2o ciclo Horizonte de eventos cosmológico

[Muoncillo]

Buenas noches.

Repasando mis notas de cosmología me he topado con un concepto que me está causando problemas para entenderlo y es el de horizonte de eventos cosmológico. La idea está clara, lo que me confunde es el pequeño desarrollo matemático que le sigue: el horizonte de eventos cosmológico es la distancia sobre la cual podremos tener contacto causal, y lo expresamos como

$\dst d_E (t)= a(t) \int_t ^{\infty} \frac{dt'}{a(t')}$

En mis apuntes estamos usando un factor de escala $a(t) \propto t^{\alpha}$. En el caso de expansión decelerada tenemos $\alpha < 1$ y la integral es divergente, a lo cual le encuentro sentido, pues cada vez más objetos caerán dentro de mi cono de luz futuro. Sin embargo, es en el caso de expansión acelerada donde tengo el problema: en este caso $\alpha >1$ y el valor de la integral es

$\dst d_E (t)= \frac{t}{1- \alpha}$

Es decir, a partir de un instante de tiempo t, ¿qué objetos podré alcanzar en un tiempo futuro infinito? Intuyo que deben ser dos tonterías, pero aquí van: veo lógico que se trate de un horizonte finito, ya que habrá objetos que no serán alcanzables debido a la expansión acelerada a partir de una determinada distancia, sin embargo, y en primer lugar, no entiendo por qué este horizonte aumenta con t, ¿no debería ser más pequeño porque cada vez más objetos quedarán demasiado lejos y la expansión será más acelerada? Y en segundo lugar, no entiendo porque el factor de escala fuera de la integral es evaluado en t y no en el instante de tiempo posterior (infinito en este caso), ya que en la definición de otros horizontes, como el de partícula, es evaluado en el instante posterior, no el inicial.

Probablemente haya interpretado mal algo, pero no encuentro la respuesta, de modo que si alguien me puede ayudar se lo agradeceré mucho. Gracias de antemano y un saludo.

[saturno]

Re: Horizonte de eventos cosmológico

He encontrado una página que responde tu duda:

http://www.astronomia.net/cosmologia/horizontes.htm

Espero te sirva de ayuda.

[Muoncillo]

Re: Horizonte de eventos cosmológico

Hola.

Muchas gracias, pero ya consulté esa página y no resuelve mi duda.

Muchas gracias no obstante.

[Jaime Rudas]

Re: Horizonte de eventos cosmológico

Repasando mis notas de cosmología me he topado con un concepto que me está causando problemas para entenderlo y es el de horizonte de eventos cosmológico. La idea está clara, lo que me confunde es el pequeño desarrollo matemático que le sigue: el horizonte de eventos cosmológico es la distancia sobre la cual podremos tener contacto causal, y lo expresamos como

$\dst d_E (t)= a(t) \int_t ^{\infty} \frac{dt'}{a(t')}$

Creo que tienes un error: sobra el a(t) (o hay que reemplazarlo por c). La fórmula que conozco es:

$\dst d_E (t)= c \int_t ^{\infty} \frac{dt'}{a(t')}$

En mis apuntes estamos usando un factor de escala $a(t) \propto t^{\alpha}$. En el caso de expansión decelerada tenemos $\alpha < 1$ y la integral es divergente, a lo cual le encuentro sentido, pues cada vez más objetos caerán dentro de mi cono de luz futuro. Sin embargo, es en el caso de expansión acelerada donde tengo el problema: en este caso $\alpha >1$ y el valor de la integral es

$\dst d_E (t)= \frac{t}{1- \alpha}$

Si eliminas el a(t) mencionado arriba (y añades c), creo que te daría:

$\dst d_E (t)= \frac{ct^{1-\alpha}}{1- \alpha}$

y, como $\alpha >1$, el horizonte decrece al aumentar t.

Es decir, a partir de un instante de tiempo t, ¿qué objetos podré alcanzar en un tiempo futuro infinito? Intuyo que deben ser dos tonterías, pero aquí van: veo lógico que se trate de un horizonte finito, ya que habrá objetos que no serán alcanzables debido a la expansión acelerada a partir de una determinada distancia, sin embargo, y en primer lugar, no entiendo por qué este horizonte aumenta con t, ¿no debería ser más pequeño porque cada vez más objetos quedarán demasiado lejos y la expansión será más acelerada?

Bueno, creo que, con la corrección realizada, ya queda claro que el horizonte no aumenta con t, sino que disminuye.

