2o ciclo Curvatura en la metrica Schwarzschid

[gaudius]

Sé como se calcula la curvatura de un modelo homogeneo e isotropo en la metrica Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker y como evoluciona con el tiempo.
Pero no se me ocurre como puedo calcular la curvatura de un punto en la metrica de Schwarschild. ¿Esta curvatura es un escalar o un tensor? ¿Desarrollo el tensor
de Ricci y calculo el escalar de Ricci para esta metrica y aplico la ecuacion de Einstein con el tensor energia-momento = 0 y espero que alguna de las ecuaciones que resultan tenga dimensiones 1/L^2?

[Weip]

Hola gaudius.

¿Esta curvatura es un escalar o un tensor?

Bueno, eso depende de qué quieras calcular. El objeto que corresponde con la idea intuitiva de curvatura es el tensor de Riemann. Para calcularlo tendrás que obtener los símbolos de Christoffel a partir de la métrica con la fórmula habitual y a partir de ahí ya se puede calcular el tensor (puedes ver la expresión en el siguiente link, en el apartado Coordinate expression: https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_curvature_tensor).

A parte tienes otros objetos que tienen información sobre la curvatura como el tensor de Ricci o la curvatura escalar, pero por lo que dices no estoy seguro de si es esto lo que quieres realmente.

[gaudius]

De la misma manera que en la metrica FLRW asignamos una misma curvatura [1/L^2] a cada punto del espaciotiempo, me gustaria asignar el mismo tipo de curvatura [1/L^2] a cada punto del espaciotiempo en la metrica de Schwarzschild.
Deberia ser función de la masa y el radio y deberia ser = 0 para r = infinito y deberia tener un valor particular para el radio de Schwarzschild.

[sater]

Buenas.

A diferencia de los modelos cosmológicos, que tienen curvatura constante en la parte espacial, la solución de Schwarzschild no. Además, al ser Ricci-plana (surge de resolver $R_{\mu\nu}=0$ no puedes utilizar el tensor de Ricci ni el escalar (su contracción) para hacerte una idea de la curvatura (aunque realmente la curvatura viene codificada en el tensor de Riemann como te dice Weip). Lo que se suele calcular es el invariante de Kretschmann $R_{\mu\nu\rho\lambda} R^{\mu\nu\rho\lambda}=48M^2/r^6$, que es lo que convenció a los físicos de que el horizonte de sucesos no tenía nada de singular (era una singularidad de coordenadas) a diferencia de la singularidad en el centro del agujero negro (que es una singularidad física).

[gaudius]

Gracias Sater y Weip. Muy bien. Este invariante de curvatura de Kretchsmann tiene dimensiones [1/L^4] y en el caso del sistema Sol-Tierra tiene un valor de
K=9.19 10^-60 1/m^4. ¿La raiz cuadrada de K podria equipararse a una curvatura de Gauss [1/L^2]?

[sater]

Buenas de nuevo.

El problema es que no puedes querer una curvatura de Gauss para un caso con 4 dimensiones. En general, la curvatura está codificada en el tensor de Riemann. Este tensor tiene muchas propiedades de simetría entre sus índices, lo que hace que en dimensión $N$ solo tenga $\dfrac{1}{12} N^2 (N^2-1)$ componentes independientes. Desglosemos por dimensiones:
- En una dimensión es idénticamente nulo. No se puede definir curvatura (intrínseca) para una dimensión.
- En dos dimensiones, tiene una única componente. Por eso para superficies bidimensionales nos bastaba con la curvatura de Gauss, que es un escalar. En concreto, se relacionan como $K=-R_{1212}/g$, con $R_{1212}$ la única componente independiente del tensor (el resto están relacionadas con esta por simetrías y son iguales) y $g$ el determinante de la métrica.
- En tres dimensiones, ya se tienen seis componentes independientes. Para variedades tridimensionales no te puedes contentar con la curvatura de Gauss. Al coincidir con el número de componentes independientes del tensor de Ricci, resulta que se pueden relacionar.
- En cuatro dimensiones, tiene veinte componentes independientes. De nuevo, no puedes contentarte con un único número para entender la curvatura.

Y la pregunta sería, ¿por qué en cosmología sí? Eso es porque hacemos que la parte espacial de la métrica $g_{ij}$ sea máximamente simétrica. Es decir, tenga el mayor número de simetrías que un espacio de dimensión 3 puede tener, que son 6. En tal caso, como comentaba antes, el tensor de curvatura tiene precisamente seis componentes independientes, y resulta que se puede escribir en términos de la métrica como:

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}=\kappa(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}-g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu})$$

donde

$$\kappa=\dfrac{R}{6}$$

da una idea de la curvatura del espacio. Por eso en general, en relatividad general, al hablar de curvatura se utiliza el tensor de Riemann, y no la curvatura de Gauss.

