Divulgación Consulta sobre metricas en la relatividad especial

[inakigarber]

Buenas noches;
Cuando hace unos días escribía en este hilo, acabé por tener claro que cuando se trata de regiones del espacio con gran gradiente gravitatorio debería de utilizar la métrica de Schwarzschild, en regiones próximas y con poco gradiente gravitatorio la Relatividad Especial, y para grandes distancias cosmológicas la métrica de Friedman, Lamaitre, Robertson y Walker, he estado buscando sobre la primera y la última. He encontrado en la Wikipedia este enlace, pero me pierdo cuando aparecen los siguientes tensores;
$G=\begin{pmatrix}<br /> -c^2\left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right) & 0 &0 &0\\<br /> 0 & \left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right)^{-1} &0&0\\<br /> 0&0&r^2&0\\<br /> 0&0&0&r^2 sen^2(\theta)<br /> \end{pmatrix}$
relativo a la métrica de Schwartzild,
y este otro relativo a la métrica de FLRW
$G=\begin{pmatrix}c^2 & 0 &0&0 \\<br /> 0 & \dfrac{a(t)}{1-kr^2}&0&0\\0&0&\\<br /> 0 & 0 & \dfrac{a(t)r^2}{1-kr^2}&0\\<br /> 0 & 0 & 0 & \dfrac{a(t)r^2 sen^2(\theta)}{1-kr^2}<br /> \end{pmatrix}$
Supongo que ambos sirven para transforman un cuadrivector que representaría al espaciotiempo en un sistema de referencia para transformarlo en otro. Observo que en el primero, a diferencia del segundo aparece la masa, lo cual supongo que indica que el espacio depende de la masa (me viene la famosa frase "la masa le dice al espacio como debe curvarse" que se menciona frecuentemente con la relatividad). Observo que en el segundo aparecen los términos $a_(t)$, siempre multiplicando y siempre en la parte las componentes espaciales del tensor. Imagino que es un termino que varía con el tiempo.
Bien, supongo que ambos tensores métricos transforman un espacio en otro, pasándolo de un sistema de referencia a otro, de forma parecida a como lo haría el tensor métrico en la métrica de Minkowski en la relatividad especial, pero no sé si lo que estoy diciendo no es una tontería.

¿Cómo debería operar con ellos?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Observo que en el segundo aparecen los términos $a_(t)$, siempre multiplicando y siempre en la parte las componentes espaciales del tensor. Imagino que es un termino que varía con el tiempo.

Correcto, Eso significa que el factor de escala es el mismo en todo el espacio en cada instante, pero que puede variar en el tiempo de la misma manera para todo el espacio....

Bien, supongo que ambos tensores métricos transforman un espacio en otro, pasándolo de un sistema de referencia a otro, de forma parecida a como lo haría el tensor métrico en la métrica de Minkowski en la relatividad especial, pero no sé si lo que estoy diciendo no es una tontería.

Bueno,tontería o no , así yo también lo entiendo...

¿Cómo debería operar con ellos?

Operar para hacer que? convertir mediciones del sistema de referencia local, a lo que otro SR observaría en otra posición ? o mediciones de otro SR y referirse al sistema de coordenadas local, claro eso si , multiplicas el cuadrivector por el tensor métrico por y el resultado es una medida invariante, que debe ser igual al cuadrivector por el tensor métrico de esa en otro punto u otra región
creo que funciona así...

$ds^2=-c^2\left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right)dt^2+\left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right) r^2+r^2d\theta^2+r^2 sen^2(\theta)d\phi^2=-c^2\left(1-\dfrac{2GM}{c^2r'}\right)dt'^2+\left(1-\dfrac{2GM}{c^2r'}\right) dr'^2+r'^2d\theta'^2+r'^2 sen^2(\theta')d\phi'^2=ds'^2<br />$

pd..el título del hilo debería estar relacionado con la TGR no con la TRE pues allí la única métrica es la de Minkowski.

[carroza]

Te faltan varios diferenciales, no?

[Richard R Richard]

No, los deje de poner adrede para ver quien estaba atento, Jeje!!,

[inakigarber]

Muchas gracias por tu respuesta.

pd..el título del hilo debería estar relacionado con la TGR no con la TRE pues allí la única métrica es la de minkowski.

