1r ciclo Composición relativista de velocidades

[Pola]

Mis disculpas en primer lugar por la forma en la que voy a exponer mi duda. debería hacerlo incluyendo las fórmulas adecuadas mediante LATEX o al menos adjuntarlas en un archivo.

La verdad es que llevo toda la tarde con los tutoriales de LATEX de ésta página y con ayuda de otros que he buscado en internet y me doy por vencido: no he sido capaz. Tampoco he podido subir un archivo en el que había hecho una foto de las fórmulas escritas en un papel.

Trataré de explicar mi duda lo mejor que pueda.

Siguiendo la misma nomenclatura de Einstein en su libro: tenemos un sistema de referencia K. Cualquier suceso viene determinado en él por las coordenadas x,y,z,t.

Hay un sistema de referencia K´en movimiento rectilíneo uniforme respecto a K. El mismo suceso anterior, viene determinado por las coordenadas x´, y´, z´t´ respecto a éste último sistema de referencia.

Como sabemos, las ecuaciones de transformación de Lorentz, conociendo x,y,z,t nos dan los valores de x´,y´,z´t´.

La coordenada espacial x´es igual a x-vt dividido por la raíz cuadrada de 1 menos v (velocidad del sistema de referencia) al cuadrado partido por c (velocidad de a luz) al cuadrado.

La coordenada temporal t´es igual a t menos v partido por c al cuadrado dividido todo ello por la raíz cuadrada de 1 menos v cuadrado partido por c cuadrado.

Mis disculpas por la chapuza. Creo que todo el mundo tiene en la cabeza éstas ecuaciones y puede valer...

La cuestión es que conforme a las ecuaciones de transformación, a medida que la velocidad del móvil se aproxima a la de la luz, su valor tanto para la coordenada espacial como para la temporal, tiende a infinito. (Porque en el denominador aparece 1-v2/c2. Si v=c, entonces es 1-1=0 y algo dividido por 0 es igual a infinito).

Pues bien. Si yo desde K quiero calcular la velocidad del suceso en K´, puedo decir que v´= e´/t´ Osea igual a infinito/infinito. Una indeterminación.

¿Donde está el error?

[teclado]

Hola,

Para calcular la velocidad lo que haces es una derivada, para lo que tomas dos eventos próximos y tomas el límite cuando se aproximan, de forma que tienes (he usado la notación $u$ y $u'$ para designar las velocidades en cada sistema de referencia para distinguirlas de la velocidad del propio sistema de referencia, $v$):

$\dst u' = \lim_{\Delta t' \rightarrow 0} \frac{\Delta x'}{\Delta t'} = \lim_{\Delta t' \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left (\Delta x - v\Delta t \right )}{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left (\Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x \right )} = \lim_{\Delta t' \rightarrow 0}\frac{\Delta x - v\Delta t}{\Delta t - \frac{v}{c^2}\Delta x}$

En el límite $\Delta t' \rightarrow 0$, $\Delta t \rightarrow 0$ y $\Delta x \rightarrow 0$, y dividiendo numerador y denominador por $\Delta t$:

$\dst u' = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\frac{\Delta x}{\Delta t} - v}{1-\frac{v}{c^2}\frac{\Delta x}{\Delta t}} = \frac{u-v}{1-\frac{vu}{c^2}}$

En física newtoniana lo que calculas si no tomas el límite es la velocidad media en una trayectoria. En este caso no puedes hacerlo directamente y tendrás que promediar la expresión anterior mediante una integral en toda la trayectoria.

Nota que si v=c, $u' = \frac{u-c}{1-\frac{u}{c}} = -c$, o si por el contrario, u=c $u' = \frac{c-v}{1-\frac{v}{c}} = c$.

Un saludo.

[Pola]

Entendido.

Gracias, Teclado.