Otras carreras dudas sobre el tensor gravitatorio de Einstein

[mrmgranada]

Bueno, tengo una serie de dudas:

1.- Tengo entendido que el gradiente de una función es un vector que indica hacia dónde aumenta su módulo. Entonces, ¿el gradiente del tensor gravitatorio de Einstein indica hacia dónde aumenta la curvatura del espaciotiempo?


2.- ¿Cuál es el significado de hacer el determinante de la matriz de dicho tensor?


3.- ¿Cuál es la relación (en ecuaciones) entre el tensor gravitatorio y el movimiento que describirá una partícula afectada por la curvatura descrita en dicho tensor?



Muchas gracias y perdón si he hecho alguna pregunta sin sentido o tonta, pero todavía sé muy poco sobre relatividad.

[carroza]

Re: dudas sobre el tensor gravitatorio de Einstein

Hola.

No soy especialista, pero voy a tratar de responderte.

Una cosa previa. No se a lo que te refieres por "tensor gravitatorio". Los relevante en relatividad general es el tensor métrico, $g_{ij}$, que determina el intervalo en términos de unas coordenadas espaciales y temporales determinadas, y el tensor de Ricci, $R_{i,j}$, que describe la curvatura del espacio-tiempo y tiene que ver con derivadas segundas del tensor métrico.

1. El gradiente (en tres dimensiones) de una función escalar indica la dirección de máxima variación de esa función.
El tensor de Ricci, en un sentido muy amplio, tiene que ver con las variaciones del tensor métrico, y está relacionado con la curvatura del espacio-tiempo. Un espacio-tiempo plano (sin gravedad) tiene tensor de Ricci nulo.

2. Yo diría (no estoy muy seguro) que el determinante del tensor métrico es siempre igual a -1. La razón es que cualquier sistema es localmente equivalente a un espacio-tiempo plano, y en este pueden elegirse las coordenadas de forma que $g_{ij}$ sea diagonal y con valores (-1,1,1,1). Como el determinante suele conservarse en transformaciones razonables, quizás (no estoy muy seguro), el determinante sea -1 en general.

3. El movimiento en un espacio-tiempo curvo transcurre a lo largo de geodésicas. Esas se caracterizan porque el intervalo S es extremo. El elemento de intervalo $ds$ se obtiene a partir del tensor métrico como

$ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij} dx_i dx_j$

A partir de esto, las ecuaciones de la geodésica vienen dados, por ejemplo, en http://es.wikipedia.org/wiki/Geod%C3%A9sica

[pod]

Re: dudas sobre el tensor gravitatorio de Einstein

Supongo que con tensor de Einstein se refiere a la cantidad que aparece a la izquierda de las ecuaciones de Einstein,

$$G_{\mu\nu}= R_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu} R .$$

Ahora bien, las respuestas de Carroza no cambian mucho.

Sobre uno, habría que ver qué quieres decir con tensor. Supongo que te refieres a algo así: $\nabla_\rho G_{\mu\nu}$. Supongo que con algunas relaciones se puede calcular cuanto vale esto, pero te saldrá algo con tres índices. No sé como vas a interpretar eso como una dirección.

El determinante, supongo que se puede calcular también, pero no sé que tenga ningún significado especial.

Las ecuaciones de Einstein son peculiares en el sentido que incluyen tanto la forma en que la materia afecta a la curvatura, como la forma en que la curvatura afecta a la materia. Esto, que dicho así parece tonto, en la gravedad Newtoniana no era así: teníamos la segunda ley de Newton que dice como cualquier fuerza a la materia, pero la fuerza que ejerce la gravedad se tiene que describir mediante una ley extra. En ese sentido, en relatividad general lo tenemos todo en uno. Tomando las ecuaciones de Einstein y separandolas por componentes de la forma adecuada, llegamos a una parte que se reduce a la ecuación de las geodésicas (en consecuencia, como decía Carroza, normalmente se parte directamente de las geodésicas si sólo nos interesa el movimiento de partículas prueba) y a otra que describe las ecuaciones de campo.