Campo eléctrico generado por una carga en movimiento relativista.

[inakigarber]

Buenas noches;
Planteo el siguiente problema. Supongamos una carga eléctrica situado a una distancia r, para un observador S en reposo situado a dicha distancia, el campo medido por dicho observador vendrá dado por $E=\dfrac{q}{r^3}\vec{r}$, donde las componentes del vector $\vec{r}$ son en coordenadas generalizadas $\vec{r}=(x_1,x_2,x_3)$. Imaginemos ahora otro observador inercial S' que se encuentra en el mismo lugar que S pero desplazándose a una velocidad V en el sentido de la coordenada $x_1$, este observador estará en en sistema de referencia barrado. De acuerdo con las transformaciones inversas de Lorentz obtendría $x_1 = \gamma \bar{x_1}$, $x_2=\bar{x_2}$ ,$x_3=\bar{x_3}$.
Al tratar de determinar el campo eléctrico en el sistema de referencia barrado $\bar{E}$ debo estar equivocado. Según el solucionario sale $\bar{E}=q\gamma \dfrac{\bar{r}}{(\gamma^2\bar{x_1}^2+\bar{x_2}^2+\bar{x_3}^2)^{(3/2)}}$. Sin embargo a mi no me sale.

Yo lo he planteado de esta manera. De acuerdo con las transformaciones directas de Lorentz en el sistema de referencia barrado tendríamos $\bar{r}=\sqrt{(\dfrac{x_1}{\gamma})^2+(x_2)^2+(x_3)^2}$. Las componentes del campo eléctrico en el sistema barrado serían (si no estoy equivocado) $\bar{E_1}=q\dfrac{\bar {x_1}}{\bar{r}^{(3/2)}}$, $\bar{E_2}=q\dfrac{x_2}{\bar{r}^{(3/2)}}$ y $\bar{E_3}=q\dfrac{x_3}{\bar{r}^{(3/2)}}$ dado que $x_2=\bar{x_2}$ y $x_3=\bar{x_3}$. A mi la solución que me sale es la siguiente;
$\bar{E}=q\dfrac{\sqrt{\bar{x_1^2}+\bar{x_2^2}+\bar{x_3^2}}}{{[(\dfrac{x_1}{\gamma})^2+(x_2)^2+(x_3)^2}]^{3/2}}$, pero esto no coincide con el resultado.

Saludos y gracias.

P.D. Aunque no lo menciona tal como yo lo he escrito, este post lo he abierto a partir de este blog, donde dice; "Estamos interesados en obtener el campo eléctrico generado por esta carga tal y como sería visto por un observador situado en un sistema de referencia S’ ...."

[carroza]

Hola, iñakigarber.

Fijate que tu estás suponiendo que si el campo eléctrico viene dado por una cierta función $\vec E = \vec f(\vec r)$, en un sistema determinado, al cambiar el sistema de referencia el nuevo campo eléctrico estará dado por $\vec{ E'} = \vec f(\vec{ r'})$. Es decir, cambias la expresión de la coordenada $\vec r$, usando transformaciones de Lorentz, pasando a $\vec{r'}$, pero no cambias la forma funcional de la función $\vec f$.

Esto no es correcto. La forma correcta de cambiar campos eléctrcos y magnéticos de sistema de referencia es tener en cuenta el tensor electromagnético https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor y aplicarle a este tensor las transformaciones de Lorentz.

Obtendrás que, mientras en el sistema inicial (en reposo con respecto a la carga) sólo hay campo eléctrico y no hay campo magnético, en el sistema final (en movimiento frente a la carga) hay tanto campo eléctrico como campo magnético. Además, es util considerar los invariantes, que hacen que, sea cual fuere la velocidad del sistema, se cumple que
$B^2 - E^2/c^2$ y $\vec B \cdot \vec E$ toman el mismo valor en cualquier sistema de referencia.

Saludos

[inakigarber]

Gracias por tú respuesta, hay una parte que entiendo y otra que no entiendo.

Esto no lo entiendo muy bien.

Hola, iñakigarber.

Fijate que tu estás suponiendo que si el campo eléctrico viene dado por una cierta función $\vec E = \vec f(\vec r)$, en un sistema determinado, al cambiar el sistema de referencia el nuevo campo eléctrico estará dado por $\vec{ E'} = \vec f(\vec{ r'})$. Es decir, cambias la expresión de la coordenada $\vec r$, usando transformaciones de Lorentz, pasando a $\vec{r'}$, pero no cambias la forma funcional de la función $\vec f$.

Esto no es correcto. La forma correcta de cambiar campos eléctrcos y magnéticos de sistema de referencia es tener en cuenta el tensor electromagnético https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor y aplicarle a este tensor las transformaciones de Lorentz.

Esto creo que lo entiendo mejor.

Hola, iñakigarber.
Obtendrás que, mientras en el sistema inicial (en reposo con respecto a la carga) sólo hay campo eléctrico y no hay campo magnético, en el sistema final (en movimiento frente a la carga) hay tanto campo eléctrico como campo magnético. Además, es util considerar los invariantes, que hacen que, sea cual fuere la velocidad del sistema, se cumple que
$B^2 - E^2/c^2$ y $\vec B \cdot \vec E$ toman el mismo valor en cualquier sistema de referencia.

