Cálculo de tiempos en Relatividad Especial

[JLE]

Quisiera plantear una paradoja:

Si tenemos dos observadores A y B separados por una distancia $X$
Hay un tubo de longitud $L$ entre ambos observadores uno de cuyos extremos tiene origen en A y desde el final del tubo hasta el observador B hay una distancia de $d = X - L$

En un momento determinado, con el tubo estático, un fotón sale por el interior del tubo desde A hacia B y otro desde B hacia A y ambos tardan un tiempo igual de $t_{a1} = t_{b1}$

Se repite el experimento, pero ahora el tubo también se desplaza desde A hasta B a una velocidad $V$ de manera que el extremo del tubo llega al punto B en $t_{a1} = t_{b1}$ . De esta forma, el fotón A hace todo el recorrido A-B dentro del tubo de longitud $L$. El fotón B por el contrario, hace parte del recorrido fuera del tubo, luego recorre el tubo y luego hace otra parte del recorrido fuera del tubo, recorriendo $X$

La pregunta es ¿son ahora $t_{a2} = t_{b2} = t_{a1}$?

Si son distintos, entonces algún fotón ha variado su velocidad entre A y B.
Si son iguales, entonces ambos fotones han variado su velocidad relativa respecto al tubo cuando viajaban dentro de él.

[JLE]

Yo diría que no se cumple el segundo principio.

[javisot20]

Saludos, todo esta en orden con el segundo postulado, creo entender. Piensa en el tiempo que tardan el fotón (A-B) y (B-A) en recorrer el mismo tubo.


En el caso (A-B) el fotón viaja dentro de un tubo que se desplaza con su misma dirección y una velocidad cercana a c para poder cumplir el que llegue al otro extremo del tubo en el punto/instante B.

Lo que se traduce en que el fotón (A-B) recorre el tubo un tiempo t1.



En cambio el fotón (B-A) cuando atraviese el tubo tardará en hacerlo un tiempo t2 < t1 debido a la velocidad y dirección de desplazamiento del tubo.
Esa diferencia de tiempo hace que el fotón (B-A) recorra además de la longitud del tubo otra distancia extra fuera del tubo,

pero teniendo en cuenta solo los puntos A y B los fotones llegarán a la vez a sus respectivos puntos finales.

[JLE]

Hola javisot20, gracias por el comentario, pero no quedo convencido.

En realidad no es necesario que el tubo se desplace a una velocidad cercana a c. (Si suponemos que L del tubo es la mitad de X, sólo tendrá que ir a c/2. Si el tubo fuera más grande, menos velocidad necesitará para llegar a B en ta1)

De acuerdo en que el fotón tarda el mismo tiempo entre A y B como entre B y A, tanto cuando se mueve el tubo, como cuando no, por tanto:


$t_{a1} = t_{b1} = t_{a2} = t_{b2}$

Sabemos que

$t_{a1} = \frac{X}{c}$

Para un observador que viaje dentro del tubo, la velocidad que ha llevado el fotón A será la longitud del tubo L partido por el tiempo ta2 (que es igual a ta1)

$V_{a} = \frac{L}{ t_{a1} }$

Sabemos que


$c = \frac{X}{ t_{a1} }$

Luego


$\frac{V_{a}}{c} = \frac{L}{X}$
$V_{a} = c \frac{L}{X}$

Luego para cualquier L < X entonces Va < c : la velocidad del fotón observada desde el tubo sería menor que c.

[carroza]

Hola, JLE.

Veo que tu nivel es ciencias (biología). ¿Conoces las transformaciones de Lorentz? Es para poder contestarte de manera adecuada a tu nivel.

Ya te diría que la existencia del tubo es irrelevante. Tendrás dos observadores, que intercambian fotones. Y tendrás que tener en cuenta que la distancia entre ambos, y el tiempo que transcurre entre los diferentes sucesos, depende del sistema de referencia, que puede estar en reposo o en movimiento frente a los observadores.

Un saludo.

[JLE]

Hola carroza.

En efecto, no soy un físico pero sí que estoy al tanto de las transformaciones de Lorentz, bueno, originalmente son de Voigt en su trabajo sobre el efecto Doppler, aunque también las vieron Heaviside o Larmor.

La transformación asume como premisa que c es constante y hace que el tiempo sea una función del espacio.

A mi entender, el factor de Lorentz equivale a dividir cualquier cosa por la excentricidad de una elipse cuyos semiejes mayor y menor son c (velocidad de la luz) y v (velocidad del objeto), respectivamente. Con v<<<c, la transformación es simplemente dividir entre 1.

En cualquier caso, se puede usar la transformación de Lorentz y lo que tendremos es que el tubo se contraerá.

Dices que la existencia del tubo es irrelevante, ¿por qué? No me dices nada de

$V_{a} = c \frac{L}{X}$

Luego para cualquier L < X entonces Va < c : la velocidad del fotón observada desde el tubo sería menor que c.

Un saludo y gracias por entrar en el tema

[Richard R Richard]

Hola JLE cuando quieras agregar o aclarar algo brevemente usa los comentarios, pero si te vas a extender o seguir el tema principal por favor usa el botón responder, si quieres puedes citar algún mensaje previo.

[javisot20]

Un observador en reposo observando dos fotones, uno que viaja de A - B y otro que viaja de B - A.

Hasta aquí no tenemos ninguna paradoja. Hay un tubo involucrado pero es secundario.