Como apunte interesante al desglose anterior, se puede ver porqué son necesarias 4 dimensiones para estudiar la gravedad:
- En una dimensión no hay curvatura, ergo no hay gravedad.
- En 2 dimensiones el tensor de Einstein $G_{\mu\nu}$ es idénticamente nulo (y esto es una propiedad también topológica debido a que el lagrangiano de Einstein Hilbert es la característica de euler en dimensión 2, que es constante luego no puede dar lugar a ecuaciones dinámicas mediante ecuaciones de Euler Lagrange).
- En 3 dimensiones, dado que las ecuaciones de Einstein te dicen que si el tensor energía momento es nulo, el de Ricci también, y se puede escribir el tensor de Riemann completamente en términos del tensor de Ricci, las soluciones Ricci planas (como el exterior de estrellas, o los agujeros negros) tendrían tensor de Riemann nulo, lo que no tiene sentido si esperamos que haya curvatura (=gravedad). Por otro lado, tampoco podríamos tener ondas gravitatorias.
- Es en 4 dimensiones cuando se tiene la suficiente libertad para que los anteriores problemas no afecten al Riemann y demos cabida a todos los fenómenos gravitatorios que conocemos.

Un saludo.

[Alriga]

Gracias sater

... En tres dimensiones, ya se tienen seis componentes independientes. Para variedades tridimensionales no te puedes contentar con la curvatura de Gauss. Al coincidir con el número de componentes independientes del tensor de Ricci, resulta que se pueden relacionar.

Y la pregunta sería, ¿por qué en cosmología sí? Eso es porque hacemos que la parte espacial de la métrica $g_{ij}$ sea máximamente simétrica. Es decir, tenga el mayor número de simetrías que un espacio de dimensión 3 puede tener, que son 6 ...

Entiendo que 3 son las que impone la restricción de homogeneidad (3 simetrías traslacionales en cada una de las direcciones de cada uno de los 3 ejes) y las otras 3 son las que impone la restricción de isotropía (3 simetrías rotacionales alrededor de cada uno de los 3 ejes)

... tenga el mayor número de simetrías que un espacio de dimensión 3 puede tener, que son 6. En tal caso, como comentaba antes, el tensor de curvatura tiene precisamente seis componentes independientes, y resulta que se puede escribir en términos de la métrica como:

$$R_{\rho\sigma\mu\nu}=\kappa(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu}-g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu})$$

donde

$$\kappa=\dfrac{R}{6}$$

da una idea de la curvatura del espacio. Por eso en general, en relatividad general, al hablar de curvatura se utiliza el tensor de Riemann, y no la curvatura de Gauss ...

¿Esa kappa $\boldsymbol{\kappa}$ es numéricamente la misma que aparece en la Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker? Que con el convenio c=1 se escribe:

$$\mathrm{d}s^2 = -\mathrm{d}t^2 + {a(t)}^2 \left( \dfrac{\mathrm{d}r^2}{1-\boldsymbol{\kappa} r^2} + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2 \right)$$

$$\boldsymbol{\kappa} = H_0^2 \ \big ( \Omega_0 - 1 \big )$$

En la expresión (2) $\boldsymbol{\kappa}=\dfrac{R}{6}$

¿qué es "R"? ¿Es la Curvatura Escalar de Ricci?

Saludos.

[sater]

Buenas Alriga.

Sí a todo lo que has dicho :P Por complementar, lo de tres traslaciones y tres rotaciones independientes es válido por la signatura de la métrica, que sería euclídea. Con signatura lorentziana algunas rotaciones serían "boosts".

Un saludo.

[gaudius]

Gracias Sater. Muy buena explicacion. Pero no veo bien como se deduce la relacion k= R/6 en la metrica FLRW.

[sater]

Gracias Sater. Muy buena explicacion. Pero no veo bien como se deduce la relacion k= R/6 en la metrica FLRW.

Se trata de ir contrayendo índices.

Cambiando el convenio al que estoy acostumbrado (el que puse antes es del libro de Carroll), se tiene que:

$$R_{\mu\nu\rho\lambda}=\kappa(g_{\mu\lambda}g_{\nu\rho}-g_{\mu\rho}g_{\nu\lambda})$$

(cambia el menos respecto al anterior, eso es porque también voy a definir la contracción del Riemann para dar el Ricci de otra manera).

