2o ciclo Espacio tiempo homogéneo pero anisótropo

[sater]

En clase hicimos un examencillo para la parte de evaluación continua en la asignatura de Física del Cosmos. Al hilo del tema de cosmología, nos puso una pregunta que era:

"Da un ejemplo de métrica espacialmente homogénea pero anisótropa. Por simplicidad, puedes asumir que el espacio tridimensional es plano".

No entiendo bien cómo se puede saber si una métrica es espacialmente homogénea. Sé que la isotropía se codifica mediante simetría esférica. En el examen pensando en esto propuse una especie de métrica como la de un cilindro (que sé que es homogéneo pero no isótropo).
En mis apuntes de clase pone que la curvatura de cada hipersuperficie t=constante debe ser constante (pero puede variar con el tiempo), y que el espacio tiempo es simétrico alrededor de cualquier punto, pero no estacionario.
En los apuntes de Bert Janssen se añade además que homogeneidad significa que exista una transformación de simetría que relacione cada par de coordenadas, es decir, todos los puntos están "en pie de igualdad". Pero no veo eso en la métrica. En internet también vi que si el tensor de Riemann no varía al cambiar el punto en que se calcula (podríamos trasladar una figura sin alterar las distancias entre los puntos que la forman). Recuerdo que esto último lo mencionó el profesor al hablar de un triángulo sobre una hipersuperficie y que la hipersuperficie evolucionara en el tiempo, pero no me enteré demasiado bien.

En la solución del ejercicio nuestro profesor nos ha dado esta métrica:

$ds^2 = -dt^2 + a_1^2(t)[dx^2 + dy^2 ] + a_2^2(t)dz^2$, con $a_1\neq a_2$

pero no la justifica, pues realmente en el examen dijo que le pusiéramos la métrica que creyésemos sin justificación (el examen era corto, se supone que las respuestas debían ser rápidas).

Pues eso, si alguien me puede explicar mejor lo de homogeneidad, gracias de antemano, Un saludo

[Jaime Rudas]

Re: Espacio tiempo homogéneo pero anisótropo

"Da un ejemplo de métrica espacialmente homogénea pero anisótropa. Por simplicidad, puedes asumir que el espacio tridimensional es plano".
[...]
En la solución del ejercicio nuestro profesor nos ha dado esta métrica:

$ds^2 = -dt^2 + a^2(t)[dx^2 + dy^2 ] + a^2(t)dz^2$

Pero, ¿no es esa la métrica FLRW paro un espacio plano? (o sea, por definición isótropa).

Por como la presentas, quizás fuera esta:

$ds^2 = -dt^2 + a_1^2(t)[dx^2 + dy^2 ] + a_2^2(t)dz^2$

Aunque no sabría decir si es homogénea.

Una solución que se me ocurre es un toro plano, que, según recuerdo, no es isótropo pero sí homogéneo.

[Richard R Richard]

Re: Espacio tiempo homogéneo pero anisótropo

Un espacio homogéneo es aquel en que ninguno de sus puntos tiene propiedades distintas a cualquier otro punto, pero un espacio homogéneo puede ser isótropo o anisótropo, es decir que no haya diferencia en cualquier propiedad del espacio dependiendo de la dirección espacial en que se mida.

la métrica de tu profesor no la veo anisotrópica, pues puedo hacer distributiva de $a^2(t)$ o aplicar factor común para y llegar a una métrica que expande proporcionalmente todas las direcciones con el mismo factor a que depende exclusivamente del tiempo


un ejemplo anisotrópico sería

$ds^2 = -dt^2 + a^2(t)[dx^2 + dy^2 ] + b^2(t)dz^2<br />$

con $b\neq a$ ,

un ejemplo de métrica isotrópica en coordenadas esféricas es la métrica FLRW

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dd s^2 = -c^2 \dd t^2 +a(t)\dd r^2\frac{1}{1-kr^2} +a(t)\dd \theta^2{r^2}+a(t)\dd \phi^2 r^2\sin^2 \theta$


o la mas sencilla la de Minkowski

$\eta_{uv}=\left ( \begin{array}{cccc} -c^2 & 0&0&0\\<br /> 0&1&0&0\\<br /> 0&0&1&0\\<br /> 0&0&0&1 \end{array} \right )$

$\dd s^2 = -c^2 \dd t^2 +\dd x^2 +\dd y^2+\dd z^2$

Veo que jaime se adelanto diciendo mas o menos lo mismo, saludos Jaime

Saludos $\mathbb {R}^3$

[sater]

Re: Espacio tiempo homogéneo pero anisótropo

Disculpad ambos, tenéis razón, lo corrijo ahora mismo.

Entonces sigo sin saber distinguir una homogénea de una que no. En el janssen pone que un cono visto desde su vértice es isótropo pero no homogéneo, o lo del toro plano que mencionas (no lo he comprobado) por ejemplo. Visualmente lo entiendo, pero me gustaría ver ejemplos de métricas ni homogéneas ni isótropas, o no homogéneas pero sí isótropas.

