Otras carreras Duda sobre agujeros negros

[Pola]

Anoche se me planteó una duda. Voy a tratar de explicarla.

Según la TGR, la gravedad no es una fuerza. No existe la fuerza de la gravedad. Lo que sucede es que el espacio-tiempo se modifica por la acción del tensor de energía-momento.
O sea que la curvatura del espacio tiempo explica la naturaleza de la acción del campo gravitatorio.

Como no entendía esto muy bien para ciertas circunstancias, hace tiempo pregunté. Y se me explicó (Richard R Richard) que en los lugares muy próximos a las masas, las líneas de curvatura eran perpendiculares, tal y como se observa en la tierra.

Por eso, cuando alguien salta desde un avión o deja caer cualquier objeto, cae directo hacia el suelo. Con suficiente perspectiva, no serán líneas rectas, sino geodésicas. Pero localmente, entiendo que pueden considerarse líneas rectas perpendiculares que apuntan todas al centro de la tierra. Como los radios de una bici.

Vale. Uno se queda con ésa imagen en la cabeza y entonces piensas que si desde un punto cualquiera de la tierra apuntas verticalmente hacia “arriba” con una linterna o con un láser, la luz sale en ésa dirección hacia “arriba”. Siguiendo la trayectoria recta de las líneas de fuerza del campo gravitatorio.

Pensaba en los agujeros negros. Nadie sabemos qué hay dentro, pero que hay un campo gravitatorio es claro, porque atrae a los objetos a su alrededor y porque lo hace con tanta intensidad que nada puede salir.

La máxima curvatura que puede coger el espacio tiempo, creo que es la descrita antes para la tierra: líneas rectas que se dirigen como radio hacia el centro. (Por lo que tengo entendido con una variación: que si tiramos algo hacia el centro de la tierra, podría por la inercia sobrepasarlo y oscilar un tiempo antes de acabar en el centro. Mientras que en un agujero negro, no podría pasar del centro. Se aplastaría directamente en él).

Sin embargo, como sabemos, si apuntamos con una linterna o un láser dentro de un agujero negro la luz no podría salir. No entiendo la diferencia entre las líneas verticales del campo terrestre y las líneas verticales del agujero negro. ¿Por qué puede remontar unas y no las otras si la curvatura es la misma?
¿O se supone que hay una curvatura diferente?

[pod]

No sé lo que te explicó Richard en su momento, pero voy a intentar resumirte como funciona este tema (o, por lo menos, la visión que tengo yo).

Es cierto que en Relatividad General (RG) la gravedad no se modela como una fuerza sino como el efecto de la curvatura. La curvatura afecta al movimiento del "contenido del universo"; y el contenido del universo afecta a la curvatura. Como simplificación, podemos pensar en "contenido del universo" como la colección de partículas que hay en él, sin olvidar que puede ser más complicado.

Como he dicho, la afectación va en las dos direcciones: la curvatura afecta al movimiento de las partículas, y las partículas afectan a la curvatura. Como tu has dicho, la afectación de las partículas a la curvatura es a través del tensor de energía-impulso. Es decir, que toda la energía y el momento que tengan las partículas afectará a la curvatura. No obstante, si (para un observador dado) la velocidad de las partículas es pequeña en comparación a c, entonces la mayor componente del tensor será la energía en reposo (que es, esencialmente, la masa de la partícula multiplicada por $c^2$). Esto explica por qué la gravedad de Newton funciona razonablemente bien en nuestro entorno- Pero esa es otra historia, así que disculpa la digresión.

Repito: las partículas afectan a la curvatura y la curvatura afecta a las partículas. Esta doble afectación es altamente no lineal y, en general, muy difícil de resolver. Sin embargo, hay muchas situaciones de interés donde podemos suponer que tenemos un sistema formado por una "cantidad enorme de energía-impulso" que se encuentra en un estado relativamente estático, y donde situamos una partículas de muy "poca energía-impulso" (lo que solemos llamar una partícula de prueba). En este caso, podemos suponer que la contribución de la partícula de prueba a la curvatura es negligible, y por lo tanto calcular por un lado la curvatura debida a la "parte grande de energía-impulso" que se encuentra estática y ver como esta curvatura afecta a la partícula de prueba.

Esto que digo no es nuevo de la RG, ni mucho menos. Es exactamente lo que hacemos cuando calculamos la órbita de un satélite al rededor de la Tierra usando la gravitación de Newton. Calculamos el campo gravitatorio terrestre y suponemos que el diminuto (en comparación) satélite no afecta para nada a la Tierra. En realidad, sabemos que el efecto es en las dos direcciones, pero la diferencia de masa es tan grande que, a efectos prácticos, podemos negligir el efecto del satélite sobre la Tierra.

