Comparación del producto escalar de un vector tridimensional y de un cuadrivector

[inakigarber]

Buenas noches;

Repasando este blog sobre relatividad, me he encontrado con un párrafo que me ha llamado la atención, no se si está detallado mejor más adelante y me he quedado con la duda.

Cuando dice;
"Ahora bien, haciendo una analogía con el intervalo relativista, podemos tomar el producto escalar de dos vectores A y B tal y como se define en el análisis vectorial Euclideano tradicional"

Aparece primero un producto escalar de dos vectores clásico; $\vec A=[a_1,a_2,a_3]$, $\vec B=[b_1,b_2,b_3]$, $\vec A \vec B=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ que es el producto escalar clásico. En el caso del cuadrivector $\vec A=[a_1,a_2,a_3,a_4]$,$\vec B=[b_1,b_2,b_3,b_4]$ el producto vectorial presenta unos signos negativos que me tienen desconcertado$\vec A \vec B=a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4$.

En el párrafo siguiente justifica (aunque en mi opinión de forma poco aclaradora) estos sígnos negativos, por lo que no pueden deberse a un fallo de escritura y debe haber alguna causa que los justifique.

¿Cómo podría aclarar esto?

Saludos y gracias.

[sater]

Ahora que por otros hilos veo que vas cogiendo para qué sirve la métrica, puedes entender que precisamente se usa para hacer productos escalares:

$$\vec A\cdot \vec B=\eta_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu}$$

y, por esos tres signos menos, el convenio a usar es que $\eta=diag(1,-1,-1,-1)$, que es la métrica de Minkowski , la cual se usa en relatividad especial (en cuyo caso la letra a usar suele ser $\eta$ en lugar de $g$). El producto escalar anterior es una suma sobre los dos índices, pero si no te gusta hacerlo así, puedes hacerlo como un producto matricial $A^T \eta B$, y saldrá igual.

[inakigarber]

Ahora que por otros hilos veo que vas cogiendo para qué sirve la métrica, puedes entender que precisamente se usa para hacer productos escalares:

$$\vec A\cdot \vec B=\eta_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu}$$

Yo no soy tan optimista, creo que todavía me queda mucho para entender la cuestión.

Ahora ya lo veo más claro en física clásica el tensor métrico es la matriz identitaria y en relatividad especial el tensor métrico es la matriz cuyos elementos no diagonales son nulos y los diagonales valen 1,-1,-1 y -1.

Me resulta más cómoda la notación $A^T \eta B$, dónde $\eta$ es el tensor métrico.

[carroza]

Hola.

Quizás sea util reflexionar sobre lo que significa un "vector" y un "escalar", en lugar de extender formulas a las que estamos acosntumbrados, como la del modulo de un vector.

Un escalar es una cantidad que resulta invariante frente a ciertas transformaciones. Un vector es un conjunto de cantidades que se convierten cada una en una cierta combinacion de todas frente a una transformación.

En el espacio euclideo normal, de tres dimensiones, un vector está formado por tres cantidades, que son las componentes $a_x, a_y, a_z$ de algo. Las transformaciones son las rotaciones, que hacen que las componentes se conviertan en unas nuevas $a'_x, a'_y, a'_z$, que son ciertas combinaciones de las componentes originales. A partir de aqui, se demiestra que la combinación $(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2 = (a'_x)^2 + (a'_y)^2 + (a'_z)^2$ es invariante frente a rotaciones, y es lo que llamamos un "escalar", en este caso.


En el espacio de Minkowsky, de cuatro dimensiones, un (cuadri)vector está formado por cuatro cantidades, que son las componentes $a_t, a_x, a_y, a_z$ de algo. Las transformaciones son las transformaciones de Lorentz, que incluyen a las rotaciones, y también los cambios de velocidad del sistema de referencia. Estas hacen que las componentes se conviertan en unas nuevas $a'_t, a'_x, a'_y, a'_z$, que son ciertas combinaciones de las componentes originales. A partir de aqui, se demiestra que la combinación $(a_t)^2 -(a_x)^2 - (a_y)^2 - (a_z)^2 =(a'_t)^2 - (a'_x)^2 - (a'_y)^2 - (a'_z)^2$ es invariante frente a transformaciones de Lorentz, y es lo que llamamos un "escalar", en este caso.