Pérdida de energía de los fotones por la expansión del Universo

[inakigarber]

Buenos días;

Me viene a la cabeza la historia de los neutrinos. Si no recuerdo mal, fueron deducidos por Pauli o por Fermi, escribo de memoria, para salvar el principio de conservación de la energía en las desintegraciones $\beta$. No es la primera vez que dicho principio se pone en duda. ¿podría ser consecuencia de otra forma de energía que desconocemos?

Saludos.

[inakigarber]

El enlace parece muy interesante.

[Alriga]

...Si en el universo sólo hay energía asociada a radiación, a materia y a energía oscura, entonces la energía del universo de la Relatividad General no se conserva...

Hoy he encontrado esta explicación del astrónomo Héctor Socas Navarro, (al que conocemos por dirigir los podcast de los fines de semana en los que participa Francis Villatoro) que me ha parecido interesante compartir con vosotros.

Viene a decir que el universo no cumple la premisa inicial necesaria para aplicar el Teorema de Noether que implica la conservación de la energía (esa premisa es que el lagrangiano no dependa explícitamente del tiempo). Y que por lo tanto, la energía no se conserva en nuestro universo en expansión. Este es el enlace: ¿Se conserva la energía en el Universo? Respuesta simple a una pregunta compleja

Saludos.

[Alriga]

Creo que ahora lo entiendo:

• El módulo del Vector de Pointing es el flujo de potencia de la onda (W/m²)
• Para obtener la densidad de energía, hay que dividir el flujo de potencia por la velocidad a la que se desplaza ese flujo (m/s). Para una onda electromagnética esa velocidad es la velocidad de la luz

$S=\rho \ c$

$\dfrac S c=\rho \qquad \dfrac{\dfrac W{m^2}}{\dfrac m s}=\dfrac{W\cdot s}{m^3}=\dfrac J{m^3}$

Como

$S=\varepsilon_0 E^2 \ c$

$\rho=\dfrac{\varepsilon_0 E^2 \ c}c=\varepsilon_0 E^2$

Gracias y saludos.

[carroza]

Hola. De nuevo, el vector de Poynting es la clave. El vector de poynting da el flujo de energía del campo electromagnético. Multiplicado por el volumen del campo, nos da el producto de la energía del campo, por la velocidad a la que se desplaza.

Si ves la expresión del vector de Pointing deducida previamente, $\vec S = \epsilon |\vec E^2| c \vec u_n$, y la comparas con la densidad de energía del campo $\rho = \epsilon |\vec E^2|$, vemos que la energía del campo electromagnético se propaga a una velocidad c.

Un saludo

[Alriga]

Cualquier cosa que se mueva a la velocidad de la luz (fotones, neutrinos), tendrá una presión

$$p=\dfrac 1 3 \ \rho$$

y su densidad de energía reescala en la expansión como $a^{-4}$

Sí, en efecto a los neutrinos, aunque no vayan exactamente a la velocidad de la luz, están tan cerca de esa velocidad que se les asigna, igual que a los fotones, ecuación de estado w=1/3

Por eso muchos textos llaman a la especie energética formada por fotones y neutrinos “materia relativista” (y algunas veces “hot matter”) en vez de “radiación” como yo la he llamado en el post #17

Es más, la contribución de los neutrinos al valor del ratio de densidad actual de materia relativista $\Omega_{R_0}$ (del que hablamos en el post #9), asciende al 40% del valor total.

… Así que parece que lo especial de la radiación es que la densidad de energía se propaga a la velocidad de la luz …

Pues este detalle tan interesante no acierto a verlo en tu desarrollo, si me lo explicas te lo agradezco.

Saludos.

[carroza]

$$p=\dfrac 1 3 \ \rho$$

Muchas gracias, Alriga.

Voy a intentar reformular tu argumento, usando https://en.wikipedia.org/wiki/Poynting_vector

La densidad de energía de la radiación libre es $\rho = \epsilon_0 |\vec E|^2$.

La presión de la radiación p (para una onda plana que incide sobre una superficie) viene determinada por el vector de Poynting S, a través de $p = S/c$.
El vector de Poynting en una onda plana es $\vec S = \vec E \times \vec B /\mu_0 \ = \epsilon_0 |\vec E|^2 c \vec u_n$, en la dirección de propagación.
Si describimos nuestro campo electromagnético isótropo como suma de ondas planas en las direcciones x,y,z, cada una con 1/3 de la densidad de energía total, tenemos

$p = 1/3 \epsilon_0 |\vec E|^2 = 1/3 \rho$

Así que parece que lo especial de la radiación es que la densidad de energía se propaga a la velocidad de la luz. Cualquier cosa que se mueva a la velocidad de la luz (fotones, neutrinos), tendrá una presión

$$p=\dfrac 1 3 \ \rho$$

, y su densidad de energía reescala en la expansión como $a^{-4}$.