Haciendo esto, y con ayuda del teorema de Gauss, sabemos que fuera del planeta (suponiendo que el planeta tiene simetría esférica), la gravedad va como $1/r^2$, como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de la esfera. Recuerda, no obstante, que esta solución sólo es válida fuera del planeta. Dentro del planeta, la gravedad dependerá de cómo esté distribuida la masa del mismo; el ejemplo más conocido es la de un hipotético planeta con la masa distribuida homogéneamente, en cuyo caso la gravedad es proporcional al radio. En general, los planetas y estrellas no son uniformes, pero independientemente de cómo se distribuya la masa (siempre que sea con simetría esférica), lo importante es que fuera de un cuerpo esférico la gravedad siempre decae como $1/r^2$.

Volviendo a la RG, y en analogía con lo que hacemos con la Tierra usando a Newton, uno quisiera encontrar la curvatura al rededor de un objeto esférico. La solución es harto conocida para un objeto esférico que no rota y no tiene carga; es la llamada métrica de Schwarzschild, que no voy a reproducir pero puedes encontrar fácilmente en ésta web o en internet. Como en el caso anterior, la métrica de Scwarzschild sólo es válida en el exterior del cuerpo esférico, pero no en su interior. Estudiando este tipo de campo gravitatorio es como llegamos a conocer las trayectorias posibles: orbitas circulares (bastante improbables, pero posibles), orbitas elípticas, el caso límite de una trayectoria parabólica, o una trayectoria hiperbólica que "pasa de largo" (suponiendo, claro, que no haya colisión). Todo esto seguro que lo habrás estudiado en el curso correspondiente de mecánica.

Una vez conocida la métrica de Scwarzschild, uno puede estudiar las trayectorias de partículas de prueba, suficientemente pequeñas como para que podamos suponer que la métrica del espacio no se altera. Este estudio de trayectorias da lugar a diferentes tipos de trayectorias. Muchas de ellas son análogas a las trayectorias que vemos en la gravitación de Newton, pero con pequeñas correcciones. Por ejemplo, las órbitas más habituales ya no son perfectamente elípticas, sino que la propia orbita rota un poco al rededor del cuerpo central (el ejemplo más conocido es la precesión del perihelio de Mercurio).

Hay otro tipo de trayectorias que no tienen equivalente clásico. Por ejemplo, una muy curiosa, existe la posibilidad de tener una órbita de luz perfectamente circular, pero resulta que esa orbita sólo es posible a cierta distancia del centro del cuerpo central.

Ahora, veamos qué es lo que da lugar a los agujeros negros. El análisis de las trayectorias de las partículas de prueba en una métrica de Scwarzschild revela que hay una distancia límite, llamado radio de Schwarzschild. Si una trayectoria, en algún momento, pasa por un punto que está a menor distancia del centro que el radio de Schwarzschild, entonces dicha trayectoria nunca podrá volver a alejarse del centro. De hecho, esa trayectoria está condenada a acercarse cada vez más al centro del cuerpo esférico que crea la métrica de Schwarzschild.

Esto puede sonar raro, pero no es algo nuevo. Estamos más acostumbrados a que si una partícula viaja hacia adelante en el tiempo, entonces siempre viajará hacia adelante y nunca podrá pararse ni viajar atrás. La relatividad no impide que exista una partícula que viaje hacia atrás en el tiempo, lo único que dice es que entonces siempre viajará hacia atrás, nunca podrá "parar" su tiempo y empezar a ir hacia adelante (de hecho, hay gente que interpreta la antimateria como partículas viajando en dirección contraria). Esto se demuestra a través de una propiedad que cumple todo tensor métrico.

Lo que ocurre en la métrica de Schwarzschild dentro del radio de Schwarzschild es que sus componentes cambian de signo. Y a causa de ese cambio de signo, la propiedad "no poder volver a atrás" ya no la cumple el tiempo, sino que la cumple la distancia al centro. Por eso, si una trayectoria atraviesa el radio de Schwarzschild, nunca más podrá cambiar de dirección y está condenada a llegar al centro del campo gravitatorio. Nótese que esta explicación es bastante chusquera, por no decir muy simplista. Lo importante es entender que la propiedad de "estar forzado a recorrer una dimensión dada siempre en el mismo sentido del movimiento" no es rara ni nueva. Simplemente, no estamos tan acostumbrados a que se aplique al espacio, sólo al tiempo.

