Consulta sobre derivada covariante de un tensor covariante

[inakigarber]

Buenas noches;

En el cálculo de la derivada covariante de un tensor aparecen tantos símbolos de Christoffel como el rango del tensor en cuestión, siendo además que el rango covariante del tensor nos dará un número de símbolos de Christoffel que se aparecerán restando y el rango contravariante nos dará otro número de símbolos de Christoffel que se restan. Tratando de entender el porque de esta situación he tratado de resolver un problema, pero creo que me estoy equivocando en algo, veamos;
$\bar T_i=\dfrac{\partial \bar x_p}{\partial \bar x^q}T_r$

$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^q}=\dfrac{\partial}{\partial \bar x^q}\left(\dfrac{\partial x_p}{\partial \bar x_i}T_p\right)$

Aplicando la derivada del producto;
$\dfrac{\partial \bar T_i}{\bar x^q}=\left(\dfrac{\partial x_p \partial T_p}{\partial \bar x_i \partial x_s}+\dfrac{\partial^2 x_p}{\partial \bar x_i \partial x_s}T_p \right)\dfrac{\partial x_s}{\partial \bar x_q}$
$\dfrac{\partial T_i}{\partial \bar x^q}=\left(\dfrac{\partial x_p \partial T_p \partial x_s}{\partial \bar x_i \partial x_s \partial \bar x_q}+\dfrac{\partial^2 x_p}{\partial \bar x_i \partial \bar x_p}T_p \right)$

Basándome en el resultado obtenido en este hilo, cuando dice;
$\dfrac{\partial^2x^m }{\partial \bar x^j\partial\bar x^k}=\bar \Gamma_{jk}^n \dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}-\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^j}\,\dfrac{\partial \bar x^q}{\partial \bar x^k}\,\Gamma_{pq}^m$, de manera que llego a la siguiente formulación;
$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial x^q}=\left (\dfrac{\partial x_p \partial x_s \partial T_p}{\partial \bar x_i \partial x_q \partial x_s}+\Gamma^n_{iq}T^p\dfrac{\partial \bar x_p}{\partial \bar x_n}-\Gamma^p_{uv}T^p\dfrac{\partial x_u \partial x_v}{\partial \bar x_i\partial \bar x_q}\right)$,

pero no puedo seguir más adelante, no se si me he perdido en alguno de los pasos, lo que he pretendido demostrar (y entender) es porque los índices covariantes generan símbolos de Christoffel que se restan y los contravariantes que se suman.

Saludos y gracias.

[inakigarber]

Buenos días;
Primero debo decir que en el post anterior metí la pata (ó mejor el dedo) ya que todos los índices, excepto los de los tensores $\bar T_i$ y $\bar T_p$ deberían aparecer como superíndices y no como subíndices. Estoy viendo que además también equivoque los índices del tensor $T^p$, donde debería haber puesto $T_p$. De manera que aparece un cierto "cacao" de índices, probablemente reflejo de mi "cacao" mental.

Bien, partiendo de la expresión $\bar T_i=\dfrac{\partial x^r}{\partial\bar x^i}T_r$, se trata de calcular la derivada de este producto, que aplicando el teorema de la derivada del producto me sale;
$\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}=\left(\dfrac{\partial x^r \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial x^s}+T_r \dfrac{\partial^2 x^r}{\partial x^s \partial x^i} \right)+\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}$
Despejando, simplificando y aplicando las relaciones obtenidas en hilo que mencioné anteriormente, obtengo la siguiente relación que no me deja nada satisfecho;
$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}-\bar \Gamma^n_{ik}\bar T^n=\dfrac{\partial x^r \partial x^s \partial T^r}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k \partial x^s}-\Gamma^n_{pq}T^r \dfrac{\partial x^p \partial x^q}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}$

De manera que creo que sigo teniendo un buen "cacao" mental. ¿cómo puedo salir de el?