[Richard R Richard]

Re: Espacio tiempo homogéneo pero anisótropo

la punta del cono tiene distintas propiedades al resto de los puntos del cono por eso no es homogéneo, pero en cualquier direccion que mires por dentro del cono las propiedades serán las mismas y por eso es isótropo, el toro puede ser homogéneo pero no isótropo, tiene dos curvaturas distintas. aunque no estoy 1005 seguro).


Saludos

[sater]

Re: Espacio tiempo homogéneo pero anisótropo

Sí, sí, si visualmente lo veo. Pero dada una métrica al azar, ¿Cómo habría que proceder para distinguir si es homogénea o no, isótropa o no? ¿Con lo de ver si el tensor de Riemann es constante?

[Richard R Richard]

Re: Espacio tiempo homogéneo pero anisótropo

Aqui tienes parte de tu respuesta, si la curvatura es constante la métrica es homogénea, pues todos los puntos tienen la misma curvatura, osea las mismas propiedades físicas y geométricas, ya sea plana o euclidiana, hiperbólica, o elíptica.

La métrica de schwarzchild es un caso de metrica no homogenea, pues la curvatura varia aumentando en la cercania de la masa.

para analizar la isotropía basta analizar que cualquier variable física permanezca constante, no importa la dirección en que se la analice, es decir en tu ejemplo

$ds^2 = -dt^2 + a_1^2(t)[dx^2 + dy^2 ] + a_2^2(t)dz^2 <br />$
con $a_2\neq a_1$

es claro que las propiedades medidas en los eje x e y son iguales entre si pero seran distintas a las del eje z.

en particular si es no homogénea, puede existir algún punto que posea la propiedad de que al observar desde allí el espacio parezca isótropo, pero no sucederá con todos los puntos del espacio.

Saludos

[pod]

Re: Espacio tiempo homogéneo pero anisótropo

Sí, sí, si visualmente lo veo. Pero dada una métrica al azar, ¿Cómo habría que proceder para distinguir si es homogénea o no, isótropa o no? ¿Con lo de ver si el tensor de Riemann es constante?

Tendrías que resolver la ecuación de Killing para encontrar los vectores de Killing. Puedes ver en la wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_de_Killing Tendrías que ver si el grupo de isometrías contiene todas las traslaciones, lo cual será el caso básicamente si los vectores directores en cada dirección son vectores de Killing.

Igualmente, para ver si hay isotropía tendrías que ver si hay vectores de Killing asociados a las rotaciones.

Precisamente, la métrica de FRW (la que se usa en cosmología) está diseñada para ser máximamente simétrica; es decir, para que sus hiper-superficies de tiempo constante tengan todos los vectores de Killing que se pueden tener.

[sater]

Re: Espacio tiempo homogéneo pero anisótropo

Gracias a ambos.
Respecto a lo dicho por pod, tenía entendido que una métrica acepta un vector Killing de la forma $\chi^{\alpha}=\delta^{\alpha}_{i}$ con i=0,1,2 ó 3 según de qué variable no dependa la métrica.
Así por ejemplo la metríca de minkowski claramente acepta los cuatro (traslaciones en las cuatro dimensiones). Pero por ejemplo si se cambia de coordenadas, a esféricas por ejemplo, ya aparecen variables en la métrica (como r, o $\theta$), y a simple vista solo verías los vectores de killing asociados a la ausencia de $\phi$ o t en la métrica. Aun así, ¿se debe seguir cumpliendo la ecuación de Killing?
Gracias de nuevo, un saludo.

[pod]

Re: Espacio tiempo homogéneo pero anisótropo

Gracias a ambos.
Respecto a lo dicho por pod, tenía entendido que una métrica acepta un vector Killing de la forma $\chi^{\alpha}=\delta^{\alpha}_{i}$ con i=0,1,2 ó 3 según de qué variable no dependa la métrica.
Así por ejemplo la metríca de minkowski claramente acepta los cuatro (traslaciones en las cuatro dimensiones). Pero por ejemplo si se cambia de coordenadas, a esféricas por ejemplo, ya aparecen variables en la métrica (como r, o $\theta$), y a simple vista solo verías los vectores de killing asociados a la ausencia de $\phi$ o t en la métrica. Aun así, ¿se debe seguir cumpliendo la ecuación de Killing?
Gracias de nuevo, un saludo.

La ecuación de Killing es la que define las isometrías. Ciertamente, si la métrica no depende de una coordenada entonces hay vectores de Killing obvios. Eso no significa que todos los vectores de killing se deban a que una variable no aparezca en la métrica. Recuerda que una variedad de dimensión D puede tener, como máximo, D(D+1) / 2 vectores de Killing, y sólo D de ellos pueden ser debidos a coordenadas que no aparecen en la métrica.