Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Hola.

La ecuacion correcta es


$\dst{\theta= \int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{r^{2}\sqrt{\varepsilon-\frac{1}{r^2}+\frac{2M}{r^3}}}}$

Saludos

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Esto no me sale:
Intento calcular la geodesica nula que pasa por 2 puntos:

$\dst{(r1,\theta_1),(r2,\theta_2)\;\; y\;\; \theta_2 = \theta +\theta_1}$

(El emisor y el observador).
Sé que por un punto pasan infinitas geodesicas, en funcion de $\dst{ \varepsilon }$.
Y que por 2 puntos, pasa, como minimo, 1 geodesica.
Y creo que la ecuación:

$\dst{\theta_2=\theta+\theta_1 = \int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{dr}{r^{2}\sqrt{\varepsilon-\frac{1}{r^2}+\frac{2M}{r^3}}}}$

Calcula la geodesica entre el emisor y el observador.
Pero no sé como deducir $\dst{ \varepsilon }$ a partir de:

$\dst{(r1,\theta_1),(r2,\theta_2)}$

Gracias y un saludo.

P.S. Bueno. Pensandolo bien, no siempre habrá una geodésica nula que pase por 2 puntos.
Si la geodésica pasa por la ´zona oscura´ de r_min < 3 x M, no hay una $\dst{ \varepsilon }$ valida...

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

He optado por dibujar las orbitas de un fotón para diferentes K y asi lo veo mas claro.
Y esto es lo que me sale...
Un saludo.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Y ahora, si me lo permitis, voy a comentar una curiosidad sobre esta ultima que no
sé si es cierta.

Defino K como un parámetro adimensional que es la relacion entre el radio minimo
de paso de un foton y la masa de un agujero negro. K = r_min / M
Cuando K es menor que 2, el foton entra directamente en el horizonte de
sucesos del agujero negro y ya no sale de ahí.
Cuando K es mayor que 3, el foton ´pasa de largo´ y se dispersa con un angulo
tanto menor cuanto mayor es K.
Pero cuando K está entre 2 y 3, el foton ´cae´ en espiral sobre el horizonte
de sucesos y ya no sale de ahí.
Luego. Un foton que se encuentre en la zona de 1.5 veces el radio de Schwarzschild
no se va a ver nunca. Es decir, la zona ´oscura´ de un agujero negro se extiende
a 1.5 veces el radio de Schwarzschild.
Es asi???

Gracias y un saludo.

Hola.

Realmente, si defines la "zona oscura" del agujero negro como la zona del espacio que oscurece, visto desde lejos, esto corresponde a la sección eficaz del agujero negro, que es de $27/4 \pi R_S^2$. Puedes ver su derivación en

http://physics.stackexchange.com/que...a-relativistic


Eso corresponde a un "parámetro de impacto" (distancia de la trayectoria rectilinea del fotón, cuando esta muy lejos, al agujero negro) de $\sqrt{27/4} R_S$. El parámetro $\epsilon$ en tus ecuaciones es la inversa de este parámetro de impacto al cuadrado.

Fijate que, para ese valor de epsilon, la distancia mínima $R_{min}$ es $3/2 R_S$. Para un valor superior de $\epsilon$ (menor parámetro de impacto), no hay distancia mínima finita, y el fotón cae al origen.

Para el parámetro de impacto $\sqrt{27/4} R_S$, la distancia $R_{min} = 3/2 R_S$ tarda un tiempo (y un ángulo) infinito en alcanzarse. El fotón orbita indefinidamente, en una trayectoria espiral, acercándose indefinidamente a $R_{min} = 3/2 R_S$ , pero nunca alcanza dicha distancia.

Saludos

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Gracias. Perfecto!!!
Angulo de perihelio a perihelio de Mercurio:
Medido: 6.283185808 Rad. = +0.103 segundos de arco
Owen Biesel calculado: 6.283185809 Rad = +0.104 segundos de arco
Calculado por mi (+Guibix): 6.283185716 Rad = +0.084 segundos de arco
(Tengo en cuenta que los datos que he usado de la masa del Sol, el momento
angular, el perihelio y el afelio son un poco diferentes de los reales).
Bien.
Esto, junto con lo que ya habia comprobado antes sobre la dispersion de un foton,
me demuestra que las formulas:

Para el avance del perihelio de una orbita de una masa pequeña en relacion a una muy grande:

$\dst{\theta =\int_{r_{perihelio}}^{r_{afelio}}\frac{2ldr}{(r(2Vr^3+2Mr^2-l^2r+2Ml^2))^\frac{1}{2}}}$

Para los parámetros adecuados de una orbita ´elíptica´.

es correcta y es general.