Cierto, me llevó más de una hora (y un cierto enfado porque no conseguía que el ordenador hiciese lo que yo quería) editar el post de ayer y finalmente equivoqué el titulo, además también metí la pata en el elemento $g_{22}$ de la primera matriz (eso acabo de corregirlo). ¿Sería posible cambiar el título del hilo y sustituir especial por general?

En cuanto a como se opera, no estoy muy seguro, no me manejo bien con las coordenadas esféricas, no sé si lo que voy a decir es correcto, supongamos que tengo un objeto situado en las coordenadas $(t,x,y,z)$, donde la primera coordenada es temporal y las otras tres espaciales. Supongo que la clave consistiría en pasar las coordenadas espaciales $(x,y,z)$ a coordenadas esféricas $(r,\theta,\varphi)$, donde $r$ representaría el módulo del vector y $\theta,\varphi$, representarían los ángulos. Con esto obtendríamos un vector posición;
$\begin{pmatrix} t\\r\\\theta\\\varphi\end{pmatrix}$. De manera que el ángulo $\theta$ y la varíable $r$ que aparecen los elementos del tensor serían los valores que hemos calculado al pasar de las coordenadas espaciales $(x,y,z)$ a las coordenadas $r,\theta,\varphi$. Esto no lo veía claro al escribir el post de ayer. Al operar sobre este vector con el tensor métrico obtendríamos otro vector
$\begin{pmatrix} t'\\ r \\\theta' \\\varphi' \end{pmatrix}$, que luego podríamos pasar si lo deseamos a coordenadas polares $(t',x',y',z')$

¿es esto correcto?

[sater]

Bien, supongo que ambos tensores métricos transforman un espacio en otro, pasándolo de un sistema de referencia a otro, de forma parecida a como lo haría el tensor métrico en la métrica de Minkowski en la relatividad especial, pero no sé si lo que estoy diciendo no es una tontería.

Buenas, las métricas no se utilizan para transformar objetos de un sistema de referencia a otro (sí para transformar vectores covariantes en contravariantes y viceversa; que es cierto que "viven" en espacios distintos, o en general índices covariantes a contravariantes y viceversa).

Lo que se utiliza para transformar un tensor de un sistema de referencia a otro son matrices de cambio de base (que dependen del punto en el que estés si el espacio es curvo!). En general, si conoces la dependencia de unas coordenadas respecto de otras $y^{\alpha}=y^{\alpha}(x^{\mu})$, si tienes un observador usando coordenadas $x^{\mu}$ que describe un vector $V^{\mu}$, entonces la relación con el vector que describre el observador usando coordenadas $y^{\alpha}$ es

$$<br /> V^{\alpha}=\dfrac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}} V^{\mu}<br />$$

con suma sobre índices repetidos.

[inakigarber]

Buenas, las métricas no se utilizan para transformar objetos de un sistema de referencia a otro (sí para transformar vectores covariantes en contravariantes y viceversa; que es cierto que "viven" en espacios distintos, o en general índices covariantes a contravariantes y viceversa).

Lo que se utiliza para transformar un tensor de un sistema de referencia a otro son matrices de cambio de base (que dependen del punto en el que estés si el espacio es curvo!). En general, si conoces la dependencia de unas coordenadas respecto de otras $y^{\alpha}=y^{\alpha}(x^{\mu})$, si tienes un observador usando coordenadas $x^{\mu}$ que describe un vector $V^{\mu}$, entonces la relación con el vector que describre el observador usando coordenadas $y^{\alpha}$ es

$$<br /> V^{\alpha}=\dfrac{\partial y^{\alpha}}{\partial x^{\mu}} V^{\mu}<br />$$

con suma sobre índices repetidos.

Bueno, supongo que todo se debe a mi propia ignorancia, lo que yo quería decir al mencionar la métrica refería a una matriz (tensor de orden dos) que nos permite pasar de un vector posición en un sistema de coordenadas a otro vector posición en otro sistema de coordenadas. De manera que debiera hablar más que de métricas a matrices de transformación o de cambio de base. Supongo que aún me queda un largo trecho para comprender la cuestión.
Veo que el mensaje tuyo se ha solapado con el que he publicado anteriormente, y no se si lo que escribí con antelación es correcto o no.

Saludos y gracias.