Un saludo

[Alriga]

... Interesante la posible relación con la energía oscura, que además de radiación electromagnética también podría nutrirse de ondas gravitacionales...

Por favor, abstente de soltar ocurrencias sin base científica.
En Cosmología seria no ha habido nadie que ni siquiera haya conjeturado que la energía oscura podría “nutrirse” ni de radiación electromagnética ni de ondas gravitacionales.

Saludos.

[Alriga]

... Me gustaría comprender de dónde viene la expresión $\rho(a) = \rho(a_0) (a_0/a)^4$

Las ecuaciones de Fridman conducen a la expresión, (convenio c=1)

$\dot{\rho} = -3 H (\rho + p)$

$\dot{\rho} = -3 \dfrac{\dot a}a (\rho + p)$

Para relacionar la densidad con la presión se recurre a la Ecuación de Estado

$p=w \ \rho$

En donde “w” es un parámetro que depende de la especie energética considerada.

$\dot{\rho} = -3 \dfrac{\dot a}a (1+w)\rho$

$\dfrac{\dot{\rho}}{\rho} = -3 \dfrac{\dot a}a (1+w)$

Integrando

$\ln \rho=-3(1+w)\ln a+C_1$

$\rho=k \ a^{-3(1+w)}$ (La constante k es la “hija” de la constante de integración)

$\rho \sim a^{-3(1+w)}$

Las 3 especies de energía del universo son:

Materia no relativista

$w=0$

$\rho_M \sim a^{-3}$

Energía oscura, (constante cosmológica)

$w=-1$

$\rho_{\Lambda} \sim a^0$ (Es decir, $\rho=cte$)

Radiación

$w=\dfrac 1 3$

$\rho_R \sim a^{-4}$

La ecuación de estado para la radiación es:

$p=\dfrac 1 3 \ \rho$

La justificación de que la presión de la radiación es 1/3 de su densidad se puede encontrar por ejemplo en Radiation (numerical recipes) , en el punto 3.3.4 de la página 37

O también en Thermodynamics of Radiation Pressure and Photon Momentum en el punto 4, página 5.

Saludos.

EDITADO:

Me gustaría comprender de dónde viene la expresión $\rho(a) = \rho(a_0) (a_0/a)^4$. Esta debe ser una expresión que se obtenga de las ecuaciones clásicas, ya que tanto las ecuaciones del electromagnetismo clásico, tanto como las ecuaciones de Einstein, son clásicas, no cuánticas. Por tanto, no serían relevantes en este caso argumentos asociados a los fotones como entes individuales.
Clásicamente, para la radiación libre la densidad de energía de la radiación depende del campo eléctrico, segun $\rho = \epsilon_0 (\vec E )^2$ (también depende del campo magnético, pero para campos libres ambos están relacionados, $|\vec E| = c |\vec B|$) …

¿conocéis algún argumento clásico para mostrar que esto deba ser así? ...

Para encontrar una demostración clásica basada en el electromagnetismo podemos apoyarnos en Electromagnetic waves (David Morin)

En la expresión (40) halla la densidad de energía en función del campo eléctrico "E" y del campo magnético "B" de la onda:

$\rho=\dfrac{\varepsilon_0}2E^2+\dfrac 1{2\mu_0}B^2$

Teniendo en cuenta

$E=c B$

$c \ \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}=1$

Operando, se convierte en la expresión que carroza ha escrito:

$$\rho=\varepsilon_0 E^2$$

*Tened en cuenta que E es el valor eficaz del campo eléctrico sinusoidal, no el valor de pico de la senoide que es $\hat E=\sqrt 2 \ E$

Ahora falta calcular la presión. Si la luz ejerce presión, es porque tiene momento lineal. En el capítulo 8.5 Momentum de la página 16 empieza el cálculo de la presión mediante argumentos clásicos, dice:

… since photons (which is what light is made of) are massless, they have a momentum given by p=E/c … However, although this argument is perfectly valid, it isn’t very satisfying, because (a) it invokes a result from relativity, and (b) it invokes the fact that electromagnetic waves (light) can be considered to be made up of particle-like objects called photons, which is by no means obvious. But why should the particle nature of light be necessary to derive the fact that an electromagnetic wave carries momentum? It would be nice to derive the p = E/c result by working only in terms of waves and using only the results that we have developed so far in this book. Or said in a different way, it would be nice to understand how would someone living in, say, 1900 (that is, pre-relativity) would demonstrate that an electromagnetic waves carries momentum. We can do this in the following way …