Toda esta disquisición se basa en la métrica de Schwarzschild, y por lo tanto, sólo es válida allá donde la métrica de Schwarzschild sea válida. En el caso de un cuerpo esférico con con cierto radio, la métrica de Schwarzschild sólo es válida más allá de este radio. Así, pues, para que el debate anterior sea aplicable, entonces es necesario que el radio del objeto sea menor al radio de Schwarzschild. No he puesto la fórmula, quizá ya la conoces, pero resulta que el radio de Schwarzschild de un objeto depende únicamente de su masa. A mayor masa, mayor es el radio de Schwarzschild. Para el sol, el resultado son unos 3km. Para la Tierra, apenas 9mm.

Así, pues, tanto como para el sol como para la Tierra, el radio de Schwarzschild es muy menor al radio del objeto en si. Como hemos dicho al principio, la métrica de Schwarzschild ya no es válida dentro del cuerpo. Por lo tanto, en realidad, estos cuerpos no cumplen la propiedad de que haya cierta distancia del centro a partir de la cual uno ya no pueda escapar. Simplemente, por que la distancia donde eso se cumpliría esta muy dentro del objeto, donde la métrica de Schwarzschild ya no es válida.

Para que ello se cumpla, seria necesario comprimir toda la masa del objeto en una distancia inferior al radio Schwarzschild. Es decir, compactar la masa de la tierra en una esfera de menos de 9mm de diámetro. Ese objeto tan compacto es lo que llamaríamos agujero negro.

Fíjate que estos efectos sólo se producen cuando nos acercamos al radio de Schwarzschild (que es lo que se conoce como horizonte de sucesos del agujero). Lejos del horizonte, tendriamos orbitas quasi-elípticas como si orbitáramos un planeta normal; pues la métrica es la misma.

La diferencia entre un agujero negro y un cuerpo esférico normal (tipo Tierra o Sol) simplemente es que el priemro está comprimido que es posible llegar cerca del radio de Schwarzschild sin haber chocado contra la superficie del cuerpo. La Tierra no es un aguejro negro simplemente porque es demasiado grande.

[Pola]

"Lo que ocurre en la métrica de Schwarzschild dentro del radio de Schwarzschild es que sus componentes cambian de signo. Y a causa de ese cambio de signo, la propiedad "no poder volver a atrás" ya no la cumple el tiempo, sino que la cumple la distancia al centro. Por eso, si una trayectoria atraviesa el radio de Schwarzschild, nunca más podrá cambiar de dirección y está condenada a llegar al centro del campo gravitatorio. Nótese que esta explicación es bastante chusquera, por no decir muy simplista. Lo importante es entender que la propiedad de "estar forzado a recorrer una dimensión dada siempre en el mismo sentido del movimiento" no es rara ni nueva. Simplemente, no estamos tan acostumbrados a que se aplique al espacio, sólo al tiempo."

No sabía esto. Es muy interesante. Ahora ya lo entiendo.

Gracias, Pod

[javisot20]

Muy interesante sin duda y gracias por desarrollarlo de manera simple. Entonces suponiéndolo con valores irreales, sin unidades (ni ecuaciones ) :


Planeta tierra-

masa = 4
radio = 5
velocidad de escape = 6


Si reducimos el radio sin eliminar masa aumenta la velocidad de escape ya que depende de esos dos factores.
Ahora por ejemplo tenemos,

Masa = 4 (igual)
radio = 2,5 (menos)
velocidad de escape = 7 (más)


Seguimos comprimiendo sin reducir masa hasta el punto donde la velocidad de escape alcanza la de la luz, que es el radio de Schwarzschild,
y se da el agujero negro.


¿ Lo que sucede al reducir el radio es que se une la superficie del núcleo con la superficie del planeta en una única superficie ? ¿concentrando en ella la masa no eliminada ?

Si no es así, ¿ la masa se encuentra dentro del horizonte de sucesos ?

Tengo entendido que por lo menos la entropía del AN es igual al área de su superficie.



En la duda del hilo se comparan las trayectorias de un AN con el ejemplo de la pelota y el agujero que cruza la tierra de extremo a extremo en el cual se desprecian muchas cosas para explicar la conservación de una manera visual y sencilla.
como referencia igual no es la más adecuada, se simplifica demasiado la dinámica real como comentaron.

[pod]

¿ Lo que sucede al reducir el radio es que se une la superficie del núcleo con la superficie del planeta en una única superficie ? ¿concentrando en ella la masa no eliminada ?

Lo que podemos decir es que si conseguimos concentrar cierta cantidad de masa dentro de su radio de Schwarzschild, entonces tendremos un agujero negro. Eso no quiere decir que sea posible tomar un objeto cualquiera, por ejemplo un planeta, y estrujarlo hasta por debajo de dicho radio. Muy probablemente cualquier objeto que intentes comprimir de esa forma sufrirá muchos cambios físicos antes de llegar a ser un agujero negro. Así, pues, no tiene mucho sentido hablar de lo que pasará con el núcleo y la superficie del planeta.

