Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Si. En estas formulas faltan G´s y c´s. Pero lo que yo creo que hacen es tranformar
todo en dimensiones de longitud.
(Tiempo en Longitud^1 multiplicando por c)
(Masa en Longitud^1 multiplicando por G y dividiendo por c^2)
(Densidades y presiones en Longitud^-2. Multiplicando por G)
…
Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

$\dst{T_{ab}= ( \delta c^2 + p) u_a u_b + p \cdot{}g_{ab}}$

con $g_{00}=-c^2$

$u_a=u_b=u_0=c$

$\dst{[T']=\begin{bmatrix} + \delta c^4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & p\cdot{} g_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p\cdot{} g_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p\cdot{} g_{33}\end{bmatrix}}$

estos links son los que leido

1)
2)
3)

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Entendido y Gracias.
Ya he visto como funciona la RG para el caso de la metrica FLRW y las
ecuaciones de Friedmann. (Esta es la base de la Cosmologia moderna).
Ahora voy a intentar entender la metrica de Schwarzschild. Aqui hay mucha
mas informacion que en caso de la metrica FLRW. Asi que, yo creo que será
mas facil entender...
(Tambien he visto que hay mas metricas ´exactas´ (la de Kerr, la de Reissner-Nordstrop,
y la de Kerr-Newman). Para masas en rotacion y/o cargadas. Y además, otra teoria
similar a la RG, la de Jordan-Brans-Dicke.).
Voy a ver si puedo calcular y dibujar orbitas planetarias con la metrica de Schwarzschild
y compararlas con la mecanica clasica de Newton.
Un saludo.

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Aqui hay algo que no va bien.

Cuando intento calcular y dibujar orbitas planetarias según la
metrica de Schwarzschild, uso 3 formulas:

1.- La conservacion de la Energia.

$\dst{V_t - V_{ef} = \frac{1}{2} (\frac{dR}{dT})^2}$

(V_t) es el potencial total por unidad de masa= cte.
Siempre V_t > V_ef. [L^0] = adimensional.
(V_ef) es el potencial efectivo por unidad de masa. [L^0] = adimensional.
(R) es el radio. [L^1] = longitud.
(T) es tiempo propio. [L^1] = longitud.

2.- La conservacion del Momento Angular.

$\dst{L_a = \frac{R^2\;dA}{dT}}$

(L_a) es el Momento Angular por unidad de masa = cte. [L^1] = longitud.
(A) es el angulo en Rad. [L^0] = adimensional.

3.- El potencial efectivo.

$\dst{V_{ef} = \frac{L_a^2}{2\:R^2}- \frac{m}{R}-\frac{m\:L_a^2}{R^3}}$

(m) es la masa del cuerpo central. [L^1] = longitud.

Con los datos:
m = 1 Km. (O sea, una masa equivalente a 0.68 la masa del Sol)
L_a = 3.75 Km.
V_t = -0.038

Resulta una orbita abierta:
Perihelio = 6.34 Km
Afelio = 16.42 Km
Periodo orbital = 1.07 milisegundos
Angulo total por revolucion = 10.98 Rad.
Precesion por orbita = 4.7 Rad.

Hasta aquí, sin problemas...

Ahora, intento comprobar si el resultado es correcto con la formula de
precesion de perihelio a perihelio:

$\dst{2\Delta \theta - 2\pi = \frac{6\pi\:m }{s}}$

(s) es el semi-latus rectum. [L^1] = longitud.

Con los datos de perihelio y afelio, s = 9.14 Km.

Luego, la precesion por orbita debe ser = 2.06 Rad.

Y esto NO cuadra (???)

Si aplico el mismo procedimiento para orbitas en
Mecanica Clasica, cambiando la formula del Potencial Efectivo:

$\dst{V_{ef} = \frac{L_a^2}{2\:R^2}- \frac{m}{R}}$

Con los datos:
m = 1 Km.
L_a = 3.75 Km.
V_t = -0.030

Me resulta una orbita eliptica cerrada.
Perihelio = 10.07 Km
Afelio = 23.25 Km
Periodo orbital = 1.43 milisegundos
Angulo total por revolucion = 6.3026 Rad.
Velocidad media orbital = 70065 Km/seg

Y esto cuadra bastante bien con una orbita clasica. Luego, me
indica que el procedimiento es correcto.

Y si aplico la formula de precesion en el caso de Mercurio, con
m = 1.475 Km y s = 55.4430 x 10^6 Km, me resulta:
Precesion por orbita = 0.1031 seg de arco.
Luego, la formula tambien es correcta.

Si la formula de la conservacion de la Energia es correcta.
Si la formula de la conservacion del Momento Angular es correcta.
Si la formula de precesion es correcta.
Si la formula del Potencial efectivo para la Mecanica Clasica es correcta.
Solo me queda pensar que la formula del Potencial efectivo para la
metrica de Schwarzschild, NO es correcta, pero NO veo donde esta el error.

Alguien tiene alguna idea?
Un saludo.

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Lo siento. Estoy haciendo y preguntando una tonteria.
No sabia que este metodo es el metodo standard para calcular orbitas planetarias
según la metrica de Schwarzschild. Yo lo he leido en el libro de John A. Wheeler,
´´Un viaje por la gravedad y el espacio-tiempo´´, donde solo esta indicado
pero no desarrollado. Yo pensaba que era un metodo secundario...pero correcto.