Por definición,$R_{\mu\rho}=R_{\mu\nu\rho}\:^{\nu}=R_{\mu\nu\rho\lambda}g^{\lambda\nu}$. Multiplicando la expresión anterior por $g^{\lambda\nu}$ y usando que $g_{\nu\rho}g^{\lambda\nu}=\delta_{\rho}^{\lambda}$ y que $g_{\nu\lambda} g^{\nu\lambda}=\delta_{\lambda}^{\lambda}=3$ (por ser dimensión 3, en general sino igual a N) queda que:

$$R_{\mu\rho}=-2\kappa g_{\mu\rho}$$

Por definición de nuevo, $R=R_{\mu}^{\mu}=R_{\mu\rho}g^{\mu\rho}$, luego multiplicando lo anterior por $g^{\mu\rho}$ y contrayendo las métricas como antes, queda que:

$$R=-6\kappa$$

Si no se entiende algún paso me dices =)

[carroza]

Por definición,$R_{\mu\rho}=R_{\mu\nu\rho}\:^{\nu}=R_{\mu\nu\rho\lambda}g^{\lambda\nu}$. Multiplicando la expresión anterior por $g^{\lambda\nu}$ y usando que $g_{\nu\rho}g^{\lambda\nu}=\delta_{\rho}^{\lambda}$ y que $g_{\nu\lambda} g^{\nu\lambda}=\delta_{\lambda}^{\lambda}=3$ (por ser dimensión 3, en general sino igual a N) queda que:

$$R_{\mu\rho}=-2\kappa g_{\mu\rho}$$

Por definición de nuevo, $R=R_{\mu}^{\mu}=R_{\mu\rho}g^{\mu\rho}$, luego multiplicando lo anterior por $g^{\mu\rho}$ y contrayendo las métricas como antes, queda que:

$$R=-6\kappa$$

Me he perdido. Estamos en 4 dimensiones (3+1)? En ese caso, $g_{\nu\lambda} g^{\nu\lambda}=\delta_{\lambda}^{\lambda}=4$, no? Los indices griegos suelen ir de 1 a 4, entiendo.

[sater]

Me he perdido. Estamos en 4 dimensiones (3+1)? En ese caso, $g_{\nu\lambda} g^{\nu\lambda}=\delta_{\lambda}^{\lambda}=4$, no? Los indices griegos suelen ir de 1 a 4, entiendo.

Buenas Carroza.

Lo hice para 3 dimensiones, puesto que en los modelos cosmológicos se impone métrica máximamente simétrica para coordenadas espaciales, dejando el tiempo aparte. Quizá quedaría más claro si hubiera usado como índices letras latinas.

[carroza]

Gracias, Sater.

Y ya por curiosidad, cual sería la curvatura escalar R en cuatro dimensiones (3+1), en la métrica FLRW?

[sater]

Vaya por delante que yo de cosmología sé poquito (seguramente Alriga o Jaime Rudas te sepan decir más), en los pocos cursos de relatividad general que he recibido nos centrábamos más en otras cosas...

La curvatura escalar R para una métrica FLRW tiene esta expresión:

$$R=6\left[\dfrac{\ddot{a}}{a}+\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2+\dfrac{k}{a^2}\right]$$

donde $a(t)$ es el factor de escala, y $k$ es un parámetro de curvatura relacionado con el expuesto antes, introducido para que el factor de escala sea adimensional (saco las expresiones del Carroll). Esto es puramente cinemático, ahora tocaría resolver las ecs. de Einstein para un determinado tensor energía momento antes de poder decir nada acerca del factor de escala. Nota que $k$ está relacionado con el escalar de Ricci de la 3-subvariedad, no con éste.

[carroza]

Hola. Metiendo algo de relatividad general, la curvatura escalar (siempre en D= 4=3+1) dimensiones, puede obtenerse contrayendo las ecuaciones de Einstein https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_field_equations
para dar $R - (D/2) R + D \Lambda = {4 \pi G \over c^4} T$,

donde $T = g^{\mu \nu} T_{\mu \nu}$ es el escalar asociado al tensor energía-impulso. Este tensor, para un fluido ideal, viene dado en función de la densidad y la presión por $T = 3 P - \rho c^2$ . Con esto nos queda,para D=4,

$R = 4 \Lambda -{4 \pi G \over c^4} (3 P - \rho c^2)$

Entiendo que a partir de esta expresión se podrá interpretar el efecto de la densidad de materia, produciendo un tipo de curvatura, mientras que la energía oscura, o la constante cosmológica, produce otro. Pero esto quizás nos lo deban explicar expertos en Relatividad General.

Ps: Posiblemente esté mezclando diferentes convenios de signo, asi que no estoy seguro de la expresión. Agradecería correcciones.