Si lo que te preocupa es el proceso de formación de un agujero negro por colapso, este es un tema totalmente diferente. En la naturaleza, lo único que existe que sea capaz de "comprimir" objetos muy grandes es la gravedad. En la naturaleza no hay prensas. Si empezamos por una nube de hidrógeno (que es lo que hay en el universo, esencialmente), en general suelen tener pequeños grumos algo más densos que el resto. Por gravedad, el gas de la nube empieza a caer por gravedad a estos grumos algo más densos. Al comprimirse, el gas se calienta (esto es un resultado de la termodinámica). Al aumentar la temperatura, también aumenta la presión que se opone al colapso.

Este proceso continua hasta que la presión aumenta hasta el punto en que la presión compensa la fuerza de gravedad. Si esto pasa, el colapso se detiene y el objeto se queda en ese estado básicamente para siempre. Esto es lo que ha pasado con planetas gaseosos como Júpiter, Saturno, Neptuno y Urano.

Ahora bien, si la cantidad de gas resulta que es muy grande, antes de que se llegue a este equilibrio pasa otra cosa: la temperatura puede llegar a subir tanto que empiezan a ser posible las reacciones termonucleares de fusión (dos hidrógenos se convierten en un helio, básicamente). Si esto pasa, tenemos una estrella. El enorme calor creado por las reacciones termonucleares hacen que la presión suba mucho, y de hecho la estrella se expande un poco.

El siguiente paso depende de si la estrella es suficientemente grande o no. Si la estrella es muy pequeña, cuando el combustible de hidrógeno se acaba, simplemente se detiene la reacción termonuclear y la estrella se queda en equilibrio para siempre. Es lo que llamamos una enana blanca. Si la estrella es mediana (como el sol), el helio formado en las reacciones cae, por gravedad, al centro de la estrella, por lo que las capas exteriores se calientan y se expanden. La estrella puede crecer de tamaño (esto es lo que, creemos, le pasará al Sol... crecerá hasta engullir los planetas interiores).

Si la estrella es suficientemente grande, cuando no quede más hidrógeno por quemar, el colapso volverá a empezar. La estrella se calentará de nuevo hasta que sea posible empezar la reacción de fusión del helio. Esta reacción es tan potente que la presión aumenta muchísimo, por lo que la estrella se expande. Tenemos lo que se llama una supergigante.

Este tipo de proceso pasa varias veces. Cuando se acaba un combustible, la estrella (si es suficientemente grande) empieza a producir reacciones de núcleos cada vez más pesados, que producen cada vez más energía y más presión. Llega un punto en que se producen reacciones tan potentes que producen tantísima presión que la estrella básicamente explota. Es lo que llamamos supernova.

Cuando ocurre una supernova, según el tipo, puede ser que quede un residuo de cierta masa de un material que ya no puede ser fusionado, y por lo tanto ya no se producen reacciones termonucleares. Como no hay reacciones, la presión es debida únicamente a la temperatura. De nuevo, tenemos una competencia entre gravedad y presión. Si la remanente es suficientemente pequeño, llegará un momento en que se llegará a un equilibrio y la estrella no colapsa más.

Si la cantidad de masa remanente es suficientemente grande, resulta que la presión no es capaz de compensar el colapso y entonces aparece otro tipo de presión debida al principio de exclusión de Pauli. No voy a entrar mucho en cómo funciona este mecanismo, pero es necesario saber que hay cierto límite. Si la masa es superior a ese limite (llamado límite de Chandrasekar), el colapso sigue adelante, hasta el punto en que los protones capturan los electrones y se convierten en neutrones. Esto es lo que conocemos como una estrella de neutrones.

Los neutrones también cumplen en principio de exclusión de Pauli, y resulta que son capaces de resistir bastante más presión. Las estrellas de neutrones típicas tienen un radio de una decena de kilómetros y 1,4 masas solares (esta es la masa que queda después de la explosión de la supernova, la estrella original era mucho más grande). Por lo tanto, una estrella de neutrones es extremadamente pequeña, muy cercana a su radio de Schwarzschild, pero aún algo mayor.