[sater]

Buenas de nuevo, Inakigarber. La verdad que actualmente no entiendo bien tu duda. Prueba a reescribirla y a ver si me aclaro con ella. Mientras tanto, puedes echar un ojo al tema 6, apartado 2, de estos apuntes que ya te ha recomendado Richard https://www.ugr.es/~bjanssen/text/Be...dadGeneral.pdf (lo mejor en español para aprender relatividad general, pero claro, qué voy a decir yo si fue mi tutor de trabajo de fin de máster )

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta;

Dedicaré un tiempo al enlace que me propusiste. En mi caso, yo no tengo estudios de física (exceptuando una formación profesional de segundo grado que hice el pasado milenio), tengo una cierta curiosidad que trato de satisfacer en este foro (me parece un lugar muy apropiado).

Bien, vamos a ver si consigo aclarar las cosas.
Pongamos un ejemplo propio de la relatividad especial;
Supongamos que en mi sistema de referencia hay un objeto en reposo con respecto a mi, cuyas coordenadas espaciotemporales son;
$T=\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}$
Supongamos que tu te desplazas a una velocidad v respecto a mi sistema de referencia. Las coordenadas del objeto T en tu sistema de referencia serían;
$T'=\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma & \beta \gamma & 0 & 0\\\beta \gamma & \gamma &0 &0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}$ donde la matriz central actúa como una matriz de transformación que transforma las coordenadas espaciotemporales de un sistema de referencia a otro. En este caso he utilizado coordenadas polares. Para hacer la transformación utilizamos un tensor de orden 2 (matriz) que nos transforma de un sistema de coordenadas a otro. Habia pensado que las matrices que puse arriba también actuaban de la misma manera pasando de un sistema de coordenadas a otro, por ejemplo bajo la presencia de una masa en el caso de la métrica de Schwartzild del primer caso.

Pero ahora, no estoy nada seguro de lo que estoy diciendo.

[sater]

Buenas, fíjate que la matriz con la que cambias de unas coordenadas a otras no es la métrica. La métrica en relatividad especial es $diag(-1,1,1,1)$. La matriz que tu pones se puede obtener por el procedimiento que te indiqué en mi anterior mensaje: escribes las coordenadas primadas como función de las coordenadas sin primar: $x'^{\mu}=x'^{\mu}(x^{\alpha})$ y entonces la matriz se obtiene haciendo

$$<br /> \Lambda^{\alpha}\:_{\mu}=\dfrac{\partial x'^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}<br />$$

Si te entretienes en hacerlo (encontrando elemento a elemento haciendo las derivadas parciales, por ejemplo el elemento 00 viene de derivar $x'^{0}=ct'$ parcialmente respecto a $x^0=ct$), verás que encuentras la matriz que has escrito. Esta matriz es un caso particular de cambio de coordenadas (para cuando dos observadores se mueven uno respecto a otro uniformemente en un espacio plano), y lo más general es lo que te puse arriba.

Si quieres aprender de manera autodidacta relatividad especial y general, los mejores recursos que conozco a tu nivel son el curso online de Armando Téllez (en español) y el libro con el que aprendieron relatividad cuando aun estaban en el instituto algunos físicos que ahora la enseñan (como Ray D'Inverno) de Lillian Lieber (en inglés, eso sí). Este segundo lo tengo en papel pues me parece de lo mejor que se ha escrito si se quiere aprender relatividad y aun no se sabe casi ni derivar.

Un saludo

[inakigarber]

Si quieres aprender de manera autodidacta relatividad especial y general, los mejores recursos que conozco a tu nivel son el curso online de Armando Téllez (en español) y el libro con el que aprendieron relatividad cuando aun estaban en el instituto algunos físicos que ahora la enseñan (como Ray D'Inverno) de Lillian Lieber (en inglés, eso sí). Este segundo lo tengo en papel pues me parece de lo mejor que se ha escrito si se quiere aprender relatividad y aun no se sabe casi ni derivar.