Y en segundo lugar, no entiendo porque el factor de escala fuera de la integral es evaluado en t y no en el instante de tiempo posterior (infinito en este caso), ya que en la definición de otros horizontes, como el de partícula, es evaluado en el instante posterior, no el inicial.

Bueno, se me ocurre que, como eliminamos el factor de escala fuera de la integral, la pregunta pierde sentido, pero, con respecto a por qué se toma un límite u otro, quizás no sobre explicar que la única diferencia entre el horizonte de eventos y el de partículas son precisamente los límites en que se toman:

$\dst d_E (t)= c \int_t ^{\infty} \frac{dt'}{a(t')}$

$\dst d_P (t)= c \int_0 ^{t} \frac{dt'}{a(t')}$

Como vez, el horizonte de eventos tiene un límite inferior de t (el momento actual, por ejemplo) y uno superior de infinito, mientras que el el horizonte de partículas tiene un límite inferior de 0 (el big bang, por ejemplo) y el momento t (el presente, por ejemplo). Y esto es lógico, porque lo que está adentro del horizonte de eventos es todo evento actual que podremos ver en cualquier momento en el futuro, mientras que lo que actualmente ocurre fuera del horizonte de eventos, nunca lo podremos ver. Por otra parte, lo que está dentro del horizonte de partículas son todos los eventos pasados que hemos podido ver hasta el presente, mientras que lo que está fuera del horizonte de partículas, son eventos que no hemos podido observar, pero que quizás podríamos ver en el futuro (si estaban dentro de nuestro horizonte de eventos cuando acontecieron).

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La integral que has puesto no corresponde al horizonte de eventos cosmológico, sino que se parece más a la del horizonte de partículas. Ver por ejemplo, los (ver, por ejemplo, la wikipedia inglesa sobre el horizonte de eventos cosmológico y el horizonte de partículas). La integral para el horizonte de eventos es la siguiente:

$$d(t_0) = \int^{t_0}_0 \! \dd t \frac c{a(t)} .$$

Puedo estar equivocado, pero ¿no hay un error en esa fórmula? La que yo conozco es:

$$d(t_0) = c \int^{t_{max}}_{t_0} \! \frac {\dd t }{a(t)}$$

O sea,creo que los límites deben ser $t_0$ (momento actual, por ejemplo) y $t_{max}$ (infinito, por ejemplo). ¿Estoy equivocado?

- - - Actualizado - - -

Creo que tienes un error: sobra el a(t) (o hay que reemplazarlo por c). La fórmula que conozco es:

$\dst d_E (t)= c \int_t ^{\infty} \frac{dt'}{a(t')}$

Sí hay un error, ¡¡pero mío!!: esa fórmula que puse es la distancia comóvil al horizonte de eventos. La fórmula, en distancia real, es la que puso Muoncillo:

$\dst d_E (t)= c a(t) \int_t ^{\infty} \frac{dt'}{a(t')}$

Y sí, resulta que el horizonte de eventos siempre crece, pero lo hace más lentamente que la expansión, como se ve en el hecho de que su coordenada comóvil sea cada vez menor, lo que significa que cada vez hay menos galaxias a su interior (lo que, creo, responde tu primera pregunta ¿no?).

[Alriga]

Re: Horizonte de eventos cosmológico

Como habrás observado pod, los comentarios de expertos en Cosmología son muy apreciados por los aficionados en este forum.
Me gustaría comentar este párrafo de tu comentario, porque no es como yo lo tenía entendido. (No me atrevo a decir que esté mal, tal vez la explicación sea equivalente, pero no lo veo)

... en un universo con expansión desacelerada, la velocidad de expansión se hace cada vez más pequeña. Hasta el punto en que la distancia entre el fotón y nosotros dejará de crecer más rápido que la velocidad del fotón y este por fin se podrá acercar a nosotros. Ese cambio se produce justo en el momento que el horizonte de partículas alcanza al fotón. Dicho de otra forma, en un universo desacelerado, un fotón emitido en dirección a nosotros hoy en día desde más allá del horizonte de partículas, primero parecerá alejarse y luego (justo cuando el siempre creciente horizonte de partículas le dé caza) comenzará a acercarse. Tarde o temprano, siempre llegará hasta nosotros. Por eso, un universo desacelerado no tiene horizonte de sucesos ...

