1r ciclo Pequeña duda sobre como pasar cualquier magnitud de un SRI a otro

[javier m]

Hola, una duda. Para pasar una mágnitud arbitraria $\phi$ de un SRI a otro es válido lo siguiente?:

Si $\phi'(\vec{r'},t')$ es el valor de la magnitud en $O'$, entonces se tiene que $\phi(\vec{r},t)=\phi'(\vec{r'}(\vec{r},t), t'(\vec{r},t))$

[guibix]

Re: Pequeña duda sobre como pasar cualquier magnitud de un SRI a otro

Hola, una duda. Para pasar una mágnitud arbitraria $\phi$ de un SRI a otro es válido lo siguiente?:

Si $\phi'(\vec{r'},t')$ es el valor de la magnitud en $O'$, entonces se tiene que $\phi(\vec{r},t)=\phi'(\vec{r'}(\vec{r},t), t'(\vec{r},t))$

Correcto. Todos los valores escalares son invariantes ante las transformaciones de Lorentz. Cambian las coordenadas de cada punto pero la cantidad escalar asociada a cada punto se mantiene con el mismo valor: $\phi(t,\vec x)=\phi'(t',\vec x').$

[javier m]

Re: Pequeña duda sobre como pasar cualquier magnitud de un SRI a otro

No entiendo bien, o sea que es falso que $\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}'(\vec{r'}(\vec{r},t), t'(\vec{r},t))$, con $\vec{E}$ el campo electrico?

Por otro lado qué quieres decir con "escalar", te refieres a que sea un simple número o un invariante relativista?

[guibix]

Re: Pequeña duda sobre como pasar cualquier magnitud de un SRI a otro

Cuidado con esto.

Entiendo por tu primer mensaje que $\phi$ es una función escalar. Cada punto del espacio tiene un solo valor. Los escalares son invariantes, los vectores no. Si hablamos de una función vectorial entonces no ocurre esto, pues las componentes se tienen que transformar entre SRIs. En este caso, la cantidad escalar que sí se conserva es $E_t^2-E_x^2-E_y^2-E_z^2$. Lo que sí podrías decir es que $|\vec{E}(\vec{r},t)|=|\vec{E}'(\vec{r'}(\vec{r},t), t'(\vec{r},t))|$

PD: Aunque si tu interés es en estudiar el electromagnetismo en relatividad, te recomiendo que estudies el álgebra del espacio Minkowski, la notación para cuadri-vectores y tensores. Todo ello es necesario para poder aplicar el tensor del campo electromagnético y obtener las ecuaciones de Maxwell

[javier m]

Re: Pequeña duda sobre como pasar cualquier magnitud de un SRI a otro

Mi interés era ver que las ecuaciones de Maxwell cambian su forma ante transformaciones de Galileo. Para eso iba a usar que $\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}'(\vec{r}-\vec{v}t, t)$ (y de manera analoga con $\vec{B}$) y con eso terminar viendo que si se cumplía $\nabla \times \vec{E}= - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ no se cumplía $\nabla' \times \vec{E'}= - \frac{\partial \vec{B'}}{\partial t}$

[guibix]

Re: Pequeña duda sobre como pasar cualquier magnitud de un SRI a otro

Mi interés era ver que las ecuaciones de Maxwell cambian su forma ante transformaciones de Galileo. Para eso iba a usar que $\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}'(\vec{r}-\vec{v}t, t)$ (y de manera analoga con $\vec{B}$) y con eso terminar viendo que si se cumplía $\nabla \times \vec{E}= - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ no se cumplía $\nabla' \times \vec{E'}= - \frac{\partial \vec{B'}}{\partial t}$

Exacto, las leyes de Maxwell no son invariantes ante las transformaciones de Galileo. De aquí surge precisamente la idea de la Relatividad Especial: crear unas transformaciones en las que las ecuaciones de Maxwell sean invariantes para todos los SRIs.

