Curvatura en la metrica Schwarzschid

[gaudius]

Leer este .PDF. Explica como se calculan las curvaturas desde el tensor de Riemann en la metrica FLRW. Me ha parecido interesante.

The R-W Metric Has No Constant Curvature When Scalar Factor R(t) Changes with Time.pdf

Para la metrica de Schwarschild, estas son los 24 terminos non-cero del tensor de Riemann de segundo orden.
Ahora falta por saber como se deducen curvaturas de este tensor. Quizas el anterior .PDF ayude.

****No puedo adjuntar una segunda imagen****

[Richard R Richard]

Las tienes aquí también en LWDF en https://forum.lawebdefisica.com/blog...s-de-friedmann

[gaudius]

Parece que, siguiendo el desarrollo de Xiaojun Mei, hay 6 curvaturas en la metrica FLRW.
3 correspondientes a tiempo-espacio iguales:

$\dst{K_{01}=K_{02}=K_{03}=\frac {-\ddot a} {c^2 \; a}}$

y 3 correspondientes a espacio-espacio iguales:

$\dst{K_{12}=K_{13}=K_{23}=\frac{\kappa c^2 - \dot a^2}{c^2\; a^2}}$

Y

$\dst{K_{\alpha \beta }=\frac {R_{\alpha \beta \sigma \rho }}{g_{\alpha \sigma } g_{\beta \rho }-g_{\sigma \beta} g_{\alpha \rho }}}$

$\dst{g_{00}=-c^2}$

$\dst{g_{11}=\frac {a^2}{1-\kappa r^2}}$

$\dst{g_{22}=a^2\;r^2}$

$\dst{g_{33}=a^2\;r^2\;sen^2\theta }$

$\dst{R_{0101}=\frac{a\;\ddot a}{1-\kappa r^2}}$

$\dst{R_{0202}=a\;\ddot a\;r^2}$

$\dst{R_{0303}=a\;\ddot a\;r^2\;sen^2\theta }$

$\dst{R_{1212}=\frac{a^2\;r^2 (\kappa c^2-\dot a^2)}{c^2(1-\kappa r^2)}}$

$\dst{R_{1313}=\frac{a^2\;r^2\;sen^2\theta \; (\kappa c^2-\dot a^2)}{c^2(1-\kappa r^2)}}$

$\dst{R_{2323}=\frac{a^2\;r^4\;sen^2\theta \;(\kappa c^2-\dot a^2)}{c^2}}$

Y parece que el escalar de Ricci es un sumatorio de estas 2 curvaturas:

$\dst{R=\frac{6}{a^2\;c^2}(\ddot a\;a+\dot a^2+\kappa c^2)}$

¿Y si siguieramos el mismo procedimiento con los datos de la metrica de Schwarzschild?

[Richard R Richard]

¿Y si siguieramos el mismo procedimiento con los datos de la metrica de Schwarzschild?

Llegaras también a obtener, las componentes de la métrica, los componentes no triviales del tensor de Riemman, y si lo contraes aplicando la métrica en el proceso, (no es una sumatoria común y cualquiera) obtienes el escalar de Ricci... Siempre me embarco en postear el desarrollo, uno propio no una copia de las que hay miles, pero nunca termino, lo dejo por allí y para seguirle el hilo se me hace imposible, y vuelvo a foja cero... and again and again.....

[gaudius]

Repitiendo el mismo procedimiento que para la metrica FLRW pero con la metrica de Schwarzschild.(Es un calculo bastante complejo, laborioso y delicado).

$\dst{K_{01}=K_{23}=\frac {2\;G\;M} {c^2 \; r^3}}$

$\dst{K_{02}=K_{03}=K_{12}=K_{13}=\frac {-G\;M} {c^2 \; r^3}}$

Y el Tensor de Ricci = 0 y el escalar de Ricci = 0.