Saludos

Bien, puesto que hay un sistema de referencia en el que $B=0$, y dado que en todo sistema de referencia el producto $E\cdot B$ es nulo. Esto solo puede tener la explicación de que los campos $E$ y $B$ son perpendiculares siempre.

Por otra parte, de la otra ecuación que propones;
$B^2 - E^2/c^2=\bar{B}^2 - \bar{E}^2/c^2$, como $B=0$ tendremos que $\dfrac{E^2}{c^2}=\dfrac{\bar{E}^2}{c^2}-\bar{B}^2$, de lo cual deduciríamos que $\bar{E}>E$, por tanto en el sistema en reposo los campos eléctricos y magnéticos tienen su valor mínimo (este último nulo).

[carroza]

Gracias por tú respuesta, hay una parte que entiendo y otra que no entiendo.

Esto no lo entiendo muy bien.

Bueno, te pongo un ejemplo. Imaginate dos sucesos, A y B. En un cierto sistema de referencia S, las coordenadas de A son $(\vec r_A= 0, t_A=0)$, y las de B son $(\vec r_B= \vec R, t_B=0)$. El intervalo, entre ambos sucesos, es $s^2 = (\vec r_A-\vec r_B)^2 - c^2 (t_A-t_B)^2$ . Por lo que sabemos de relatividad, el intervalo es invariante, y será el mismo en todos los sistemas de referencia. Si evaluamos este intervalo en el sistema S, obtendremos $s^2 = (\vec R)^2$ , y este resultado debe ser válido en cualquier sistema de referencia.

Ahora, imaginate que nos creemos la expresión $s^2 = (\vec R)^2$ , considerándola como una expresión general, en la que $\vec R$ puede cambiar de un sistema a otro según nos indica la contracción de Lorentz, dando lugar en un sistema S' a $\vec R'$, mientas que la forma funcional (el cuadrado de $\vec R$) permanece inalterada. Entonces llegaríamos a que, en el sistema de referencia S', se cumple que $s^2 = (\vec R')^2$ , lo cual es incorrecto, ya que el intervalo debe ser constante.

Esto es basicamente lo que tu has hecho con la expresión del campo eléctrico en función de la distancia. Has usado una expresión que sólo es válida para cargas en reposo, has mantenido la forma funcional ( $\vec R/R^3$), pero has cambiado $\vec R$ por $\vec R'$,

Saludos

[inakigarber]

Buenas noches,

Gracias por tu respuesta.

Voy a ver si voy aclarando algo.

En el sistema de referencia en reposo de la carga tengo un campo $E=(E_1,E_2,E_3)$ en sus componentes espaciales. El campo magnético es $B=0$, por lo que sus componentes $B_1,B_2$ y $B_3$ también lo son. En el sistema de referencia en movimiento respecto a la carga, tengo una carga en movimiento y por tanto un campo magnético $\bar{B} \neq {0}$. Por otra parte, las ecuaciones de transformación al pasar el campo de un sistema de referencia en reposo al sistema de referencia en movimiento son;
$\bar{E_1}=E_1$, $\bar{E_2}=\gamma (E_2-\beta B_3)$, $\bar{E_3}=\gamma (E_3+\beta B_2)$, puesto que todas las componentes de B son nulas, se me queda en;
$\bar{E_1}=E_1$, $\bar{E_2}=\gamma E_2$, $\bar{E_3}=\gamma E_3$
$\bar E=\sqrt{E_1^2+\gamma^2(E_2^2+E_3^2)}$, sabiendo que $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$. Para v=0 obtendremos que $E=\bar{E}$. Para v=c $\bar{E}=\infty$, siendo los componentes $\bar{E_2}$ y $\bar{E_3}$ los que se incrementarán hasta el infinito. el componente siempre será $\Bar{E_1}=E_1$.
Vuelvo a obtener que el campo eléctrico mínimo será el de la carga en reposo, siendo siempre mayor en el sistema de referencia en movimiento.

Creo que por aquí voy por buen camino, pero aún no lo tengo muy claro.

[inakigarber]

Buenas noches;
No termino de entender este párrafo.

Esto es basicamente lo que tu has hecho con la expresión del campo eléctrico en función de la distancia. Has usado una expresión que sólo es válida para cargas en reposo, has mantenido la forma funcional ( $\vec R/R^3$), pero has cambiado $\vec R$ por $\vec R'$,

Saludos

Me gustaría saber cual es la expresión que debiera haber utilizado. La forma como y lo entiendo es la que expuse en mi post anterior, ¿es eso correcto?

Saludos y gracias.

[carroza]

Me gustaría saber cual es la expresión que debiera haber utilizado. La forma como y lo entiendo es la que expuse en mi post anterior, ¿es eso correcto?

Tu post #5 es correcto. Puedes ver que el resultado no coincide con tu post #1, por las razones que intenté explicar, con poco éxito, en mi post #4.

Saludos

[inakigarber]

Tu post #5 es correcto. Puedes ver que el resultado no coincide con tu post #1, por las razones que intenté explicar, con poco éxito, en mi post #4.

Saludos

Gracias por tu ayuda, aún me quedan muchas cosas por comprender, creo que yo también estuve un poco espeso.

Muchas gracias.