[javier m]

Re: Pequeña duda sobre como pasar cualquier magnitud de un SRI a otro

¿Pero si es correcto escribir $\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}'(\vec{r}-\vec{v}t, t)$ para probar eso ?

[guibix]

Re: Pequeña duda sobre como pasar cualquier magnitud de un SRI a otro

¿Pero si es correcto escribir $\vec{E}(\vec{r},t)=\vec{E}'(\vec{r}-\vec{v}t, t)$ para probar eso ?

En este caso sí, claro. Si quieres aplicar las transformaciones de Galileo para demostrar que las leyes de Maxwell no son invariantes, entonces esto es lo que estás haciendo.

[javier m]

Re: Pequeña duda sobre como pasar cualquier magnitud de un SRI a otro

Hola, siento que no estás siendo consecuente con eso último que dices. ¿Por qué si puedo usar eso con Galileo, no puedo usar con Lorentz esto $\vec{E}(x,y,z,t)=\vec{E}'(\gamma (x-vt),y,z, \gamma(t-\frac{vx}{c^2}))$ para un boost en la dirección $x$?

[guibix]

Re: Pequeña duda sobre como pasar cualquier magnitud de un SRI a otro

Hola, siento que no estás siendo consecuente con eso último que dices. ¿Por qué si puedo usar eso con Galileo, no puedo usar con Lorentz esto $\vec{E}(x,y,z,t)=\vec{E}'(\gamma (x-vt),y,z, \gamma(t-\frac{vx}{c^2}))$ para un boost en la dirección $x$?

Disculpa, ahora que me fijo mejor y que entiendo más lo que pretendes, tampoco puedes aplicarlo de esta manera en las transformaciones de Galileo. Porque en general $\vec{E}\neq\vec{E}'.$ Puedes tratar ambas funciones en un mismo punto y no te van a dar las mismas componentes. Lo que puedes decir es que los módulos son iguales $|\vec{E}|=|\vec{E}'|.$ O que una es función vectorial de las coordenadas y la otra es función vectorial de las coordenadas transformadas.

$\vec{E}=\vec f (x,y,z,t)$

$\vec{E}'=\vec g (\gamma (x-vt),y,z, \gamma(t-\frac{vx}{c^2})).$

O puedes definir cada uno en función de las coordenadas del otro e igualarlo

$\vec{E}(x,y,z,t)=\vec E (\gamma (x'-vt'),y',z', \gamma(t'-\frac{vx'}{c^2})).$

$\vec{E}'(x',y',z',t')=\vec E' (\gamma (x-vt),y,z, \gamma(t-\frac{vx}{c^2})).$

Hablamos del mismo campo y del mismo punto pero no hablamos de las mismas componentes. Como dije, la igualdad que puede formarse entre dichos vectores con cantidades invariantes de Lorentz es su módulo

$E_t^2-E_x^2-E_y^2-E_z^2=E_t'^2-E_x'^2-E_y'^2-E_z'^2.$

Saludos.

[javier m]

Re: Pequeña duda sobre como pasar cualquier magnitud de un SRI a otro

Aquí escriben la ecuación de onda $\nabla ^2 \vec{E}=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$, y luego escriben que $\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=0$ donde $\phi$ es seguramente cualquiera de las componentes del campo.

Luego, ponen que $\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \phi}{\partial x'}\frac{\partial x'}{\partial x}+\frac{\partial \phi}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial x}+\frac{\partial \phi}{\partial z'} \frac{\partial z'}{\partial x}+\frac{\partial \phi}{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial x}$, esto pareciera salir de $\phi(x,y,z,t)=\phi(x'(x,y,z,t),y'(x,y,z,t),z'(x,y,z,t),t'(x,y,z,t))$ (yo le pondía $\phi '$ en vez de $\phi$ en el lado derecho porque me parece más correcto), pero si $\phi$ es una componente del campo, entonces esto último pareciera ser equivalente a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , y eso es lo que tu dices que no es cierto . Acaso está mal lo que ellos hicieron?

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Por cierto qué quieres decir con $E_t$?