En cambio yo tengo entendido que es así:

En un Universo con expansión desacelerada, la velocidad de expansión se hace cada vez más pequeña. Hasta el punto en que la distancia entre el fotón y nosotros dejará de crecer más rápido que la velocidad del fotón y éste por fin se podrá acercar a nosotros. Ese cambio se produce justo en el momento en que el fotón llega a nuestra distancia de Hubble, (más allá de nuestra distancia de Hubble la recesión es superlumínica, por eso el fotón todavía se aleja, pero al atravesar nuestro radio de Hubble entra en zona de recesión sublumínica y ya puede acercarse). Dicho de otra forma, en un Universo desacelerado, un fotón emitido en dirección a nosotros desde más allá del radio de Hubble, primero parecerá alejarse y luego (justo cuando lo atraviese) comenzará a acercarse. Tarde o temprano, siempre llegará hasta nosotros. Por eso, un universo desacelerado no tiene horizonte de sucesos.

No veo que el horizonte de partículas sea la frontera del momento en que el fotón pasa de alejarse a acercarse a nosotros, dado que a priori el horizonte de partículas no coincide con el radio de Hubble.
Gracias y saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Horizonte de eventos cosmológico

Hasta el punto que es posible que la distancia aumente más rápido que la propia velocidad del fotón (esto es posible porque la velocidad de expansión es una velocidad aparente, no física), así que el fotón está cada vez más lejos de nosotros en vez de acercarse.

De hecho, este será el caso de todo fotón emitido hoy más allá del horizonte de partículas. Sin embargo, en un universo con expansión desacelerada, la velocidad de expansión se hace cada vez más pequeña. Hasta el punto en que la distancia entre el fotón y nosotros dejará de crecer más rápido que la velocidad del fotón y este por fin se podrá acercar a nosotros. Ese cambio se produce justo en el momento que el horizonte de partículas alcanza al fotón. Dicho de otra forma, en un universo desacelerado, un fotón emitido en dirección a nosotros hoy en día desde más allá del horizonte de partículas, primero parecerá alejarse y luego (justo cuando el siempre creciente horizonte de partículas le dé caza) comenzará a acercarse. Tarde o temprano, siempre llegará hasta nosotros. Por eso, un universo desacelerado no tiene horizonte de sucesos.

Me parece que donde dice 'horizonte de partículas' debería decir 'esfera de Hubble', ¿o no?

Veamos el caso de un universo acelerado. Como hay aceleración, el ritmo al que aumenta la distancia entre el fotón y nosotros no desciende, sino todo lo contrario. Si el ritmo al que aumenta la distancia entre el fotón y nosotros alcanza la velocidad de la luz en algún momento, entonces ese fotón jamás podrá llegar hasta nosotros.

Puedo estar equivocado, pero creo que no siempre es así: creo que en un universo acelerado la esfera de Hubble (o sea, la distancia a la que la velocidad de recesión es igual a la de la luz) es menor que el horizonte de sucesos. Lo anterior significa que un fotón (dirigido a nosotros) que se encuentre entre la esfera de Hubble y el horizonte de eventos necesariamente estará en un sitio en que el ritmo al que aumenta la distancia entre el fotón y nosotros es mayor que la de la luz, pero que, al estar mas cerca que el horizonte de eventos, tarde o temprano, nos llegará.

[Edito]
¡Diablos!: Ya Alriga había explicado lo mismo, pero igual lo dejo.

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Por otro lado, fíjate que hay tres casos. Si $0 < \alpha < 1$, entonces el horizonte de eventos es creciente.[...] Un universo de este estilo tiene una aceleración muy pequeña, [...].

Caramba, llevo literalmente todo el día dándole vueltas a esto y, mientras me preguntan si un piano y una guitarra hacen parte de la dotación de un teatro, yo solo atino a tratar de determinar si $0 < \alpha < 1$ corresponde a un universo acelerado o desacelerado. Mi conclusión (espero no equivocarme) es que es desacelerado porque, en esas condiciones, la segunda derivada de a(t) es necesariamente negativa. Ahora bien, por ser desacelerado, no tiene horizonte de sucesos.

El caso $\alpha > 1$ es la situación opuesta, un horizonte de sucesos menguante. [...]. Al final, a la práctica, cualquier contacto causal entre partículas será imposible, ya que el horizonte de sucesos se hará cada vez más pequeño.

Me parece (pero no estoy seguro) que, si nos referimos a distancia real, el horizonte de sucesos en este caso crece. Lo que decrece es la distancia comóvil al horizonte y, por eso, las galaxias permanentemente lo abandonan.

[pod]

Re: Horizonte de eventos cosmológico

(...)

(...)

Tenéis razón con las correcciones que me hacéis. Disculpad los gazapos (no tengo que escribir mensajes densos a la 1 de la noche hablando de memoria sin mirar los apuntes...); arreglaré el mensaje original para que no cause confusión.