Y a continuación hace el desarrollo llegando a la ecuación (62) que dice:

$p_1=\dfrac{E^2}{\mu_0 c^2}$

Eliminando c como antes, se obtiene

$$p_1=\varepsilon_0 E^2$$

De (1) y (2) deducimos

$\rho=p_1$

Es decir que la presión $p_1$ en la misma dirección que la onda es igual a la densidad de energía. Observad que es a la misma conclusión que llega Radiation (numerical recipes) en la página 35:

$$p_1=\rho \qquad (but \ wait \ !)$$

Y ahí a continuación, explica como calcular la presión $p$ si la radiación es isotrópica, (de dos formas diferentes), llegando a la expresión de la página 37:

$$p=\dfrac 1 3 \ \rho$$

.

The pressure of isotropic radiation is exactly 1/3 its energy density.

.
Saludos.

[carroza]

Hola.

Tras revisar bibliografía, parece que, como indica Alriga, en general se asume que la densidad de energía de la radiación decrece con el parámetro de escala como $\rho(a) = \rho(a_0) (a_0/a)^4$.

Esto llevaría a que, en un volumen en expansión que pasa de $a_0^3$ a $a^3$, la energía de la radiación pasaría de $E_r(a_0) = \rho(a_0) a_0^3$
a $E_r(a) = \rho(a) a^3 = E_r(a_0) (a_0/a)$.

Esta expresión sería consistente con la que se obtendría con un solo fotón, que aumenta su longitud de onda desde $\lambda_0$ hasta $\lambda = \lambda_0 (a/a_0)$.

Me gustaría comprender de dónde viene la expresión $\rho(a) = \rho(a_0) (a_0/a)^4$. Esta debe ser una expresión que se obtenga de las ecuaciones clásicas, ya que tanto las ecuaciones del electromagneticmo clásico, tanto como las ecuaciones de einstein, son clásicas, no cuánticas. Por tanto, no serían relevantes en este caso argumentos asociados a los fotones como entes individuales.

Clásicamente, para la radiación libre la densidad de energía de la radiación depende del campo eléctrico, segun $\rho = \epsilon_0 (\vec E )^2$ (también depende del campo magnético, pero para campos libres ambos están relacionados, $|\vec E| = c |\vec B|$). Por tanto, para que se cumpla la ley de escala prevista anteriormente, debe cumplirse que el campo eléctrico se reescale con la expansión de forma que $\vec E (a) = \vec E (a_0) (a_0/a)^2$. Y esto, suponiendo (lo cual no es trivial) que durante la expansión, el parámetro $\epsilon_0$ permanece constante.

¿conoceis algun argumento clásico para mostrar que esto deba ser así?

Un saludo

[JoseEnrique]

Jorrosplo, cómo defiende el universo sus secretos!

Por mí formación técnica yo entiendo la energía como un flujo, por ejemplo pila-cable-bombilla. Cómo no es es lo mismo recibir una energía en un tiempo que en el doble, es mejor utilizar el término potencia o energía por unidad de tiempo. Cuando se transmite potencia siempre hay pérdidas. Imaginemos que el cable se estirase como el espacio-tiempo, entonces llegaría cada vez menos potencia a la bombilla pues habria más pérdidas por la creciente resistencia del cable...Bueno no se se es un símil comparable y creo que tiene que ver con la termodinámica, entropia y tal.

Interesante la posible relación con la energía oscura, que además de radiación electromagnética también podría nutrirse de ondas gravitacionales...

[Richard R Richard]

No , no sorprende, solo que, recuerdo modelos que no doy características para no desviar el hilo,que lo explican, entiendo la no conservación, solo por el lado de la contribución de la energía oscura.
A groso modo entiendo, sigue entrando al universo,la radiación de fondo, que se incrementa linealmente con z,y la que sale del universo la compensa , la materia bariónica con z cubo, y la energia oscura con z cubo, pero la constante crece con z cubo y por la expansión, lo mismo que el volumen, luego es la Densidad de energia oscura, la que pemanece constante, y la que mas afecta a la conservación de energía pues si se crea mas espacio mas energía hay mas expande, se realimenta el ciclo.
Bueno así lo entiendo, a lo argentina"atado con alambre y pagado con cinta" ...la compensación de exponentes con la cuarta potencia ,no lo tengo del todo claro como varia realmente el ratio pero ojo "debería ser así" pero lo sostengo sin poderte citar fundamento.(voy a seguir buscándolo).
Algunas teorías hemos visto que explican esto como una expansión adiabática, pero sobre "que" hace trabajo de expansión ,no lo explican como hemos debatido en otros hilos.