Ahora he visto que estoy calculando orbitas según las
formulas standard y correctas, e intento ´checkear´ este resultado con una formula:

$\dst{2\Delta \theta - 2\pi = \frac{6\pi\:m }{s}}$

que es un resultado de las mismas formulas pero simplificadas y aproximadas
para casos con una relacion Radio/Masa, muy grandes...y yo estoy usando esta
formula con relaciones Radio/Masa del orden de 10.

Normal, que no me cuadre!!!

El mejor resultado que he obtenido es:
Periodo orbital = 1.05 milisegundos
Angulo total por revolucion = 10.86 Rad.
Precesion por orbita = 4.58 Rad.

Hay alguna forma de ´checkear´ el resultado? Se debe cumplir la 2 Ley de
Kepler? Veo dificil que se cumpla la 3 Ley de Kepler porque aquí hay velocidades
del orden de 100000 Km/seg y los efectos de la Relatividad deben ser apreciables?

Gracias y un saludo.

P.S. Me refiero a perihelio como la minima distancia de una orbita a un cuerpo
masivo central. En este caso, la orbita rota con relacion al cuerpo central con un
perihelio y un afelio fijos. En el caso de la Mecanica Clasica, una orbita de este
tipo tienen el perihelio, el afelio y el cuerpo central, alineados. Aqui, el perihelio,
el afelio y el cuerpo central no estan alineados.

[Visitante]

Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Envio este mensaje al Foro para quien le interese calcular orbitas según la
metrica de Schwarzschild. (O la Mecanica clasica).

1.- Doy este metodo como valido. Esto está apuntado en el libro de John A. Wheeler,
´´Un viaje por la gravedad y el espacio-tiempo´´. Esta desarrollado en el articulo
de Rafael Zamora Ramos, ´´Geodesicas en la metrica de Schwarzschild y Kerr.
Tratamiento numerico´´. Y en el blog de Armando Martinez Tellez,
´´La solucion de Schwarzschild II y orbitas planetarias relativistas´´.

2.- Tengo errores de precision. Al final, esto se reduce a la evaluacion de una integral.
Con mi Fortran77, y para tiempos de maquina razonables, y teniendo en cuenta que
los errores son acumulativos, puedo llegar a obtener errores de calculo numerico
mayores del 1% por orbita con respecto a los teoricos. (En los casos en los
que he podido contrastar).(Calcula unos 10.000.000 de puntos por semiorbita).

3.- Comentarios al Grafico 1.
Este es un ejemplo de una orbita ´´clasica´´ de un cuerpo que rota en una orbita
eliptica cerrada alrededor de una masa de 0.68 la masa del Sol. Tiene un perihelio
de 10.07 Km y un afelio de 23.25 Km. Y un periodo orbital de 1.43 mseg.
Cumple con la 1,2,3 Ley de Kepler con una precision de mas-menos 1%.

4.- Comentarios al Grafico 4.
Este es un ejemplo de una orbita relativista ´´debil´´.
Masa = 34% del Sol.
Tiene un perihelio de 109.98 Km y un afelio de 1000 Km. Y un periodo orbital
de 0.38 seg. La precesion por orbita me dá 0.0502 Rad.
La precesion por orbita según la formula:

$\dst{P_o \approx 6\pi \:(\frac{m}{h})^2}$

Da 0.0.04712 Rad.
No cumple la 1 Ley de Kepler. Cumple la 2 Ley de Kepler teniendo en cuenta
que, en este caso, ´´Tiempo´´ es ´´Tiempo Propio´´. Y no cumple la 3 Ley de Kepler
porque esto es ´´Tiempo Propio´´.

5.- Comentarios al Grafico 2.
Este es un ejemplo de una orbita relativista ´´fuerte´´.
Masa = 68% del Sol.
Tiene un perihelio de 6.34 Km y un afelio de 16.42 Km. Y un periodo orbital
de 1.05 mseg. La precesion por orbita me dá 4.58 Rad.
La precesion por orbita según la formula:

$\dst{P_o = 2\pi \:(\frac{1}{1-3(\frac{m}{h})^2}-1)}$

Dá 1.77 Rad. (Aqui hay una diferencia considerable...) (Yo interpreto, ´h´ como
´momento angular´, como en el caso anterior, pero en el texto dice
que es una constante de integracion...). (O es que esta formula esta
obtenida de la metrica de Schwarzschild con simplificaciones y aproximaciones
para orbitas relativistas ´´debiles´´...No sé). (Tengo un solo punto de paso
conocido y 2 constantes de integracion...???)
Igual que el anterior, no cumple la 1 y 3 Ley de Kepler y cumple la 2.

6.- Comentarios al Grafico 3.
Este es un ejemplo de caida en espiral de una particula en un agujero negro.
Esto sucede cuando el potencial total de la particula supera el maximo del potencial
efectivo. Esto no sucede nunca en Mecanica Clasica. Aqui no tengo nada
para contrastar resultados y solo puedo confiar en la bondad del Metodo.

Alguna idea para explicar la diferencia entre precesiones del afelio en el
caso 2??? (Porque WolframAlpha dá una precesion del afelio de 4.56 Rad).

Un saludo.