Divulgación Gravitación universal

[Visitante]

Hola otra vez,
¿Cómo se calculó o dedució la constante gravitatoria G $6,67*{10}^{ -11}$?

[arivasm]

Re: Gravitación universal

La midió Cavendish por primera vez, hacia 1797. Bien, en realidad no lo hizo, en el sentido de que no se detuvo en obtener su valor, ya que se conformó con determinar la masa de la Tierra. Pasarían casi 100 años hasta que alguien tradujo esa medida en el valor de G.

[Singularity]

Re: Gravitación universal

$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$

$x=ur$

$x'=ur'+vr\theta'$

$x''=u(r'-r\theta'2)+v(2r'\theta'+r\theta'')$

$\frac{1}{2}r^2\theta'=\frac{\pi ab}{P}=\frac{\pi a^2\sqrt{1-e^2}}{P}$

$\frac{d(r^2\theta')}{dt}=r(2r'\theta'+r\theta'')=0$

$\vec{F}=m(r''-r\theta'^2)\frac{\vec{x}}{r}$

$\vec{F}=-\frac{m4\pi^2a^3}{P^2r^3}\vec{x}=-\frac{m\lambda_{s}}{r^3}\vec{x}$

$m\lambda_{s}=m_{s}\lambda$

$\frac{m_{s}}{\lambda_{s}}=\frac{m}{\lambda}=G$

$\vec{F}=-G\frac{mm_{s}}{r^2}\frac{\vec{x}}{r}$

Por si alguien tiene curiosidad. He puesto una coma flotante (') para las derivadas. Si la he cagado corregidme sin problema.

Un saludo!

[arivasm]

Re: Gravitación universal

Por lo que veo, Singularity, lo que has escrito es un desarrollo (mudo!) que lleva de las leyes de Kepler a la ley de gravitación universal. Entiendo que la pregunta de Malevolex era otra.

[Visitante]

Re: Gravitación universal

La verdad es que todavía no llego a tanto.

[arivasm]

Re: Gravitación universal

Parece muy aparatosa porque es para órbitas elípticas (y encima dificultada porque está "a palo seco", sin texto). En 2º de bachillerato se ve lo mismo pero con órbitas circulares y verás que no es tan complicado como parece en el mensaje de Singularity.

[Singularity]

Re: Gravitación universal

Por lo que veo, Singularity, lo que has escrito es un desarrollo (mudo!) que lleva de las leyes de Kepler a la ley de gravitación universal. Entiendo que la pregunta de Malevolex era otra.

Sí, perdón! Empecé explicando paso a paso, pero se me hizo algo tedioso después de haber puesto en latex todo, así que desistí. Lo enfoqué más como curiosidad, entiendo que la cuestión estaba ya contestada por ti.

En efecto es para órbitas elípticas, a partir de la 2a ley de Kepler

Malevolex, la 2ª, 3ª y 4ª expresión es la posición, velocidad y aceleración, respectivamente. La 5ª es la velocidad aerolar igualada al área del elipse barrida en un intervalo de tiempo P. No es tan complicado como parece, como bien dice arivasm.

Un saludo!

[Visitante]

Re: Gravitación universal

El temario de gravitación universal de 2º de bachillerato ya me lo he acabado por mi cuenta y he visto algo parecido como has dicho para órbitas circulares, pero al revés, desde la ley de gravitación universal igualada a fuerza centrípeda llega a las leyes de kepler demostrando la tercera ley de Kepler (El cuadrado del periodo del movimiento de un astro alrededor del otro astro es proporcional a la distancia media entre ambos, o bien el cociente el período al cuadrado y la distancia media al cubo es constante para cada sistema)
¿Cuándo se ve para órbitas elípticas?

