Secundaria MRUA forma relativista

[Visitante]

Imagínense que un coche esta sometido a una aceleración de $2 \frac{m}{{s}^{2 } }$ y parte del reposo ¿Qué distancia cubrirá en 2 min?
La cosa es que el MRUA no es real para nada, y me preguntaba si serían capaces de hacer este ejercicio pero con la forma relativista y de la mecánica cuántica.

[sater]

Re: MRUA forma relativista

En forma relativista sí te sé ayudar. En cuántica no sé a qué te refieres

[angel relativamente]

Re: MRUA forma relativista

Yo no sé de relatividad con aceleraciones (todavía), pero estoy seguro que la solución va a ser la misma (i.e. coincidirían dentro de la precisión razonable del ejercicio)

[Visitante]

Re: MRUA forma relativista

En forma relativista sí te sé ayudar. En cuántica no sé a qué te refieres

Pues cómo es en forma relativista el procedimiento?

Pd: Sé que el resultado va a ser aproximadamente el mismo pero me gustaría saber cómo se hace en forma relativista.

[Niaar]

Re: MRUA forma relativista

Pues según una de las fórmulas la cinemática (MRUA):
$\Delta x = v_0 \cdot t + \frac{1}{ 2}a{t}^{2 }$
$\Delta x = \frac{1}{2 }\cdot2\cdot{120}^{2 } = 14.400 m$
Ésa es la distancia, pero yo aún no sé a donde quieres ir a parar. Es obvio que el coche que no podrá acelerar infinitamente; llegará un momento en que deje de hacerlo porque el motor podrá ir más rápido.

[Visitante]

Re: MRUA forma relativista

Pues según una de las fórmulas la cinemática (MRUA):
$\Delta x = v_0 \cdot t + \frac{1}{ 2}a{t}^{2 }$
$\Delta x = \frac{1}{2 }\cdot2\cdot{120}^{2 } = 14.400 m$
Ésa es la distancia, pero yo aún no sé a donde quieres ir a parar. Es obvio que el coche que no podrá acelerar infinitamente; llegará un momento en que deje de hacerlo porque el motor podrá ir más rápido.

La cosa es que aplicando la mecánica clásica no es cierto, esa ecuación de cinemática (MRUA) implicaría que habría un tiempo en el que la velocidad iría más rápido que la velocidad de la luz cosa que viola uno de los postulados de la teoría de la relatividad, por ello se necesita una corrección en la forma de MRUA y ponerlo en forma relativista.
En cuanto a mecánica cuántica en MRUA para una partícula es una historia muy diferente.
En wikipedia esta al final:
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimie...ente_acelerado
Pero me interesa saber cómo aplican la forma relativista para este problema.

[sater]

Re: MRUA forma relativista

Cuando tenga un ratete te lo escribo, un saludo.

[alexpglez]

Re: MRUA forma relativista

Hola, no sé, en forma relativista, la verdad que no te puedo decir demasiado, supongo que resolver la ecuación de Newton corregida, aunque creo que la relatividad especial no es lo suficiente exacta para describir movimientos acelerados, mejor que alguien te responda mejor.. aparece en wikipedia, http://es.wikipedia.org/wiki/Movimie...ente_acelerado
En mecánica cuántica, supongo que te puedes referir a que actúa una fuerza constante, también viene. Es complicado, yo no sé muy bien, el caso es que primero hay que resolver la ecuación de onda, que es algo complicado, (será fácil si te lo explican, pero si no, al menos para mí es algo complicado), aparecen las funciones de airy, y obtener las eigenfunciones (parecido a cuando vibra una cuerda, tiene varios nodos de vibración). Y lo próximo, si quieres algo del tipo que detectas una partícula en una región, debes de usar técnicas matemáticas para manejar un paquete de ondas (o wavepacket en la literatura inglesa), probablemente obtendrías resultados parecidos para objetos cotidianos.

[Weip]

Re: MRUA forma relativista

¡Hola! Intentaré explicar el caso relativista. Realmente los movimientos acelerados en relatividad son un poco distintos porque la aceleración depende de la velocidad. Pero bueno, podemos hacer el caso de de un movimiento con fuerza constante que vendría a ser el análogo relativista de un MRUA. Partimos de la fuerza:

$F=\dst\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t}=m_0 \dst\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v\gamma$

Ahora definimos la constante $k=F/m_0$. La aceleración de una fuerza constante es:

$a(t)=\dst\frac{k}{\left( 1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}\right)^{3/2} }$

Ahora toca seguir el mismo procedimiento de siempre, integrar para obtener $x(t)$:

$\dst\int^{t_b}_{t_a} \dst\frac{kdt}{\left( 1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}\right)^{3/2}}=\dst\int^{v_b}_{v_a} dv$

$v(t)=\dst\frac{kt}{\sqrt{1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}} }$

Volviendo a integrar queda la posición. No pongo el procedimiento porque tengo prisa pero si alguien quiere que lo ponga mañana lo hago.

$x(t)=-\dst\frac{c^2}{k}+\dst\frac{c^2}{k}\dst\sqrt{1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}}$

Y a partir de aquí se puede sacar el tiempo y demás, los números ya los dejo para otro. Supongo que algún error habré tenido porque he escrito rápido.

Espero haberte ayudado.

PD: Me olvidé decir cosas sobre los límties de integración pero bueno supongo que ya os lo imagináis.