Y para la dispersion de un foton:

$\dst{\theta =\int_{r_{min}}^{r_{max}}\frac{dr}{r^{2}\sqrt{\varepsilon-\frac{1}{r^2}+\frac{2M}{r^3}}}}$

Para $\dst{r_{min} >3\: M}$

Tambien es correcta y general.

Y ahora, si me lo permitis, voy a comentar una curiosidad sobre esta ultima que no
sé si es cierta.

Defino K como un parámetro adimensional que es la relacion entre el radio minimo
de paso de un foton y la masa de un agujero negro. K = r_min / M
Cuando K es menor que 2, el foton entra directamente en el horizonte de
sucesos del agujero negro y ya no sale de ahí.
Cuando K es mayor que 3, el foton ´pasa de largo´ y se dispersa con un angulo
tanto menor cuanto mayor es K.
Pero cuando K está entre 2 y 3, el foton ´cae´ en espiral sobre el horizonte
de sucesos y ya no sale de ahí.
Luego. Un foton que se encuentre en la zona de 1.5 veces el radio de Schwarzschild
no se va a ver nunca. Es decir, la zona ´oscura´ de un agujero negro se extiende
a 1.5 veces el radio de Schwarzschild.
Es asi???

Gracias y un saludo.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Hola.

Creo que te interesará esto:

https://www.math.washington.edu/~mor...ers/Genrel.pdf

En la ecuación 7 está tu integral, y a continuacion la forma de resolverlo.

En la ecuacion 2 esta el limite clasico, para el que el desplazamiento del perihelio es 2 pi.

Saludos

[guibix]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Y gracias a Guibix. No necesitaba 30 digitos de precision...Ni 100...
Con solo 8 hubiese sido suficiente.

Jajaja! Se me olvidó poner alguna emoticona sarcástica. Solo era una broma mala.

¿Podemos probar con un:
Perihelio: 45935000.9039159 Km
Afelio: 70064996.1960838 Km ?

int 2 8970/(x(-2.5 10^(-8)x^3+2 1.45 x^2-8970^2 x+2 8970^2 1.45))^(1/2) dx from x=45935000.9039159 to 70064996.1960838

Me sale 6.283185716.

Salud!

[Alriga]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

P.S. ¿Asi que un mega-metro deberia escribirse como ´mm´ y no como ´Mm´?

No, Mm, las normas oficiales de los prefijos de las unidades son estas:

10008	1024	yotta	Y	Septillón	Cuatrillón	1 000 000 000 000 000 000 000 000	1991
10007	1021	zetta	Z	Sextillón	Mil trillones	1 000 000 000 000 000 000 000	1991
10006	1018	exa	E	Quintillón	Trillón	1 000 000 000 000 000 000	1975
10005	1015	peta	P	Cuatrillón	Mil billones	1 000 000 000 000 000	1975
10004	1012	tera	T	Trillón	Billón	1 000 000 000 000	1960
10003	109	giga	G	Billón	Mil millones / Millardo	1 000 000 000	1960
10002	106	mega	M	Millón		1 000 000	1960
10001	103	kilo	k	Mil / Millar		1 000	1795
10002/3	102	hecto	h	Cien / Centena		100	1795
10001/3	101	deca	da	Diez / Decena		10	1795
10000	100	ninguno		Uno / Unidad		1
1000−1/3	10−1	deci	d	Décimo		0.1	1795
1000−2/3	10−2	centi	c	Centésimo		0.01	1795
1000−1	10−3	mili	m	Milésimo		0.001	1795
1000−2	10−6	micro	µ	Millonésimo		0.000 001	1960
1000−3	10−9	nano	n	Billonésimo	Milmillonésimo	0.000 000 001	1960
1000−4	10−12	pico	p	Trillonésimo	Billonésimo	0.000 000 000 001	1960
1000−5	10−15	femto	f	Cuatrillonésimo	Milbillonésimo	0.000 000 000 000 001	1964
1000−6	10−18	atto	a	Quintillonésimo	Trillonésimo	0.000 000 000 000 000 001	1964
1000−7	10−21	zepto	z	Sextillonésimo	Miltrillonésimo	0.000 000 000 000 000 000 001	1991
1000−8	10−24	yocto	y	Septillonésimo	Cuatrillonésimo	0.000 000 000 000 000 000 000 001	1991

Saludos.