$\dst{K_{01}+K_{02}+K_{03}+K_{12}+K_{13}+K_{23}=0}$

Y

$\dst{K_{\alpha \beta }=\frac {R_{\alpha \beta \sigma \rho }}{g_{\alpha \sigma } g_{\beta \rho }-g_{\sigma \beta} g_{\alpha \rho }}}$

$\dst{g_{00}=-c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})}$

$\dst{g_{11}=(1-\frac{2GM}{rc^2})^{-1}}$

$\dst{g_{22}=r^2}$

$\dst{g_{33}=r^2\;sen^2\theta }$

$\dst{R_{0101}=\frac{-2\;G\;M}{r^3}}$

$\dst{R_{0202}=\frac{G\;M\;(c^2\;r-2\;G\;M)}{c^2\;r^2}}$

$\dst{R_{0303}=\frac{G\;M\;(c^2\;r-2\;G\;M)\;sen^2 \theta }{c^2\;r^2}}$

$\dst{R_{1212}=\frac{G\;M}{2\;G\;M-c^2\;r}}$

$\dst{R_{1313}=\frac{G\;M\;sen^2 \theta }{2\;G\;M-c^2\;r}}$

$\dst{R_{2323}=\frac{2\;G\;M\;r\;sen^2 \theta }{c^2}}$

[sater]

Buenas Gaudius. No sé bien qué estás haciendo. Esta expresión $\dst{K_{\alpha \beta }=\frac {R_{\alpha \beta \sigma \rho }}{g_{\alpha \sigma } g_{\beta \rho }-g_{\sigma \beta} g_{\alpha \rho }}}$ es tan dolorosa visualmente como dividir dos vectores, para que nos entendamos. No se pueden dividir tensores, por mucho que tecnicamente estés dividiendo números al ser sus componentes. Si te fijas, en el paper no divide tensores (i.e., no hay índices libres) puesto que contrae tanto el Riemann como las métricas. Por eso $K$ se queda sin índices, como todo buen escalar.

Edito: ups, más adelante sí. Sinceramente, no sé qué hace en el paper pero no pinta muy bien... El tal institute of innovative physics no sale en una busca rápida en google, así que no sé si es muy fiable.

[gaudius]

Solo me he fijado desde las ecuaciones (21) a (24).
El resto no me interesa particularmente. Pero es
curioso como la suma de estas curvaturas parciales dan el escalar de Ricci.

[Richard R Richard]

Fijate que para pasar del tensor de Riemann , al tensor de ricci, hay que contraerlo,

$R_{ij}=R^m_{imj}= R^0_{i0j}+ R^1_{i1j}+ R^2_{i2j}+ R^3_{i3j}$

debes identificar el superíndice, pero por lo general, todos los términos del tensor tienen el mismo denominador.

o bien puedes calcularlo en función de los símbolos de Christoffel

$R_{ij}=R_{imj}^m=g^{ml}R_{imjl}=\partial_i\Gamma^l_{lj}-\partial_l\Gamma^l_{ij}+\Gamma^l_{im} \Gamma^m_{lj}-\Gamma^l_{ij} \Gamma^m_{ml}$

[gaudius]

El paper es tanto fiable en el fragmento que va de las formulas (21) a (24) en cuanto que para la metrica FLRW:

$\dst{K_{01}+K_{02}+K_{03}+K_{12}+K_{13}+K_{23}=\frac {1}{2}R}$

(Aqui, deben faltar K_10, K_20, etc)(R es el escalar de Ricci)

Y para la metrica de Schwarzschild:

$\dst{K_{01}+K_{02}+K_{03}+K_{12}+K_{13}+K_{23}=0=R}$

(Y el Tensor de Ricci tambien es igual a 0 en todos sus terminos)

[sater]

$R = 4 \Lambda -{4 \pi G \over c^4} (3 P - \rho c^2)$

Entiendo que a partir de esta expresión se podrá interpretar el efecto de la densidad de materia, produciendo un tipo de curvatura, mientras que la energía oscura, o la constante cosmológica, produce otro. Pero esto quizás nos lo deban explicar expertos en Relatividad General.

Buenas Carroza. He estado releyendo un poquito mis apuntes de cosmología, y diría que esta ecuación no te sirve de mucho, porque R es para toda la variedad y $\kappa$ solo para la 3-variedad a t=cte, que es de quien nos interesa la curvatura. La mejor relación para estudiar la curvatura sería la aportada por Alriga , entre $\Omega$ y $\kappa$, y ya $\Omega$ medirla experimentalmente.

[carroza]

Sater, no quedamos en que $\kappa = R/6$ ?

Saludos

[sater]

Sater, no quedamos en que $\kappa = R/6$ ?

