Experimento mental. (problema de relatividad)

[alfreso69]

Supongamos una fuente de luz que emite un pulso de luz cada segundo. La fuente se mueve en línea recta a 4 km/s hacia un receptor que está situado a 24.000.000 km. ¿Qué tiempo mide el receptor entre pulsos de luz?.
He resuelto el problema utilizando la mecánica clásica y me sale que el tiempo que mide el receptor entre pulsos es de 0,99999 s. Alguien me puede ayudar en la resolución utilizando la teoría de la relatividad especial.

[teclado]

Sería bueno que hubieras acompañado el resultado con alguna referencia a los cálculos. Además, con una velocidad tan baja como 4 km/s tampoco es que sea evidente la diferencia con el resultado relativista.

Supongo que habrás llegado a algo como esto:

$\dst \Delta t'=\left (1-\frac{v}{c}\right ) \Delta t = 0,999986666667 \tt{s}$

Si no me equivoco, que puede ser, he planteado el caso relativista aplicando las transformaciones de Lorentz dos veces, una entre los sucesos: A, "el primer pulso parte de la fuente" y B, "el primer pulso llega al destino" y otra vez entre "el segundo pulso parte de la fuente" y "el segundo pulso llega al destino". Con esto transformo los intervalos de espacio y de tiempo entre estos pares de sucesos en cada sistema de referencia, y obtengo $\Delta t=\Delta t_B-\Delta t_A$ y $\Delta t'=\Delta t_B'-\Delta t_A'$ como la diferencia de los tiempos de cada par. El resultado es similar, pero afectado por un factor $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$:

$\dst \Delta t'=\frac{1-\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\Delta t = 0,999986666756 \tt{s}$

Como ves, la diferencia no aparece hasta el décimo decimal. Poniendo un ejemplo más ilustrativo, si la velocidad, en vez de 4 km/s fuese 40 000 km/s,

En el caso no relativista:

$\Delta t' = 0,866666666667 \tt{s}$

Y en el relativista:

$\Delta t' = 0,874474632195 \tt{s}$

[teclado]

Me corrijo, no hace falta tener en cuenta los pares de sucesos que he mencionado. Basta con aplicar las transformaciones de Lorentz a los dos eventos de emisión:

$\dst t_B-t_A=\frac{t_B'-t_A'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Y como en el caso no relativista se continúa con

$\dst \Delta t = \left (1-\frac{v}{c}\right ) \left (t_B-t_A\right )$

Con lo que se llega a

$\dst \Delta t = \frac{1-\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \Delta t'$

Siendo las variables con apóstrofo se refieren al sistema de referencia en movimiento y las que no lo tienen a aquel en el que se miden los pulsos, y los sucesos A y B respectivamente, el de emisión del primer pulso y el de emisión del segundo.

[alfreso69]

Adjunto archivo de como lo he resuelto. problema relat.pdf . No he tenido en cuenta que los intervalos de tiempo no son iguales para el emisor que para el receptor, para el emisor son de 1 seg y para el receptor ese seg se transformaría como muy bien has dicho aplicando las transformaciones de Lorentz.

[teclado]

Hola,

Creo que lo tienes bien; desde el punto de vista newtoniano. Sin embargo tengo que decir que no me parece buena práctica presentar un trabajo en el que sólo se han empleado valores numéricos. Se pierde contexto y matices, y dificulta la lectura al que se lo presentas, al que obligas a sacar la calculadora. Si no lo han hecho ya, te recomiendo el hilo siguiente:

https://forum.lawebdefisica.com/foru...n-los-mensajes

En el que se explica cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

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Dicho esto, para resolverlo (newtonianamente) solo tienes que llamar A y B a dos puntos consecutivos de la trayectoria en los que se emita un pulso.

Si el pulso A parte del emisor en el instante $t_A^{(0)}$ y llega al receptor en el instante $t_A^{(1)}$ y el pulso B parte en $t_B^{(0)}$ y llega en $t_B^{(1)}$, se obtiene los tiempos que tarda cada pulso en llegar al receptor de la siguiente manera:

$\dst t_A^{(1)}-t_A^{(0)} = \frac{d-vt_A^{(0)}}{c}$
$\dst t_B^{(1)}-t_B^{(0)} = \frac{d-vt_B^{(0)}}{c}$

Con $d$ la distancia entre el punto del que partió el emisor y el del receptor (tus 24 000 000 km), $v$ la velocidad a la que se mueve la fuente (tus 4 km/s) y c la velocidad de la luz (la del pulso). Esto es una aplicación directa de la fórmula $v=\frac{s}{t}$ para el movimiento rectilíneo y uniforme (MRU) del pulso, ya que el espacio que recorre cada pulso (la $s$ en la fórmula del MRU) es el que queda entre emisor y receptor en cada instante, $s=d-vt$ (distancia total de la trayectoria, menos lo que se ha movido la fuente en el instante considerado) en cada uno de los momentos A y B, y la velocidad del pulso es la de la luz, $c$.

Ahora bien, de estos resultados, los tiempos a los que llega cada pulso al receptor quedan:

$\dst t_A^{(1)}=t_A^{(0)} + \frac{d-vt_A^{(0)}}{c}$
$\dst t_B^{(1)}=t_B^{(0)} + \frac{d-vt_B^{(0)}}{c}$

Si se restan, y operando un poco las distancias $d$ se cancelan y queda:

$\dst t_B^{(1)}-t_A^{(1)} = t_B^{(0)} + \frac{d}{c} - \frac{v}{c}t_B^{(0)} - t_A^{(0)} - \frac{d}{c} +\frac{v}{c}t_A^{(0)} = \left (1-\frac{v}{c}\right )\left (t_B^{(0)} - t_A^{(0)}\right )$

Que relaciona los intervalos entre los que se emite el pulso, medidos por la fuente ($t_B^{(0)}-t_A^{(0)}$) y entre los que llega, medidos por el receptor ($t_B^{(1)}-t_A^{(1)}$).

Un saludo.