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Esta formula deriva de la RG, en particular, de la metrica de Schwarzschild.
Y si. Tiene correciones relativistas.
Y no. Las orbitas no son elipticas cerradas y el angulo de cierre no es 2 x pi.
Siempre hay un avance del perihelio por revolucion y el angulo de perihelio
a perihelio es siempre mayor que 2 x pi.
Gracias a Alriga por el intento.
Y gracias a Guibix. No necesitaba 30 digitos de precision...Ni 100...
Con solo 8 hubiese sido suficiente. Pero puestos a pedir, me conformo con 10...
El resultado que ha obtenido Guibix con los datos que he enviado es aprox. -1 segundo
de arco con respecto a 2 x pi. Y el resultado que deberia haber obtenido
es del orden de +0.1 segundos de arco.

¿Podemos probar con un:
Perihelio: 45935000.9039159 Km
Afelio: 70064996.1960838 Km ?

int 2 8970/(x(-2.5 10^(-8)x^3+2 1.45 x^2-8970^2 x+2 8970^2 1.45))^(1/2) dx from x=45935000.9039159 to 70064996.1960838

Como bien dice Alriga esta funcion crece de forma exponencial en el perihelio
y el afelio, asi que es muy importante fijarlos con precision porque contribuyen
de forma importante al valor preciso de la integral.

Gracias y un saludo.

P.S. ¿Asi que un mega-metro deberia escribirse como ´mm´ y no como ´Mm´?

[guibix]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Buenas.

Con Mathematica se puede obtener la precisión que se le pida. Con 30 dígitos he obtenido 6.28317864213905806722356890677. No creo que necesites más si los datos de entrada no tienen más precisión. Pero para tu gusto el resultado con 100 dígitos es [FONT=&amp] 6.283178642139058067223568906769242361571857255357375386750639336134882490800364699302145475375882387.[/FONT]

[FONT=&amp]Saludos![/FONT]

[Alriga]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Si alguien en el Foro dispone del programa ´Mathematica´
¿podria ejecutar el comando:
int 2 8970/(x(-2.510^(-8) x^3+2 1.45 x^2-8970^2 x+2 8970^2 1.45))^(1/2) dx from x=45935000.90395 to 70064996.19608
Y publicar el resultado con mas precision que 6.28318?
(O cualquier otro programa que calcule la integral definida con mas precisión)

Hola, no tengo Mathematica, pero estaba mirando a ver si de alguna manera podría calcular la integral con mayor precisión, por eso me he hecho una tabla de valores del Integrando para "r" dividido en 40 partes variando desde el perihelio hasta el afelio:

r	Integrando
45.935.000,90395	0,08610625
46.538.250,78625	0,00000065
47.141.500,66856	0,00000046
47.744.750,55086	0,00000037
48.348.000,43316	0,00000032
48.951.250,31547	0,00000029
49.554.500,19777	0,00000027
50.157.750,08007	0,00000025
50.760.999,96238	0,00000023
51.364.249,84468	0,00000022
51.967.499,72698	0,00000021
52.570.749,60929	0,00000020
53.173.999,49159	0,00000019
53.777.249,37389	0,00000019
54.380.499,25620	0,00000018
54.983.749,13850	0,00000018
55.586.999,02080	0,00000017
56.190.248,90311	0,00000017
56.793.498,78541	0,00000017
57.396.748,66771	0,00000016
57.999.998,55002	0,00000016
58.603.248,43232	0,00000016
59.206.498,31462	0,00000016
59.809.748,19692	0,00000016
60.412.998,07923	0,00000016
61.016.247,96153	0,00000016
61.619.497,84383	0,00000016
62.222.747,72614	0,00000016
62.825.997,60844	0,00000016
63.429.247,49074	0,00000017
64.032.497,37305	0,00000017
64.635.747,25535	0,00000017
65.238.997,13765	0,00000018
65.842.247,01996	0,00000019
66.445.496,90226	0,00000020
67.048.746,78456	0,00000021
67.651.996,66687	0,00000023
68.255.246,54917	0,00000026
68.858.496,43147	0,00000031
69.461.746,31378	0,00000043
70.064.996,19608	0,17214961

No me extraña que sea difícil obtener precisión, puesto que la función es muy mala de integrar por métodos numéricos, ya que el Integrando alcanza valores elevados en los extremos, (perihelio y afelio) y después cae 6 órdenes de magnitud muy, muy rápidamente cuando te alejas un poco de esos extremos.
Lo siento, pero no sé como ayudarte.
Saludos.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Bien. He intentado resolver el problema de la precesion de Mercurio (a mano... y
con la ayuda de WAlpha para resolver la integral:

