1r ciclo Ayuda Relativista

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Hola a todos. Una alumna vino a mi buscando auxilio y aquí vengo a
buscarlo con el deseo de ayudarla. En lo que intenta desarrollar
encontró un obstáculo. Para superarlo necesita demostrar que tanto
en mecánica newtoniana como en Relatividad Especial la energía
cinética de un cuerpo es igual a mo v^2 multiplicado por un factor
adimensional. En la fórmula newtoniana el factor existe, es constante
e igual a 1/2 . En el caso relativista ella y yo dudamos. Por eso
agradeceré las ayudas que podáis ofrecer.

Un saludo a todos.

[[Beto]]

Re: Ayuda Relativista

Hola, para contestar a tu consulta, lo que tienes que tener en cuenta es que el trabajo total realizado sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética. Entonces:

$$T=\int_0^{x_f}F\dd x=\int_0^{x_f}F\frac{\dd x}{\dd t}\dd t=\int_0^{x_f}Fv\dd t$$

Luego tomando en cuenta la segunda ley de Newton, pero con sus respectivas correcciones relativistas :

$$F=\frac{\dd p}{\dd t}=\frac{\dd}{\dd t}(mv)$$

Donde $m=m_0/\sqrt{1-v^2/c^2}$

Reemplazando (2) en (1):

$$\int_0^{t_f}v\frac{\dd p}{\dd t}=\int_0^{t_f}v\dd p$$

Luego integrando por partes, reemplazando el valor de $p$, yademás notando que $v\dd v$ se puede expresar como $\dd(v^2)/2$, se obtiene:

$$T=\left[\frac{m_0v^2}{1-v^2/c^2}\right]_0^{v_f}-\frac{m_0}{2}\int_0^{v_f}\frac{\dd(v^2)}{1-v^2/c^2}$$

A partir de acá todo se hace más sencillo y luego de operar se llega a que:

$$T=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-m_0c^2$$

Esta última ecuación representa la energía cinética de una partícula que se mueve con una velocidad relativista, se puede notar además que cuando $v<<c$, la expresión toma la forma conocida clasicamente $T=\frac{1}{2}mv^2$.

Espero que con esto se haya aclarado en algo las dudas que tenias. En todo caso puedes volver a cosultar.

Un saludo.

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Re: Ayuda Relativista

Estimado N3of3bo: Gracias por la solución. Ella la
necesitaba para trazar la curva comparativa de las dos
expresiones de la energía cinética, con el cociente de
energías en la ordenada y la velocidad en la abcisa. Ella
sabe que ese cociente es independiente de la masa en
reposo y que solamente depende de la velocidad, pero
necesitaba una forma sencilla de expresarlo. Y la forma
que aportaste lo es. Por eso tu ayuda es efectiva.
Me gustaría incluirte en mi lista de amigos en este foro.
Me agradó mucho tu sensibilidad social y la rapidez de
la respuesta me gratifica.

Mi mejor saludo para tí y para todas las personas que
frecuentan el foro.

P.D. : En realidad Ella quería una fórmula que tuviese
mo v^2 en el numerador y una función de la
velocidad en el denominador (solamente de la
velocidad). Tuve que agregar esta post data
porque cuando leí tu nota omití ese detalle
particular que Ella me había encargado. Así
que volvemos a la carga con el asuntillo, pero
eso es totalmente independiente de la actitud
excelente que has manifestado. Otro saludo.

[[Beto]]

Re: Ayuda Relativista

P.D. : En realidad Ella quería una fórmula que tuviese
mo v^2 en el numerador y una función de la
velocidad en el denominador (solamente de la
velocidad). Tuve que agregar esta post data
porque cuando leí tu nota omití ese detalle
particular que Ella me había encargado. Así
que volvemos a la carga con el asuntillo, pero
eso es totalmente independiente de la actitud
excelente que has manifestado. Otro saludo.

Bueno si quieres obtener la velocidad en el numerador solo es cosa de que acomodes términos, te debe de quedar algo así:

$$T=m_0c^2\left[\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}-1\right]$$

No encuentro otra forma e acomodar la expresión, pero es suficiente para graficarlo.

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Re: Ayuda Relativista

Ella quiere que la fórmula relativista se escriba como mo v^2
multiplicado por un adimensional A , siendo A función
solamente de la velocidad. Obviamenmte A=1/2 para v=0 .
Pero el mo v^2 debe estar explícitamente presente. Eso
es condición sine qua non. La expresión que aportaste
contiene explícitamente mo C^2 y no mo v^2 como
ella necesita. Disculpa si abuso de tu tiempo y de tu buena
onda, que me agrada mucho.

Gracias por tu colaboración.

[[Beto]]

Re: Ayuda Relativista

Hola, me parece que no se puede darle la forma que indicas o por lo menos a mi no se me ocurre como.

Intenta acomodar la expresión, a ver si llegas a lo que deseas obtener.

Un saludo.

