo espacio-tiempo. No por acelerar yo va el espacio-tiempo a cambiar su métrica.

Vamos a ver. Sé que como se considera la gravedad en RG. Pero de nuevo se supone que estamos hablando de un campo gravitatorio uniforme en RE.

Creo que no me expliqué bien aquí y lo siento porque veo que estoy dando pie a confusión innecesaria quizás. Estamos hablando de la relatividad general, por su puesto. La relatividad especial aparece como una solución particular a la relatividad general en este contexto. En concreto, se trata del espacio-tiempo plano. Este espacio-tiempo lo puedo describir desde diferentes sistemas coordenados. El usual es un sistema inercial, en el cual la métrica toma la forma diag(-1, 1, 1, 1). No obstante, también puedo usar un sistema uniformemente acelerado. Debido al principio de equivalencia, la descripción de la física en tal sistema corresponde a un campo gravitatorio uniforme.

a) No metes el campo gravitatorio en la estructura geométrica, y por tanto tienes una métrica plana con un campo gravitatorio uniforme (con la métrica constante!) y la evolución dinámica viene dada por la ecuacion de Newton en forma cuadridimensional.

En efecto, en ese caso lo que hago es mantenerme en un sistema inercial. El campo gravitatorio uniforme aparece entonces necesariamente como una fuerza, descrita como bien mencionas y como yo he mencionado en mi artículo.

b) Consideras un campo gravitatorio uniforme pero esta vez lo incluyes en la estructura geométrica de forma que las trayectorias de las partículas son las geodésicas de la métrica $g_{ab}$ solución de $R_{ab}=0$. En este caso la métrica ya no será plana, claro, y se puede considerar cualquier transformación tensorial.

El campo gravitatorio uniforme corresponde con una métrica plana. Las razones para ello las he mencionado ya, en concreto, es consecuencia del principio de equivalencia. En este caso lo que estoy haciendo es pasar a un sistema uniformemente acelerado y ponerme estacionario respecto del campo.

Quizás parte de toda esta confusión emerge del incorrecto uso del término "espacio-tiempo de Rindler". El espacio-tiempo de Rindler no existe como tal. Es el espacio-tiempo de Minkowski, descrito desde un "marco de Rindler".

[SSS]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Pero es que eso no es correcto. La transformación de la métrica diag(-1, 1, 1, 1) a un sistema uniformemente acelerado la hace cambiar, en el sentido que varía su elemento de línea al variar sus componentes, pero el tensor métrico es el mismo en el sentido que describe el mismo espacio-tiempo. No por acelerar yo va el espacio-tiempo a cambiar su métrica.

Creo que no me expliqué bien aquí y lo siento porque veo que estoy dando pie a confusión innecesaria quizás. Estamos hablando de la relatividad general, por su puesto. La relatividad especial aparece como una solución particular a la relatividad general en este contexto. En concreto, se trata del espacio-tiempo plano. Este espacio-tiempo lo puedo describir desde diferentes sistemas coordenados. El usual es un sistema inercial, en el cual la métrica toma la forma diag(-1, 1, 1, 1). No obstante, también puedo usar un sistema uniformemente acelerado. Debido al principio de equivalencia, la descripción de la física en tal sistema corresponde a un campo gravitatorio uniforme.


En efecto, en ese caso lo que hago es mantenerme en un sistema inercial. El campo gravitatorio uniforme aparece entonces necesariamente como una fuerza, descrita como bien mencionas y como yo he mencionado en mi artículo.


El campo gravitatorio uniforme corresponde con una métrica plana. Las razones para ello las he mencionado ya, en concreto, es consecuencia del principio de equivalencia. En este caso lo que estoy haciendo es pasar a un sistema uniformemente acelerado y ponerme estacionario respecto del campo.

Quizás parte de toda esta confusión emerge del incorrecto uso del término "espacio-tiempo de Rindler". El espacio-tiempo de Rindler no existe como tal. Es el espacio-tiempo de Minkowski, descrito desde un "marco de Rindler".

Es que desde mi punto de vista te contradices. O tratas la gravedad como una fuerza y estamos en RE estrictamente, o la tratas como en RG y entonces no hay que nombrar la fuerza para nada. Las trayectorias seran geodesicas en cualquier sistema de referencia y para cualquier observador y existiran coordenadas normales globales donde las geodésicas sean rectas.

[alshain]

Re: El campo gravitatorio uniforme

Creo que no hay contradicción. Te voy a resumir la forma de proceder en el artículo.

Por un lado parto del campo gravitatorio newtoniano, el ejercido por una lámina infinita de densidad uniforme. En un primer paso asumo que no existe la relatividad general y considero la gravitación descrita en términos newtonianos en el marco de la relatividad especial. Es decir, considero la gravitación como una fuerza en el espacio-tiempo plano. De aquí obtengo que tal campo da lugar a un movimiento hiperbólico sobre el cuerpo que actúa.

Luego paso a analizar el problema desde el punto de vista de la relatividad general. Evidentemente aquí ya no vale hablar de fuerzas. Debido al principio de equivalencia el campo gravitatorio uniforme es descrito de igual forma que en un sistema uniformemente acelerado. El artículo muestra la equivalencia entre un observador estacionario en un campo gravitatorio uniforme (el de Rindler) y un observador uniformemente acelerado en movimiento hiperbólico. La gravitación en un campo gravitatorio uniforme es debida a los símbolos de Christoffel no nulos al estar en un sistema uniformemente acelerado.

Las geodésicas en un campo gravitatorio uniforme son líneas rectas en un sistema cartesiano ("sistema de Minkowski") inercial. Esto es así porque realmente estamos en el "espacio-tiempo de Minkowski". Es lo mismo transformar una recta en el sistema de Minkowski por medio de una transformación de coordenadas al sistema uniformemence acelerado ("sistema de Rindler"), que obtener la ecuación geodésica en el sistema de Rindler. Esto es debido a que estamos en un mismo espacio-tiempo y sólo modificamos el sistema coordenado desde el cual describimos esas trayectorias. Esto lo muestro también en el artículo, aunque no de forma muy estricta.

También muestro que la noción del campo gravitatorio newtoniano no corresponde con el sistema de Rindler en la relatividad general. Para que exista una equivalencia entre ambas descripciones (el campo gravitatorio uniforme descrito por el sistema de Rindler y el campo gravitatorio uniforme newtoniano actuando en la relatividad especial) deben darse ciertas condiciones que se pueden extraer del artículo, aunque no menciono explícitamente. En cualquier caso, si entre ambas descripciones hay que elegir una "correcta" entonces hay que quedarse con la de la relatividad general. Pero precisamente otra cosa interesante es que en la relatividad general la noción de campo gravitatorio uniforme no es única, y que su definición está ligada a ciertas premisas muy concretas (rigidez de Born).

De todas formas aprovecho para agradecerte este intercambio de ideas porque he visto que hay ciertas cosas que debería reescribir en el artículo y creo que me ha quedado claro cómo hacerlo, especialmente insistir en este punto que estamos tratando ahora.

Un saludo.