Saludos y gracias

[Richard R Richard]

Revisa índices, en primera medida no se pueden mezclar los súper índices con los subíndices , digamos que cada termino debe tener las mismas unidades, con la i y la k tienes algún gazapo.
Lo que estas observando como bien apuntas es a aplicar la regla de la derivada de un producto, la regla de la cadena, y algo de álgebra para reordenar, luego aplicar la definición de cada termino para reconocer la derivada covariante, pero como dije revisa los índices quizá te sale sin mucha mas ayuda.
Mi experiencia es mucho lápiz y papel , con un buen café y musica tranquila.
Si te trabas, vuelve al punto donde todo lo tienes comprendido, hazte un resumen de formulas e identidades que te serán útiles a futuro.
Nota que a veces el mismo nombre de subíndice es usado , pero como el desarrollo viene representando otra cosa , le cambian de nombre(letra) y usan si la forma matemática con otro conjunto de índices, pero si reemplazas literalmente te llevan a resultados farragosos y encima equivocados , paciencia, ..o publica paso a paso, se que es tedioso , pero creo que es la forma en que podemos acabar ayudándose.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta, veamos a ver si poco a poco voy ordenando las cosas.

....Bien, partiendo de la expresión $\bar T_i=\dfrac{\partial x^r}{\partial\bar x^i}T_r$, se trata de calcular la derivada de este producto, que aplicando el teorema de la derivada del producto me sale;
$\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}=\left(\dfrac{\partial x^r \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial x^s}+T_r \dfrac{\partial^2 x^r}{\partial x^s \partial x^i} \right)+\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}$

Esto, por lo pronto ya esta mal. debiera haber escrito;
$\dfrac{\partial \bar T^i}{\partial \bar x^k}=\left(\dfrac{\partial x^r \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial x^s}+T_r \dfrac{\partial^2 x^r}{\partial x^s \partial \bar x^i} \right) \dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}$. Eso ya es un gazapo.

[inakigarber]

..Nota que a veces el mismo nombre de subíndice es usado , pero como el desarrollo viene representando otra cosa , le cambian de nombre(letra) y usan si la forma matemática con otro conjunto de índices, pero si reemplazas literalmente te llevan a resultados farragosos y encima equivocados , paciencia, ..o publica paso a paso, se que es tedioso , pero creo que es la forma en que podemos acabar ayudándose.

Pues allá vamos;
Empiezo por
$\bar T_i=\dfrac{\partial x^r}{\partial \bar x^i}T_r$
$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}=\dfrac{\partial}{\partial \bar x^k}\left(\dfrac{\partial x^r}{\partial \bar x^k}T_r \right)$
$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}=\dfrac{\partial}{\partial x^s}\left(\dfrac{\partial x^r}{\partial \bar x^i}T_r \right)\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}$
$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}=\left(\dfrac{\partial x^r \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial x^s}+T_r \dfrac{\partial ^2 x^r}{\partial \bar x^i \partial x^s}\right)\dfrac{\partial x^s}{\partial \bar x^k}$
$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}=\dfrac{\partial x^r \partial T_r \partial x^s}{\partial \bar x^i \partial x^s \partial \bar x^k}+T_r \dfrac{\partial ^2 x^r}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}$

En este caso los dos términos $\dfrac{\partial x^s}{\partial x^s}$ del segundo sumando se anulan. A partir de aquí y considerando uno de los resultados del anteriormente mencionado post tendremos;
$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}=\dfrac{\partial x^r \partial x^s \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k \partial x^s}+\bar \Gamma^n_{ik}T_r\dfrac{\partial x^r}{\partial \bar x^n}-\Gamma^r_{pq}\dfrac{\partial x^p \partial x^q}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}$

Despejando;
$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}-\bar \Gamma^n_{ik}T_r\dfrac{\partial x^r}{\partial \bar x^n}=\dfrac{\partial x^r \partial x^s \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k \partial x^s}-\Gamma^r_{pq}\dfrac{\partial x^p \partial x^q}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}T_r$
Por la definición de tensor contravariante nos quedaría;

$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}-\bar \Gamma^n_{ik}\bar T_n=\dfrac{\partial x^r \partial x^s \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k \partial x^s}-\Gamma^r_{pq}\dfrac{\partial x^p \partial x^q}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}T_r$
Pero este no es el resultado a que quisiera llegar, por tanto o me he equivocado en algo o me falta algún paso adicional.