[chap]

Re: Ayuda Relativista

Estimado N3of3bo : Ya somos tres que no sabemos
cómo hacerlo (ella, tú y yo). Esto se está pareciendo
a una clase de lengua española en el capítulo de
pronombres personales. Me consuela poder decirle
"tu profe lo ignora, pero si consultas ese sitio
prestigioso que es lawebdefisica comprobarás que
junto a tu profe lo ignora N3of3bo, que es un miembro
mucho más antiguo y más activo que tu profe en ese
sitio". Ahora en serio. Ella dice que una vez vio esa
fórmula pero en ese momento no la necesitaba y
no tomó nota. Ahora la necesita y no la recuerda.
Eso es algo, porque indica que la fórmula existe y
consecuentemente no es imposible. ¡ Y según su
recuerdo no llamó su atención porque se obtenía
en una forma sencillísima ! ¡ Vaya sencillez la que
que tú denominas así, niña ! , valdría decirle.

En fin, avisémonos si sacamos algo.
Por hoy dejo esto pues tengo que salir. Un saludo.

[Dramey]

Re: Ayuda Relativista

Yo no veo la forma de poner eso como dice tu alumna. Igual esté confundida, ya que la memoria a veces es un poco traicionera (al menos la mia). Si pones exactamente el problema que tiene igual lo podemos echar un vistazo.

[skynet]

Re: Ayuda Relativista

$$T=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-m_0c^2$$

Esta última ecuación representa la energía cinética de una partícula que se mueve con una velocidad relativista, se puede notar además que cuando $v<<c$, la expresión toma la forma conocida clasicamente $T=\frac{1}{2}mv^2$.

pues algo se me escapa, si v<<c el denominador del primer termino tenderá a 1 y la ecuacion tenderá a T=0.......???????

[Dramey]

Re: Ayuda Relativista

Si v=0 no hay energía cinética, que es el único momento en el que v/c es exactamente 0. Si quieres ver a que tiende para valores pequeños de v tienes que hacer el desarrollo en serie de Taylor en el entorno v/c tendiendo a 0

[[Beto]]

Re: Ayuda Relativista

pues algo se me escapa, si v<<c el denominador del primer termino tenderá a 1 y la ecuacion tenderá a T=0.......???????

También puedes fijarte en la expresión (6), hazle un desarrollo de binomio de Newton.

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Re: Ayuda Relativista

Hola. Ante todo gracias a Dramey, Supernena y N3of3bo, por ahora. Podría
ocurrir que la vez siguiente deba ampliar la lista de agradecimientos. Lo
que necesita Sofía (mi alumna) es una expresión de la energía cinética que
posea la forma siguiente.

T = A mo v^2

siendo A un adimensional que es función solamente de la velocidad.

Se dio a sí misma como plazo perentorio hasta el lunes. En caso de no
disponer en ese tiempo de la fórmula presentará otro trabajo práctico.
Pero ya estoy acicateado y aunque ella desista deseo ver esa fórmula,
porque sería la manera más intuitiva de constatar la diferencia entre el
resultado relativista y el resultado newtoniano. Ella jura por Parménides
que la vio, que vio el desarrollo hecho para obtenerla y que todo era
muy fácil. En el momento que intenté sugerirle que a todos a veces nos
traiciona la memoria se enojó como si le hubiese dicho que ella no tiene
el color de ojos que ve en el espejo cuando se mira. Igualmente no
hagamos de esto un teorema de Gödel. Es decir si la fórmula no es hallada
y si tampoco se demuestra que su existencia es imposible, no llegar al
extremo de exigir que se investigue la posibilidad de tener proposiciones
indecidibles en relatividad especial.

Gracias por todos los aportes y nuevamente, avisemos si sacamos algo.

[Dramey]

Re: Ayuda Relativista

Si te vale....

$<br /> m_{0}v^{2}(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1)\frac{c^{2}}{v^{2}}$

[pod]

Re: Ayuda Relativista

Si te vale....

$<br /> m_{0}v^{2}(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1)\frac{c^{2}}{v^{2}}$

Claro, el coeficiente A que pide su alumna no es más que

$$<br /> A = \dfrac{c^2}{v^2} \left( \dfrac1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} -1\right) \ .$$

Eso sí, para demostrar que $A=1/2$ para $v=0$, tendrá que saber resolver límites. En este caso, el método de L'Hopital.

[chap]

Re: Ayuda Relativista

Lo dicho. Es el momento de ampliar la lista de agradecimientos. Ahora que
me siento mimado y en buenas manos haré como esas mascotas que se
ponen caprichosas y exigentes con quienes más las cuidan. Sofía quiere
ESA fórmula que vio y no otra, porque dice que tiene varios detalles que
convienen justamente a lo que ella necesita. 1) La forma de A no da una
indeterminación para v tendiendo a cero, sino que en forma directa y
sencilla da 1/2 . 2) Justamente por eso permite comprobar con facilidad
y sin desarrollos en serie que la fórmula relativista tiende a la newtoniana
para velocidades mucho menores que C . 3) Permite comprender que la
fórmula relativista difiere de la newtoniana no solamente porque la masa
en movimiento es variable, sino porque el factor que precede a m v^2
no es constante sino que es otra función de la velocidad. Es decir permite
ver cómo la relatividad modifica cada parte de la fórmula newtoniana. Y
esto me produce curiosidad porque si es así constituye un gran estímulo
para la comprensión conceptual y/o intuitiva en el ejercicio didáctico de la
física. Por eso lleguemos a tiempo o no para el trazado de la curva de
Sofía, no me daré fácilmente por vencido en el intento de hallar la
formulita mágica.

Mi mejor saludo para todas las personas que se han hecho presentes.