[Visitante]

Re: MRUA forma relativista

¡Hola! Intentaré explicar el caso relativista. Realmente los movimientos acelerados en relatividad son un poco distintos porque la aceleración depende de la velocidad. Pero bueno, podemos hacer el caso de de un movimiento con fuerza constante que vendría a ser el análogo relativista de un MRUA. Partimos de la fuerza:

$F=\dst\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t}=m_0 \dst\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}v\gamma$

Ahora definimos la constante $k=F/m_0$. La aceleración de una fuerza constante es:

$a(t)=\dst\frac{k}{\left( 1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}\right)^{3/2} }$

Ahora toca seguir el mismo procedimiento de siempre, integrar para obtener $x(t)$:

$\dst\int^{t_b}_{t_a} \dst\frac{kdt}{\left( 1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}\right)^{3/2}}=\dst\int^{v_b}_{v_a} dv$

$v(t)=\dst\frac{kt}{\sqrt{1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}} }$

Volviendo a integrar queda la posición. No pongo el procedimiento porque tengo prisa pero si alguien quiere que lo ponga mañana lo hago.

$x(t)=-\dst\frac{c^2}{k}+\dst\frac{c^2}{k}\dst\sqrt{1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}}$

Y a partir de aquí se puede sacar el tiempo y demás, los números ya los dejo para otro. Supongo que algún error habré tenido porque he escrito rápido.

Espero haberte ayudado.

PD: Me olvidé decir cosas sobre los límties de integración pero bueno supongo que ya os lo imagináis.

¿Cuál es la demostración de que la aceleración de una fuerza constante respecto al tiempo es esa ecuación que diste al principio?
La ecuación para la velocidad es considerando que parte del reposo ¿no?
Pd: Por curiosidad ¿Cómo sería el procedimiento para la posición? Cuando puedas claro

[sater]

Re: MRUA forma relativista

Algo parecido iba a hacer yo (no he revisado tampoco lo de weip pero por lo que veo es más menos igual...).
Un saludo

[Al2000]

Re: MRUA forma relativista

Me disculpan si digo una tontería, pues mis conocimientos de relatividad son realmente muy básicos, pero yo creo que la respuesta a la pregunta original de Malevolex es $\frac 1 2 a t^2$. Otra cosa es que para mantener la aceleración constante la fuerza impulsora deba aumentar en el tiempo. Habría que recordar que la cinemática no tiene nada que ver con la masa, las fuerzas, o la energía; es simplemente la descripción del movimiento de la partícula dadas ciertas condiciones.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[sater]

Re: MRUA forma relativista

Creo que llevas razón Al, mis conocimientos de relatividad están empezando a aumentar ahora (espero que para el miércoles que viene estén ya perfectos que tengo examen). A ver si alguien confirma.

[Richard R Richard]

Re: MRUA forma relativista

En la pagina que haces mención de wikipedia tienes la solución.
haciendo k = w es lo mismo que te ha dicho Weip


El calculo cinematico para la posicion, se hace a partir de integrar con respecto al tiempo dos veces la aceleración, que a tiempo cero tu supones $2m/s^2= F/m_{o}$pero como dice Weip la aceleración relativista es funcion de la velocidad, (pues la masa aumenta con ella y la fuerza es constante) entonces la aceleracion caera con los incrementos ella y la integral es un poco mas complicada que para el MRUA Newtoniano en ves de $x(t)=\dfrac 1 2 at^2$ te queda...

$x(t)=\dst \dfrac {c^2}{k}\left[\sqrt {1+\dfrac{k^2t^2}{c^2}}-1\right]$

$x(120 s)=\dst \dfrac {(299792458 m/s)^2}{(2 m/s^2)}\left[\sqrt {1+\dfrac{(2 m/s^2)^2 (120s)^2}{(299792458 m/s)^2}}-1\right]$

$x(120 s)=14398,52374 m$ este resultado es tan preciso tanto como lo puede hacer Excel

si la aceleración la supones constante, para mantenerla debes incrementar paulatinamente la fuerza para que F/m=cte

en ese caso lo calculas con la ecuacion de MRUA y $x(120 s)=14400 m$ como ya te han explicado


ya ves hay 1,476260952 mts de diferencia entre uno y otro




de cuantica no se nada.

Saludos

[Visitante]

Re: MRUA forma relativista

El calculo cinematico para la posicion, se hace a partir de integrar con respecto al tiempo dos veces la aceleración,que a tiempo cero tu supones $2m/s^2= F/m_{o}$pero como dice Weip la aceleración relativista es funcion de la velocidad, (pues la masa aumenta con ella) y la integral es un poco mas complicada que para el MRUA Newtoniano en ves de $x(t)=\dfrac 1 2 at^2$ te queda...

En efecto, tienes que integrar dos veces respecto a la aceleración porque la aceleración es la derivada segunda del vector de posición, no había caído, voy a dejarme esa parte para mí a ver si me sale la integral.
En cuanto a la constante ¿$k=F/{m}_{0 }=\frac{dp}{dt }/{m}_{ 0}=(como {m}_{0 } es constante puede salir de la derivada y anularse)=\frac{dv\gamma}{dt } =a$? ¿Es la constante igual a la aceleración? Es que como hiciste k=2 m/s^2=a
¿En las transformaciones de Lorentz hay algo parecido a esto?
Pd: sé que hay una diferencia muy pequeña pero me picaba la curiosidad