Rotación de Wick y la versión de Hilbert acerca de la solución de Schwarzschild

[COPA27]

Buenas tardes a todos,

Quería plantear una cuestión acerca de la relación entre la rotación de Wick y la métrica de Hilbert para la solución de Schwarzschild.

Por empezar por la segunda, Hilbert trabaja con la solución obtenida por Schwarzschild, que nos deja tras pocos meses después de publicarla. El matemático define sus coordenadas polares como:

Aquí yo entiendo que las tipicas x,y,z,t las denomina w1,w2,w3,w4, con w4=t

Pues bien, más adelante define l (nuestro tiempo t de toda la vida) como un número imaginario:

Y utiliza l para construir la métrica de Schwarzschild, quien originalmente planteó otras coordenadas distintas.

Se que los números complejos son raramente usados en relatividad general (menos que en cuántica, donde hay muchas ondas, desde luego), pero si comparamos esta definición de tiempo con una rotación de Wick del tipo t=-i(tau), no son similares? Pero hay un menos que las diferencia, aunque se vaya al elevar al cuadrado luego en la métrica. Y, ¿se podria aplicar una rotación de Wick pasando de un espacio de Minkowski a uno Euclídeo en esta solución? Si alguien puediese explicar esto se lo agradecería.

El paper original de Hilbert lo dejo por aquí: https://www.jp-petit.org/Hilbert-1916-de.pdf Si utilizan un versión traducida asegurense que sea idéntica.

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En primer lugar, por favor no pegues capturas de textos y/o ecuaciones. En general va contra las normas, pero esta vez vamos a hacer una pequeña excepción porque es un artículo histórico. Por favor, no lo repitas.

Me hace cierta ilusión esta pregunta porque el primer artículo de investigación que publiqué en Física iba precisamente de rotaciones de Wick. Hace bastantes más años de los que quiero admitir, y ahora seguramente no entendería nada de lo que escribí, pero bueno.

Existe una formulación algo arcaica de la relatividad en que se toma el tiempo como imaginario puro, de forma que no es necesario introducir el concepto de métrica. El producto escalar euclidiano produce el signo negativo característico del invariante relativista. Me aventuro a decir que nadie utiliza esta formulación hoy en día para trabajar realmente en relatividad, pero si que se puede encontrar en algún texto introductorio (sobre todo dirigido a futuros no-físicos) donde se utiliza para no tener que entrar a explicar qué es una métrica.

En general, la rotación de Wick sirve para transformar una solución Euclídea en una válida para relatividad. En mi humilde opinión, es un tanto irrelevante si escribes la rotación de Wick con signo menos o no. Recuerda que $-i = 1/i$, así que la diferencia entre poner el signo menos o no básicamente radica en cual de los dos tiempos es el que consideras imaginario; $t = - i \tau$ es lo mismo que $\tau = i t$. Así que sí, para mi lo que hace Hilbert aquí es una rotación de Wick en toda regla; seguramente no lo llama así porque Wick tenía siete años en 1916 y no creo que hubiera hecho nada digno para que le pusieran su nombre, todavía.

Nota: No he tenido tiempo de poner el texto en un traductor para leer que dice, quizá da algo de contexto más del que ahora tengo en mente para contestarte.

[COPA27]

Perdón por poner las fotografías, tampoco quería pasar todo eso a texto (en alemán además). Lo que me parece curioso es que Schwarzschild no hicese esa rotación de Wick en su paper original. Esto es cosa de Hilbert y su reinterpretación de la solución original (curiosamente no se usa la solución original, sino la de Hilbert). Por qué crees que introduce ese cambio? Lo hace para pasar de una solución Euclídea a una de Minkowski?

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Responder a eso requeriría leer el artículo, lo cual es un poco difícil sin saber ni papa de alemán. He traducido el parágrafo sólo que va antes de la ecuación 45 (que es la métrica de Schwarchild):

Man überzeugt sich leich, daß diese Gleichungen in der Tat das Verschwinden sämtlicher K bedingen; sie stellen demnach wesetlich die allgemeinste Lösung der Gleichungen unter den gemachten Annahmen 1,2,3 dar. Nehmen wir als Integrale von m=alpha, eine Konstante ist und omega=1, was offenbar keine wesentliche Eischränkung bedeutet, so ergibt sich aus für l=it die gesuchte Maßbestimmung in der von Schwarchild zuerst gefunden Gestalt.

Traduce a

It is easy to see that these equations indeed cause the disappearance of all K; Accordingly, they represent essentially the most general solution of the equations under the assumptions 1, 2, 3. If we take as integrals of m = alpha, a constant and omega = 1, which obviously does not signify any substantial restriction, we obtain for l = it the sought measure in the form first found by Schwarchild.

Leyendo esto, y viendo que en la primera ecuación de todo el artículo plantifica las coordenadas con el tiempo complejo para poder usas geometría euclidea, a mi me da la sensación que lo que está haciendo es obtener características generales de algún tipo de solución (por las ecuaciones que hay, quizá sean las de simetría esférica... pero esto es una suposición, habría que traducir más). Ahí, al final, lo que hace es darse cuenta de que la métrica de Schwarchild cuadra con lo que él ha obtenido.

[COPA27]

Responder a eso requeriría leer el artículo, lo cual es un poco difícil sin saber ni papa de alemán. He traducido el parágrafo sólo que va antes de la ecuación 45 (que es la métrica de Schwarchild):



Traduce a



Leyendo esto, y viendo que en la primera ecuación de todo el artículo plantifica las coordenadas con el tiempo complejo para poder usas geometría euclidea, a mi me da la sensación que lo que está haciendo es obtener características generales de algún tipo de solución (por las ecuaciones que hay, quizá sean las de simetría esférica... pero esto es una suposición, habría que traducir más). Ahí, al final, lo que hace es darse cuenta de que la métrica de Schwarchild cuadra con lo que él ha obtenido.

He encontrado esta traducción https://www.jp-petit.org/Hilbert-1916-en.pdf Pero o estoy ciego o en esta, como bien apuntas de que en la primerísima ecuación las coordenadas de tiempo son complejas, en la traducción no!!!! Por eso digo en el post inicial que ojo con las traducciones.

Sí, como bien dices la métrica de Schwarzschild de Hilbert es "zentrisch symmetisch" que creo que no nos hace falta traducirlo, y es lo mismo que dice el paper de schwarzschild "The solution is spatially symmetric with respect to the origin of the co-ordinate system in the sense that one finds again the same solution when x1, x2, x3 are subjected to an orthogonal transformation (rotation)."