[Alriga]

Si las longitudes crecen con $a$, el volumen debe crecer con $a^3$ ¿no?:

$V_z=V_0 \cdot a^3$

Uups, es un typo, gracias por avisar Jaime, Richard, lo corrijo. Aunque ahí había escrito por error al teclear

$V_z=\cancel{V_0 \cdot a} = \cancel{\dfrac{V_0}{1+z}}$

En el desarrollo he usado correctamente

$V_z=V_0 \cdot a^3 = \dfrac{V_0}{(1+z)^3}$

Como Richard ha comprobado, (siguiendo el desarrollo matemático), en el post #10

Yo no veo ninguna perdida, es la misma energía distribuida en mayor espacio … Mientras el fotón no es absorbido por la materia, viaja por el espacio, es decir, no es recibido por nada, la energía inicial de todos los fotones, se haya distribuida en un espacio mayor, y baja la densidad de energía radiante ...

No, no es así para la radiación. En cualquier volumen comóvil del Universo en donde sean válidas las Ecuaciones de Friedman:

• La energía de la radiación va desapareciendo paulatinamente con la expansión.
• La energía de la materia (oscura + bariónica) se conserva durante la expansión, (“es la misma energía distribuida en mayor espacio”)
• Energía oscura nueva va apareciendo paulatinamente mientras el Universo se expande.
• En general no hay compensación entre la desaparición de energía de radiación y la creación de energía oscura.

Esto que he demostrado no debería sorprender a la gente asidua del foro: ¿Se conserva la energía en Relatividad General? y también El fotón al recorrer distancias

Saludos.

[Richard R Richard]

Cuando se dice que la radiación aumenta su longitud de onda, entiendo hasta donde alcanzan mis luces que está perdiendo energia.

Yo no veo ninguna perdida, es la misma energía distribuida en mayor espacio.

Un fotón viajando por el espacio, expande su longitud de onda , a la misma tasa que el espacio lo hace en una dirección,

Entonces quién recibe esa energía?

Mientras el fotón no es absorbido por la materia, viaja por el espacio, es decir, no es recibido por nada, la energía inicial de todos los fotones, se haya distribuida en un espacio mayor,y baja la densidad de energía radiante.

y la integral de la densidad sobre todo el volumen del universo expandido es una constante. Otra cosa diferente sucede con la energía oscura... pero no viene a este cuento.

Sea un volumen de universo tan grande como se quiera, tan grande incluso como todo el universo observable y vamos a ver cómo evoluciona en él la energía de la radiación aplicando las Ecuaciones de Friedman, (basadas en las ecuaciones de campo de la Relatividad General con las hipótesis adicionales de homogeneidad e isotropía)

Tomamos pues un volumen arbitrario de universo muy grande en un tiempo cósmico “t” al que corresponde un factor de escala “a” y un desplazamiento al rojo z=(1/a)-1 Llamo ese volumen $V_z$ Supongo el universo plano, como sabemos que aproximadamente es. La energía total de la radiación en todo ese volumen es:

$E_{R_z}=V_z \ \Omega_{R_z} \ \rho_z$

Esta la veo correcta porque $\rho_z \propto a^{-2}$ de la primera ecuacion de Friedman lo saque del blog de Jaime https://forum.lawebdefisica.com/blog...69-#post316669

y como Jaime que me ha ganado de mano,yo tampoco te sigo aquí,

El volumen $V_z$ está relacionado con el volumen actual mediante:

$V_z=V_0 \cdot a = \dfrac{V_0}{1+z}$

en el volumen tiene tres dimensiones, luego es proporcional $(1+z)^3$ o inversamente respecto del volumen actual

y el ratio de densidad crece con la 4 cuarta potencia como dices

pues $\dfrac{1}{a}=1+z$ considerando $a_{\text{actual}}=1$

luego

$E_{R_z}=\dfrac{V_0}{(1+z)^3} \ \Omega_{0}(1+z)^4 \dfrac{\rho_0}{(1+z)^2}=\dfrac{E_{R_0}}{1+z}$

que se condice con lo que sigues explicando ....

[Jaime Rudas]

El volumen $V_z$ está relacionado con el volumen actual mediante:

$V_z=V_0 \cdot a = \dfrac{V_0}{1+z}$

Si las longitudes crecen con $a$, el volumen debe crecer con $a^3$ ¿no?:

$V_z=V_0 \cdot a^3$

Saludos