Secundaria Radio de Schwarzschild

[The Higgs Particle]

Hola! He estado mirando un poco sobre este modelo de agujeros negros y me han surgido unas pequeñas dudas en cuanto a la notación. De todas formas, me gustaría saber si etse desarrollo es correcto. Muchas gracias

Partiendo del hecho de que de un agujero negro la luz no puede escapar, y para que un cuerpo de masa $m$ escape de la atracción gravitatoria de masa $M$, su energía mecánica total ha de ser nula $E_m = 0$. Por lo tanto, podemos calcular el radio al que debe reducirse un cuerpo de masa $M$ para que se convierta en un agujero negro.
Primero, obtenemos la expresión de escape según lo anterior:

$E_m = 0 \to E_c = - E_p \to \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{GMm}{r}$

De donde

$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Y ahora imponemos la condición de un agujero negro, según la cual la luz no puede escapar de la influencia gravitatoria del mismo. Por ello, para que un cuerpo pueda escapar de él debería tener una velocidad:

$v_e > c \to \frac{2GM}{r} > c^2$

(Aquí remarco que he puesto “mayor” y no “mayor o igual”). Por lo tanto, dicho radio debería ser:

$\boxed{r_s < \frac{2GM}{c^2}}$

Sin embargo, cuando consulto materiales que hablan de este radio, lo igualan (no ponen que ha de ser menor). Pero ¿no debería decirse que $r_s$ es en realidad el tamaño máximo posible? Es más, que, aunque sea por $10^{-2000}$ unidades, ha de ser menor, ¿no?

[Weip]

Re: Radio de Schwarzschild

Tal como indicas el radio de Schwarzschild se obtiene colocando una igualdad al ser el radio del agujero negro de Schwarzschild. Los objetos dentro de un agujero negro solo pueden ir por su interior. El radio de Schwarzschild llega justamente desde el centro hasta el límite del agujero negro. El problema es que tu lo que has dicho es que el radio de Schwarzschild es cualquier $r$ que cumpla la desigualdad de la velocidad de escape cuando no es cierto. Es cuestión de a qué llamas "radio de Schwarzschild".

[Alriga]

Re: Radio de Schwarzschild

Creo que el igual es porque un fotón justo en el Radio de Schwarzschild puede realizar una órbita circular en torno al centro del agujero negro, (es decir no puede escapar de esa órbita, aunque tampoco caerá hacia dentro, es el caso límite)
Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Radio de Schwarzschild

Creo que el igual es porque un fotón justo en el Radio de Schwarzschild puede realizar una órbita circular en torno al centro del agujero negro, (es decir no puede escapar de esa órbita, aunque tampoco caerá hacia dentro, es el caso límite

Ah, claro, claro.
Buena comparación esta, la de un cuerpo que orbita a otro con una velocidad igual a la velocidad orbital.