$\dst{\theta = \int_{r_{perihelio}}^{r_{afelio}}\frac{2ldr}{(r(2Vr^3+2Mr^2-l^2r+2Ml^2))^\frac{1}{2}}}$

Simulando un planeta que orbite alrededor del Sol en una orbita similar a la de Mercurio
(Perihelio real 46001195 Km)
(Afelio real 69816877 Km) (Masa delSol: 1.45 Km)

Con los datos:

(Perihelio: 45935000.90395 Km)
(Afelio: 70064996.19608 Km)
(Masa: 1.45 Km)
(l = 8970 Km)
(V = -1.25 x 10^-8)

(No he podido ajustar mas la orbita simulada a la orbita real)
Y el resultado que me ha dado para la precesion del planeta simulado es
de: 6.28318 Rad. (WAlpha no me dá mas que 6 digitos de precision???)
Esto está muy bien...pero la precisión del resultado no es suficiente.
El resultado esperado es de aprox.6.2831863.
(O sea, algo mayor que 6.283185307, o sea, 2 x pi)

Yo diría que con tus unidades debe cumplirse que


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

O sea, que si no tienes correcciones relativistas, la orbita es elíptica y el perihelio cambia exactamente en 2 Pi en cada vuelta.

Con eso, puedes redefinir tu integrando para $\theta - 2 \pi$ de forma que sea una cosa más razonable (pones la diferencia de dos cosas grandes como una cosa pequeña), y sacas fuera un factor $M L^2 / r_{perihelio}^3$, con lo que el integrando es del orden de la unidad.

Un consejo: Cuando hagas una integral numérica, usa siempre como variable una cosa adimensional del orden de la unidad: no r, sino, por ejemplo,
$t= r/r_{perihelio}$. Evitarás muchos problemas de overflows y precisión.

Otra cosa: Kilometro se abrevia km, con minúscula, no Km.

Saludos

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Gracias Carroza. Lo probaré para ver si los resultados son coincidentes con los que
a mi me resultan y con la observación de Eddington.

Bien. He intentado resolver el problema de la precesion de Mercurio (a mano... y
con la ayuda de WAlpha para resolver la integral:

$\dst{\theta = \int_{r_{perihelio}}^{r_{afelio}}\frac{2ldr}{(r(2Vr^3+2Mr^2-l^2r+2Ml^2))^\frac{1}{2}}}$

Simulando un planeta que orbite alrededor del Sol en una orbita similar a la de Mercurio
(Perihelio real 46001195 Km)
(Afelio real 69816877 Km) (Masa delSol: 1.45 Km)

Con los datos:

(Perihelio: 45935000.90395 Km)
(Afelio: 70064996.19608 Km)
(Masa: 1.45 Km)
(l = 8970 Km)
(V = -1.25 x 10^-8)

(No he podido ajustar mas la orbita simulada a la orbita real)
Y el resultado que me ha dado para la precesion del planeta simulado es
de: 6.28318 Rad. (WAlpha no me dá mas que 6 digitos de precision???)
Esto está muy bien...pero la precisión del resultado no es suficiente.
El resultado esperado es de aprox.6.2831863.
(O sea, algo mayor que 6.283185307, o sea, 2 x pi)

Y voy a pedir un favor.

Si alguien en el Foro dispone del programa ´Mathematica´
¿podria ejecutar el comando:
int 2 8970/(x(-2.510^(-8) x^3+2 1.45 x^2-8970^2 x+2 8970^2 1.45))^(1/2) dx from x=45935000.90395 to 70064996.19608
Y publicar el resultado con mas precision que 6.28318?
(O cualquier otro programa que calcule la integral definida con mas precisión).

Gracias por anticipado y un saludo.

[carroza]

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

OK, FPVI. Ahora creo que entiendo. Tu M es esencialmente el radio de Swarzchild, partido por 2.

Partiendo de esto, la ecuación


$\dst{\varepsilon =cte = \frac{1}{r^4}(\frac{dr}{d\theta })^2 + \frac{1}{r^2}-\frac{2M}{r^3}}$



Puede resolverse facilmente despejando $d \theta$ en función de $dr$. Saldría

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Esta ecuación se simplifica expresandola en funcion de la variable $t = 1/r$, que toma valores entre cero y el valor T que anula la raiz cuadrada. En funcion de esta integral, el angulo de desviacion de la luz es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Esto se calcula numericamente con facilidad, teniendo cuidado con la singularidad del integrando en el limite superior de la integral.

Saludos

Re: Orbitas en torno a un agujero negro ´real´.

Si. M es una masa pero expresada en unidades de longitud.
(Multiplicando por G y dividiendo por c^2)
Un saludo.