[Weip]

Re: Gravitación universal

Órbitas elípticas y cónicas en general se ven en primero de carrera (aunque yo lo di en la carrera de mates tengo entendido que en física se suele dar el primer semestre). Aunque arivasm y Singularity dicen que no es tan complicado, yo diría que verdaderamente sí lo es. Las demostraciones son largas y tediosas (no solo esta en concreto), bastante más que en otras partes de la mecánica newtoniana que se da en primero de carrera. Al menos para mi. De mi carrera los que habían visto poco de integrales en el colegio sudaron lo suyo también.

[arivasm]

Re: Gravitación universal

El temario de gravitación universal de 2º de bachillerato ya me lo he acabado por mi cuenta y he visto algo parecido como has dicho para órbitas circulares, pero al revés, desde la ley de gravitación universal igualada a fuerza centrípeda llega a las leyes de kepler demostrando la tercera ley de Kepler

El enfoque que se suele dar en 2º de bachillerato para pasar de las leyes de Kepler a la de gravitación universal, en órbitas circulares, es éste: La 1ª y la 2ª ley implican la conservación del momento angular planetario respecto del Sol, lo que significa que la fuerza sobre un planeta es central, dirigida hacia el Sol; después se aplica la 2ª ley de Newton al movimiento de un planeta, $\dst F =m \frac{v^2}{r}=m \frac{4\pi r}{T^2}$; la 3ª ley de Kepler, que en este caso es $T^2=Kr^3$ lleva directamente a que $\dst F=\frac{4\pi}{K}\,\frac{m}{r^2}$. La ley de acción y reacción, junto con la abstracción de que el par Sol-planeta es en realidad un par de masas, lleva a que $\dst F=\frac{4\pi}{K}\,\frac{m}{r^2}=\frac{4\pi}{K'}\,\frac{M}{r^2}$. Por último, el hecho de que la fuerza sea proporcional a cada una de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas lleva a la conocida forma $\dst F=G\frac{Mm}{r^2}$. El que $G$ sea una constante universal procede de una ignorancia: puesto que la influencia sobre la fuerza de las masas y las posiciones ya está recogida en la expresión anterior, $G$ debe ser independiente de esas magnitudes. ¿De qué otras cosas podría depender $G$?. Si no conocemos ninguna entonces nos vemos obligados a otorgarle un carácter universal.

En 2º de bachillerato se concede mucha importancia al primer paso, es decir, a la conservación del momento angular. De tu mensaje deduzco que quizá hayas pasado por alto ese punto. El principal interés reside en que la gravitación que se estudia en 2º de bachillerato no es una finalidad en sí misma, sino una excusa para abordar conceptos más generales, como son momento angular, campos conservativos, potencial de campo, etc. Por eso no es buena idea hacer el camino "fácil", esto es, hecho al revés.

[Visitante]

Re: Gravitación universal

En 2º de bachillerato se concede mucha importancia al primer paso, es decir, a la conservación del momento angular. De tu mensaje deduzco que quizá hayas pasado por alto ese punto. El principal interés reside en que la gravitación que se estudia en 2º de bachillerato no es una finalidad en sí misma, sino una excusa para abordar conceptos más generales, como son momento angular, campos conservativos, potencial de campo, etc. Por eso no es buena idea hacer el camino "fácil", esto es, hecho al revés.

Y tanta importancia que se le da a eso, es medio tema para la conservación del momento angular y lo qué es el momento angular, y otro tema a campo gravitatorio, zonas equipotenciales, conservación de la energía... Pero lo pregunto por curiosidad a como son las órbitas elípticas, porque casi todo esto solo se aplica en caso de que la órbita sea circular (la conservación del momento angular y la energía se conserva para todas las órbitas).

[arivasm]

Re: Gravitación universal

Las órbitas elípticas sólo tienen de diferente un par de pasos, que están en el post de Singularity. Lo que sucede es que hace uso de algunas cuestiones, como la ecuación polar de la órbita, y conceptos que se tratan más allá de 2º de bac, como las componentes polares de las magnitudes cinemáticas. Pero conceptualmente es exactamente igual al caso circular.

Respecto del momento angular y 2º de bac, está visto que cada maestrillo tenemos nuestro propio librillo. ;-)