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

He marcado algunos gazapos de notación, que luego no arrastras así que solo lo marco para editarlo.

La segunda fórmula debería ser

$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}=\dfrac{\partial}{\partial \bar x^k}\left(\dfrac{\partial x^r}{\partial \bar x^{\mathbf{(i)}}}T_r \right)$


luego aplicas la formula 5 del hilo citado

$\dfrac{\partial^2x^m }{\partial \bar x^j\partial\bar x^k}=\bar \Gamma_{jk}^n \dfrac{\partial x^m}{\partial \bar x^n}-\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^j}\,\dfrac{\partial x^q}{\partial \bar x^k}\,\Gamma_{pq}^m$

Acá es donde te digo que hay que prestar atención a como convertir la formula en la que necesitamos respetando los nombres

para mi debe ser (no estoy mirando lo que expones para evitar confusión y notar diferencias si es el caso)

$\dfrac{\partial^2x^r }{\partial \bar x^i\partial\bar x^k}=\bar \Gamma_{ik}^n \dfrac{\partial x^r}{\partial \bar x^n}-\dfrac{\partial x^p}{\partial\bar x^i}\,\dfrac{\partial x^q}{\partial \bar x^k}\,\Gamma_{pq}^r$


veo que la primera fórmula de tu segundo bloque

$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}=\dfrac{\partial x^r \partial x^s \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k \partial x^s}+\bar \Gamma^n_{ik}T_r\dfrac{\partial x^r}{\partial \bar x^n}-\Gamma^r_{pq}\dfrac{\partial x^p \partial x^q}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}$

debería ser

$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}=\dfrac{\partial x^r \partial x^s \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k \partial x^s}+\bar \Gamma^n_{ik}T_r\dfrac{\partial x^r}{\partial \bar x^n}-\Gamma^r_{pq}\dfrac{\partial x^p \partial x^q}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}T_r$

Tampoco arrastras el error a la siguiente formula solo son gazapos ortograficos al pasarlos en PC.

llegas a que

$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}-\bar \Gamma^n_{ik}T_r\dfrac{\partial x^r}{\partial \bar x^n}=\dfrac{\partial x^r \partial x^s \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k \partial x^s}-\Gamma^r_{pq}\dfrac{\partial x^p \partial x^q}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}T_r<br /> <br />$

aplicando la

$$\bar T^i=\dfrac{\partial \bar x^i}{\partial x^r} T^r$$

llegas a que

$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}-\bar \Gamma^n_{ik}\bar T_n=\dfrac{\partial x^r \partial x^s \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k \partial x^s}-\Gamma^r_{pq}\dfrac{\partial x^p \partial x^q}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}T_r$

aca viene lo critico renombrar indices en el ultimo termino

tienes tres indices dummy es decir se repiten todos no importa como se llamen

todo lo que era r lo renombras n
todo lo que era p lo renombras r
todo lo que era q lo renombras s

de $\Gamma^r_{pq}\dfrac{\partial x^p \partial x^q}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}T_r$ a $\Gamma^n_{rs}\dfrac{\partial x^r \partial x^s}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}T_n$

quedando

$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}-\bar \Gamma^n_{ik}\bar T_n=\dfrac{\partial x^r \partial x^s \partial T_r}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k \partial x^s}-\Gamma^n_{rs}\dfrac{\partial x^r \partial x^s}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}T_n$

ahora sacas factor común

$\dfrac{\partial \bar T_i}{\partial \bar x^k}-\bar \Gamma^n_{ik}\bar T_n=\dfrac{\partial x^r \partial x^s}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}\left(\dfrac{\partial T_r}{ \partial x^s}-\Gamma^n_{rs}T_n\right )$

luego lo que esta entre parentesis es la derivada covariante , y como se ve que para transformarla es necesario solo multiplicar por las derivadas de las componentes, es decir transforma como un tensor del mismo modo que la definición 6...

