Divulgación Problema sobre movimiento uniformemente acelerado y relatividad.

[inakigarber]

Buenas noches;
Hace algún tiempo que me asalta un problema y no se como enfocarlo.
Supongamos que en el instante de tiempo 0 se encuentra un cohete en un movimiento perfectamente horizontal a una altura h. En ese instante de tiempo sale desde el suelo otro cohete (también siguiendo una trayectoria vertical) con un movimiento uniformemente acelerado con el objeto de impactar contra el cohete en movimiento uniforme. Desde el punto de vista de la física clásica todos los observadores tanto el que está en reposo (R) como el que se mueve en el cohete a velocidad uniforme (V) como el observador situado en el cohete uniformemente acelerado (A) medirán el mismo tiempo y la misma distancia recorrida hasta producirse el impacto, porque el espacio y el tiempo son absolutos para la física clásica. Igualmente los observadores inerciales (R yV)medirán la misma aceleración del observador no inercial (A), porque la aceleración en física clásica es invariante a las transformaciones de Galileo. Ahora bien, si consideramos que tanto A como V se mueven a velocidades relativistas ¿Cuál sería la medición del espacio y el tiempo para cada uno de los observadores?

Desde el punto de vista del observador en reposo R, el tiempo de impacto será $t_i=\dfrac{h'}{v}$
Desde el punto de vista del observador en movimiento uniforme el tiempo de impacto será $t_{vi}=\dfrac{h' \sqrt{1-v^2/c^2}}{v}$, si no estoy equivocado.
Me hago un lío cuando quiero determinar el valor del tiempo para el observador en el sistema de referencia acelerado (A). En todos los sistemas de referencia se producirá un impacto, aunque ninguno de ellos coincidirá en el espacio y el tiempo con las medidas de los otros dos sistemas de referencia. Si no me equivoco, todos los observadores coincidirán en que el observador acelerado (A) recorre una distancia mayor y por tanto debe desplazarse a mayor velocidad para poder impactar con (V), por lo que los efectos relativistas que debería notar son mayores. Supongo que para aclarar este asunto tendré que utilizar los cuatrivectores posición y aceleración pero estoy algo perdido.

Saludos y gracias de antemano.

[carroza]

Hola, Iñakigarber.

Quizás debas tener en cuenta que un movimuento uniformemente acelerado, desde un sistema de referencia, no es uniformemente acelerado desde otro sistiema que se mueve con velocidad uniforme desde el primero.

Recuerda que la regla relativista para obtener las velocudades v' de un objeto vistas desde un nuevo sistema de referencia S', que se mueve a velocidad u con respecto a un sistema S, en el que la velocidad es v, viene dado por $v' = {v-u \over 1 - u v/c^2}$ . Por tanto, un objeto con movimuento uniformemente acelerado en el sistema S, en el que $v = v_0 + a t$, vendrá dado en S' por una velocidad
$v' = {v_0 + at -u \over 1 - u (v_0 + at)/c^2}$ ,

lo cual no es uniformemente acelerado. Todo esto, aparte del hecho de que el intervalo de tiempo medido en el sistema S', difiere del intervalo de tiempo medido en S, por la relación $t' = \gamma t$.

Saludos

[inakigarber]

Buenas noches;

Gracias por tu respuesta.

Creo que una de las claves para entender la cuestión está en el postulado segundo de la relatividad especial, según el cual dos observadores independientemente de su estado de reposo o movimiento miden el mismo valor de la velocidad de la luz en el vacío. Esto nos permite entender porque un objeto con masa no podrá nunca alcanzar la velocidad de la luz. En física clásica el límite de velocidad está en el infinito, luego si tenemos energía suficiente siempre podremos incrementar la velocidad de un objeto, pero la relatividad especial nos demuestra que para lanzar un objeto de masa m a la velocidad de la luz necesitaríamos una energía infinita. No podemos alcanzar la velocidad de la luz. Desde este punto de vista es difícil hablar de movimientos uniformemente acelerados a nivel relativista (al menos eso es lo que me parece a mí).

Lo que pretendía con el experimento es tratar de determinar (creo que con muy poco éxito) el como afectan el espacio y el tiempo al observador acelerado, pero creo que he equivocado el método. Tengo la sensación de que el observador acelerado (inercial) sería visto desde los sistemas de referencia no inerciales como si se estuviera desplazando a una velocidad relativista, es decir contraído en la dirección de su movimiento, corrido al rojo y cuyo tiempo propio transcurre más despacio. Pero el observador acelerado (acostumbrado a su fuerza de aceleración como nosotros a nuestra fuerza de gravedad) podría creerse a si mismo como un observador en reposo y pensar que los que se mueven aceleradamente son los otros dos observadores (igual que nosotros que creemos erróneamente que los objetos acelerados son los que están en caída libre). El podría pensar que los objetos acelerados son V y R y que por tanto los que sufren los efectos relativistas de contracción de longitudes dilatación del tiempo y corrimiento al rojo son ellos y no el. Sin embargo siempre se ha dicho que si desde un punto con potencial gravitatorio nulo (o casi) miráramos hacia un observador cercano a un agujero negro lo veríamos corrido al rojo y su tiempo nos parecería eterno, sin embargo el al mirar hacia nosotros nos vería corridos al azul y nuestro tiempo le pasaría muy rápido. Dado que hay una equivalencia entre un campo gravitatorio y un movimiento uniforme (localmente) son lo mismo, los observadores inerciales (R) y (V) deberían ver al observador (A) corrido al rojo y cuyo reloj corre más despacio que el nuestro [esto creo que lo comprendo], pero el debería ver a los observadores (R) y (V) corridos al azul y cuyos relojes corren más rápido que el suyo, esto no alcanzo a entenderlo.