Si la masa de la estrella de neutrones es superior a cierto limite, llamado de Tolman-Oppenheimer-Volkoff, entonces el principio de exclusión de Pauli de los neutrones no es capaz de generar suficiente presión para compensar la gravedad, y el colapso continúa. Hay ciertas dudas de si existe algún tipo de mecanismo que pueda aparecer antes de que el colapso reduzca el tamaño por debajo del radio de Schwarzschild (por ejemplo, que se forme una "sopa de quarks" y el principio de exclusión entre quarks pueda detener el colapso: esto seria una estrella de quarks). Se piensa que no, que cualquier remanente (incapaz de producir reacciones termonucleares) que supere el límite de TOV se convertirá en un agujero negro.

Si no es así, ¿ la masa se encuentra dentro del horizonte de sucesos ?

La RG predice que toda la masa del aguero negro debe ir a parar, inexorablemente, al centro. Esto quiere decir que en el centro habría un único punto de densidad infinita. Esto es una singularidad, lo cual básicamente es imposible. Lo que sucede es que en una situación de tantísima densidad seria necesario utilizar una teoría cuántica de la relatividad, que aún no la conocemos. Cuando la tengamos, podremos decir cómo se distribuye la masa dentro de un agujero negro. Aún no tenemos esa teoría, así pues hoy en día no sabemos cómo se distribuye la masa dentro de un agujero negro.

En cualquier caso, sí: si el objeto es un agujero negro, toda la masa estará dentro del horizonte de sucesos. Probablemente, en una región muy reducida al rededor del centro.

Tengo entendido que por lo menos la entropía del AN es igual al área de su superficie.

Hawking y Bekerestein se dieron cuenta que existe cierta analogía entre las ecuaciones de la termodinámica y de los agujeros negros. En esta analogía, la entropía ciertamente seria proporcional al área del agujero. Sin embargo, este tema no tiene nada que ver con el resto de cosas que estamos hablando, así que es mejor dejarlo de lado.

[Richard R Richard]

Como no entendía esto muy bien para ciertas circunstancias, hace tiempo pregunté. Y se me explicó (Richard R Richard) que en los lugares muy próximos a las masas, las líneas de curvatura eran perpendiculares, tal y como se observa en la tierra.

Sobre el tema principal ya esta excelentemente explicado,

En espacio plano, una partícula en cualquier posición y sin velocidad en ninguna dirección, conserva sus coordenadas con el paso del tiempo.
Si tiene velocidad en una dirección mantiene esa velocidad en una trayectoria recta.( primera Ley de Newton)

Con la teoría de la gravitación de Newton , una partícula en cualquier posición y sin velocidad en ninguna dirección a tiempo 0, su movimiento será caer en línea recta hacia el centro de la masa gravitante.

En RG todas la partículas se mueven siguiendo geodésicas son curvas,(son las rectas de los espacios curvos)
Es un espacio tiempo de Schwarzchild una partícula con posición mayor al radio de Schwarzchild, que a tiempo cero no tiene velocidad en ninguna dirección, las únicas componentes, que pueden variar con el parametro, es la componente radial y la temporal por lo que el movimiento es una recta, la que une la partícula con el centro de coordenadas o centro de la masa, es decir cambia la coordenada radial en función del tiempo (caida libre)

Es decir no hay lineas de curvatura , lo que hay son posibles trayectorias, cuando defines el espacio curvo, estas definiendo como se calcularan las distancias y los tiempos, cuando defines la posición inicial, tienes infinitas combinaciones de velocidad inicial y ángulos para definir una posible trayectoria, una vez que escojes la velocidad inicial, la partícula visa un ser sometida a ninguna fuerza, sigue una única trayectoria recta en ese espacio (la geodesia) , y continuara haciendolo eternamente, mientras no medie ninguna fuerza o resistencia.
Ej desde la misma posición puedes caer al centro, o bien aportando una velocidad previamente estudiada, generar trayectorias cerradas u órbitas, ambas serán geodésicas de ese mismo espacio tiempo.(la geodésica es el MRU de un espaciotiempo curvo o el equivalente a la Primera ley de Newton)
En un AN, cuando llegas a la superficie del horizonte, todas las direcciones posibles de avanzar por una geodesia apuntan a traspasar el horizonte, una vez dentro no hay geodésica para objetos con o sin masa que alcancen la coordenada radial igual al radio de Schwarzchild, por lo que no pueden escapar de su interior.
Puedes caer en línea recta sobre un planeta o sobre un AN, como en el planeta llegas a la superficie sin cruzar el horizonte puedes remontar , en el AN no hay superficie sobre que posarse y cuando atraviesas el horizonte no hay vuelta atrás.

[Pola]

Gracias por las puntualizaciones, Richard. Sólo decir que cuando hablaba de líneas de curvatura, no pensaba en las trayectorias, sino en la curvatura del espacio tiempo.

Un saludo.