Saludos

Pero como te dije en algún mensaje anterior, eso es para el escalar de Ricci de la subvariedad a t constante. A veces se denota como $\:^{(3)}R$ para distinguirlo. El que tu has puesto es para todo el espaciotiempo. Se pueden relacionar, pero creo que se diluiría ya esa visión tan clara de $\Lambda$ hace una cosa, $p,\rho$ otra cosa...

[carroza]

ok, ok. Perdon por la confusion.

[gaudius]

No veo por ninguna parte:

$\dst{\kappa = \frac{R}{6}}$

Lo que si veo es:

$\dst{R=\frac {R_{\alpha \beta \sigma \rho }}{g_{\alpha \sigma } g_{\beta \rho }-g_{\sigma \beta} g_{\alpha \rho }}}$

Cuando sumamos todos los terminos espacio-tiempo tanto en la metrica FLRW como en la metrica de Schwarschild.
Pero si sumamos solo los terminos espaciales, la suma no es $\dst{6 \kappa}$ en FLRW.
Si entiendo lo que dice Sater 'Esto nos da una idea de curvatura'.
Y tambien:

$\dst{\kappa (\alpha \beta )=\frac {R_{\alpha \beta \sigma \rho }}{g_{\alpha \sigma } g_{\beta \rho }-g_{\sigma \beta} g_{\alpha \rho }}}$

[sater]

Si calculases el escalar de Ricci asociado a la parte espacial verías que te queda 6k, Gaudius.

[gaudius]

Si.Ok Sater. Si en la metrica FLRW, del escalar de Ricci, eliminamos los terminos que son
funcion del tiempo, nos queda:

$\dst{R=\frac {1}{a^2 c^2}(6 \ddot a a+6 \dot a^2+6 \kappa c^2)}$

$\dst{^{(3)}R=\frac {6 \kappa}{a^2}}$

Y en la metrica de Schwarzschild, el escalar de Ricci = 0, la suma de las
curvaturas parciales = 0, pero hay curvaturas parciales que no son = 0.

Pero no creo que esto sea una demostracion. Esto debe derivvar del tensor de Riemann.

[sater]

Si.Ok Sater. Si en la metrica FLRW, del escalar de Ricci, eliminamos los terminos que son
funcion del tiempo, nos queda:

$\dst{R=\frac {1}{a^2 c^2}(6 \ddot a a+6 \dot a^2+6 \kappa c^2)}$

$\dst{^{(3)}R=\frac {6 \kappa}{a^2}}$

Y en la metrica de Schwarzschild, el escalar de Ricci = 0, la suma de las
curvaturas parciales = 0, pero hay curvaturas parciales que no son = 0.

Pero no creo que esto sea una demostracion. Esto debe derivvar del tensor de Riemann.

No se trata de eliminar los términos que dependan del tiempo. El escalar de Ricci se deriva como:

$$R=R_{\mu\nu} g^{\mu\nu}$$

Fíjate que la métrica tiene los índices arriba, luego para contraer antes has de encontrar la métrica inversa. Restrinjámonos a la parte espacial. Usaré índices latinos. El escalar de Ricci es entonces:

$$\:^{(3)}R=\:^{(3)}R_{ij} \gamma^{ij}$$

donde $\:^{(3)}R_{ij}$ es el tensor de Ricci asociado a la restricción de la métrica $g_{\mu\nu}$ a hipersuperficies espaciales, que he denotado como $\gamma_{ij}$. Tendría la misma expresión de siempre que las relaciona (o que relaciona al ricci con los christoffels que se calculan a partir de la métrica), pero solo con la parte espacial de la métrica. Si te aburres, puedes comprobar que se cumple estrictamente que:

$$\:^{(3)}R=\:^{(3)}R_{ij} \gamma^{ij}=\:^{(3)}R_{11} \gamma^{11}+\:^{(3)}R_{22} \gamma^{22}+\:^{(3)}R_{33} \gamma^{33}=6\kappa$$

Y esto no es una casualidad, es una condición de consistencia, de que lo que hemos hecho (o hacen los físicos) al derivar la métrica de FLRW es consistente con suponer que sea máximamente simétrica. Precisamente es que se deriva usando esta condición, como puedes ver en los apuntes de Bert Janssen: https://www.ugr.es/~bjanssen/text/Be...dadGeneral.pdf por ejemplo (página 209).

pd: la métrica inversa se encuentra para hacer que el producto con la métrica original sea la delta de kronecker (la identidad). Basta con invertir cada término para que al multiplicarlos dé la unidad.