Un saludo

Cuando empecé a interesarme por el tema desconocía los enlaces que me citas. Yo sigo este otro enlace, http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.com/ , algunos de cuyos posts ya he estudiado. Aún estoy en los relativos a la relatividad especial. La curiosidad que me empujó a empezar mis últimos hilos vino a partir de leer un libro del físico Luis Ruiz de Gopegui "El blog de la verdad extraordinaria" en el que planteaba la cuestión del tamaño del universo observable entre otros temas. Es lo que me ha llevado a plantearme las preguntas de los tres últimos hilos que he abierto.
Entonces pensaba que la expansión del universo implicaba que el tamaño de un objeto (un átomo, el teclado de este ordenador, un planeta o la vía láctea) iria aumentando a medida que pasa el tiempo a nivel cosmológico (suponiendo que estos objetos llegaran a existir en ese tiempo). Ahora se que eso no es así, aumentan las distancias a nivel cosmológico pero no el tamaño de esos objetos. Sé algo más, cuando se trata de grandes gradientes gravitatorios debo utilizar la métrica de Schwarstzild, en zonas próximas y sin gradiente gravitatorio apreciable la Relatividad especial, y para distancias cosmológicas la métrica FLRW. La primera explica algo que me tiene intrigado, que es el porque las órbitas de los planetas no son elipses cerradas (caso de la orbita de mercurio), de manera que pensé que utilizando la matriz $G=\begin{pmatrix}-c^2\left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right) & 0 &0 &0\\0 & \left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right)^{-1} &0&0\\0&0&r^2&0\\0&0&0&r^2 sen^2(\theta)\end{pmatrix}$ podría comprobarlo. Supuse que la primera fila (empezando por arriba) sería la que actúa sobre la parte temporal de un cuadrivector, la segunda sobre el eje x de la parte espacial de dicho cuadrivector y las otras dos sobre los ejes y e z del mismo, para obtener un cuadrivector nuevo en el que las partes temporal y eje x variarían con la masa, y debe ser así, pero he debido equivocarme en mis pasos.

Saludos y gracias.

[Alriga]

… leer un libro del físico Luis Ruiz de Gopegui "El blog de la verdad extraordinaria" en el que planteaba la cuestión del tamaño del universo observable entre otros temas…

Kaixo Iñaki, no sé si has visto que el tamaño mínimo del Universo Global lo calculamos en el hilo: Tamaño del Universo Observable y del Universo en su totalidad

… algo que me tiene intrigado, que es el porqué las órbitas de los planetas no son elipses cerradas (caso de la órbita de Mercurio), …

El cálculo de órbitas a partir de la Métrica de Schwarzschild es largo y difícil. Mira los puntos:

• 3 Orbits of test particles
• 4 Local and delayed velocities
• 5 Exact solution using elliptic functions
• 5.1 Newtonian limit
• 5.2 Roots and overview of possible orbits
• 6 Precession of orbits
• 7 Bending of light by gravity
• 8 Relation to Newtonian physics
• 8.1 Effective radial potential energy
• 8.2 Circular orbits and their stability
• 8.3 Precession of elliptical orbits

En la Wikipedia en inglés: Schwarzschild geodesics

Saludos.

[sater]

... pensé que utilizando la matriz $G=\begin{pmatrix}-c^2\left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right) & 0 &0 &0\\0 & \left(1-\dfrac{2GM}{c^2r}\right)^{-1} &0&0\\0&0&r^2&0\\0&0&0&r^2 sen^2(\theta)\end{pmatrix}$ podría comprobarlo. Supuse que la primera fila (empezando por arriba) sería la que actúa sobre la parte temporal de un cuadrivector, la segunda sobre el eje x de la parte espacial de dicho cuadrivector y las otras dos sobre los ejes y e z del mismo, para obtener un cuadrivector nuevo en el que las partes temporal y eje x variarían con la masa, y debe ser así, pero he debido equivocarme en mis pasos.

Saludos y gracias.

Llevas razón en que la métrica se utiliza para encontrar la precesión del perihelio, pero de una manera distinta. Lo que se hace con la métrica es obtener la ecuación para las geodésicas que siguen los cuerpos en un espacio dado (curvo en este caso por una masa central), y al resolverla se puede ver que es como una elipse que precesa, de manera que el perihelio va variando su posición y eso es lo que calculó Einstein.

[Visitante]

Hola.
Si quieres calcular y trazar orbitas de 'particulas' y/o fotones bajo la métrica de Schwarzschild
te aconsejo 'Geodesicas en la métrica de Schwarzschild y Kerr. Tratamiento numerico'
de Rafael Zamora Ramos. Universidad de Sevilla.
Si quieres calcular el avance del perihelio de Mercurio vas a tener que usar mas de 15 dígitos
de precisión.
Hay un hilo en Relatividad y Cosmología que ya lo hace.
Un saludo.