[Richard R Richard]

Cuando haces una multiplicación de componentes y a su vez una sumación de Einstein da lo mismo nombrar los términos con uno u otro índice. Da lo mismo
$a_ib^i$ que $a_qb^q$

Ambas llevan al mismo resultado , mientras la operación se efectúe en todos los valores posibles de cada índice, es decir podemos renombrar $i$ por $q$ o por cualquier otro nombre de índice.

A la vez es posible cualquier reordenación de términos y tomar factor común.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta y por tu tiempo.

A pesar de que fui cuidadoso con la edición se me colaron errores en los índices y subíndices, en adelante deberé ser más cuidadoso.

….
aca viene lo critico renombrar indices en el ultimo termino

tienes tres indices dummy es decir se repiten todos no importa como se llamen

todo lo que era r lo renombras n
todo lo que era p lo renombras r
todo lo que era q lo renombras s

de $\Gamma^r_{pq}\dfrac{\partial x^p \partial x^q}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}T_r$ a $\Gamma^n_{rs}\dfrac{\partial x^r \partial x^s}{\partial \bar x^i \partial \bar x^k}T_n$

quedando

Este es el punto central, o uno de ellos, que no habia entendido bien. Por lo que entiendo, cuando en un sumando tengo uno o varios índices repetidos (dummy), los puedo renombrar siempre y cuando lo haga sobre ambos y siempre y cuando el nuevo nombre no coincida con el de otro (o otros) del mismo sumando. Este era también un punto importante en el hilo que abrí anterior a este.

[Richard R Richard]

A ha! Si, si , vas por la buena senda.... Presta atención a que si siempre hay un sub y supra índice con el mismo nombre en el mismo término, para que haya sumacion , en un espacio 3+1 resultan en la suma de 4 multiplicaciones que mantienen el resto de las variables constantes.
Si tienes 2 índices dummy es una suma de 16 componentes y con tres de 64 términos, en la mayoría de las métricas son casi todos triviales, pero los que no son , esos hacen que todo esto sea funcional, asombroso y espeluznantemente preciso.
Si solo quieres ver el lado teórico, no hay cosas mas complejas que estas, pero si quieres ir a lo práctico, para que co...sirve eso, es lo mas entretenido.
Reordenar algebraicamente a gusto y piachere te lleva a altos grados de abstracción pero que no son imposibles, y los que trabajan o estudian todos los días, supongo se les hace tan familiar, como las ecuaciones de la cinemática y dinámica newtoniana.
Hoy por hoy los ordenadores facilitan y reducen los errores que cometemos al intentar a mano con lápiz y papel.
Con cada métrica el calculo derivadas, tensores, símbolos de Christofell, lo haces una única vez, luego todo de reduce a reemplazar valores de de mediciones , para predecir los valores de otras variables ,modelizando espacios, campos, trayectorias geodésicas en fin que te diviertas si lo intentas.

Ya lo hice con los espacios de las métricas de FRLW y Schwarzchid , que se llega con relativa facilidad, comparado con Kerr que es la 3 vez que la empiezo, y dudo que la presente alguna vez en blog ,creo que si entra va a ir en un largo PDF.

[inakigarber]

....Si solo quieres ver el lado teórico, no hay cosas mas complejas que estas, pero si quieres ir a lo práctico, para que co...sirve eso, es lo mas entretenido.
Reordenar algebraicamente a gusto y piachere te lleva a altos grados de abstracción pero que no son imposibles, y los que trabajan o estudian todos los días, supongo se les hace tan familiar, como las ecuaciones de la cinemática y dinámica newtoniana.
...

Me gustaría ir al lado práctico, pero de momento no veo como hacerlo posible.

[Richard R Richard]

Paciencia todo ese tocho es para demostrar que la derivada común de un tensor no transforma como tensor pero si usas la derivada covariante si. Porque no solo varían las coordenadas en los espacios sino también la base de vectores que usas como unidad para medir coordenadas, cuando derivas el producto te salen unos términos adicionales, cuya notación se resume en los Christoffel...
Paciencia, persevera, un día veras que los cabos se atan solos.