Sabes que si un fotón es emitido dentro del tubo el cual se desplaza con velocidad c en la misma dirección que el fotón, ( respecto al observador en reposo ), este observador jamás logrará ver como sale del tubo dicho fotón.

Tambien sabes que si un fotón viajase en dirección opuesta entrando en el tubo, el observador confirmará que este fotón si pudo salir del tubo.


Si reduces la velocidad a la que se desplaza el tubo respecto al observador en reposo, este confirmará que ambos fotones pudieron salir del tubo solo que uno necesitó más tiempo que el otro.


Esto es al margen de los puntos A y B a los que llegarán los fotones sin ninguna paradoja de por medio.





Podemos suponer ahora que además de este observador en reposo tenemos otros 2 observadores en reposo situados en los puntos A y B, incluso podemos añadir un cuarto observador que viaja dentro del tubo, es decir, en movimiento respecto a los 3 observadores anteriores,

pudiendo diferir en la observacion pero reconciliando su conclusión final con las transformaciones de Lorentz.

[JLE]

javisot20, prefiero que comentes mi ejemplo y me señales dónde está el problema en las ecuaciones.

Un fotón sale de A hacia B y otro de B hacia A. El tubo solamente se mueve.

[carroza]

Ok, JLE. Si sabes hacer transformaciones de Lorentz, la explicación resulta muy sencilla.

Para ello, tienes que ver los sucesos que ocurren, especificando su posicion x y su tiempo t, en diferentes sistemas de referencia. Usaremos la notación (x,t).

- Consideramos primero el sistema S, con respecto al cual A y B están en reposo.

El suceso 1 es la salida del pulso de luz ( prefiero este termino al de fotón, que lleva unas implicaciones cuanticas en las que no queremos entrar) desde A. Sus coordenadas son (0,0).

El suceso 2 es la salida del pulso de luz desde B. suscoordenadas son (X,0)

El suceso 3 es la llegada del pulso de luz emitido desde A a B. sus coordenadas son (X, X/c).

El suceso 4 es la llegada del pulso de luz emitido desde B a A. sus coordenadas son (0, X/c).

En el sistema S, la velocidad del pulso de A a B es la diferencia de las posiciones del suceso 3 menos las del suceso 1, dividida por la diferencia de tiempos. Sale, obviamente, c. De la misma forma, la velocidad del pulso de B a A es la diferencia de las posiciones del suceso 4 menos las del suceso 2, dividida por la diferencia de tiempos, que sale -c.

Ahora queremos mirar qué sucede en el sistema de referencia S', que se mueve solidariamente con el tubo, a velocidad v con respecto a S.

Te dejo que uses las transformaciones de Lorentz para ver las coordenadas (x', t'), de los cuatro sucesos anteriores,en el sistema S'.

Una vez que lo hagas, puedes comprobar si en el sistema de referencia S', las velocidades siguen siendo c y -c.

Saludos

[JLE]

Gracias carroza, me pongo a ello aunque de sencillo para mi, nada. Voy a sudar tinta china..

[javisot20]

Saludos JLE, no hablas en el mensaje principal de observadores en movimiento, solo en reposo.

"De esta forma, el fotón A hace todo el recorrido A-B dentro del tubo de longitud L . El fotón B por el contrario, hace parte del recorrido fuera del tubo, luego recorre el tubo y luego hace otra parte del recorrido fuera del tubo, recorriendo X"

Tanto el fotón A como el B recorren exactamente la misma distancia X independientemente de que A lo haga dentro del tubo y B dentro/fuera del tubo. El error se deduce de esto.

Creo que interpretabas que el fotón B recorría mayor distancia que el fotón A en el mismo tiempo, pero recorren exactamente la misma distancia en el mismo tiempo,
a eso me refería con que no tomes al tubo como referencia ya que este se esta moviendo a favor de uno de los fotones y en contra del otro.


Si quieres tratar el mismo problema con observadores en movimiento, todo lo dicho por Carroza es lo que tienes que tener en cuenta.

[JLE]

Hola javisot20. Sí, quería tratar el mismo problema con observadores en movimiento y siguiendo lo dicho por Carroza he hecho las transformadas y sale que c = c' como viene más abajo.

[JLE]

Perdón si doy muchas vueltas, pero en efecto, con las transformadas de Lorentz sale que c’ = c

$x’=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$

$t’=\frac{1-\frac{Vx}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$

Luego

$c’=\frac{x-Vt}{t-\frac{Vx}{c^2}} = \frac{x-Vt}{t-\frac{Vx}{\binom{x^2}{t^2}}} = \frac{x-Vt}{t-\frac{Vt^2}{x}} = \frac{x^2-Vtx}{tx-Vt^2} = \frac{x(x-Vt)}{t(x-Vt)} = \frac{x}{t} = c$

Pero es normal el resultado ya que la transformación se hizo precisamente para que c fuera siempre constante, o sea c = c'

[javisot20]

De eso no cabe duda, se hace para que todos los observadores concluyan que la velocidad de la luz y las leyes de la fisica son invariantes.

Si se estaría forzando la realidad añadiendo una dinámica interpretada como contracción o dilatación es otro tema.


El caso es que haciéndolo.. los cálculos y resultados para sistemas inerciales resultan más exactos y se predicen/explican más fenómenos.

[JLE]

javisot20, yo diría que las leyes de la física también seguirían invariantes con una c variante (y sin necesidad de transformaciones)

De todas formas, la invarianza de c era un requisito del éter transportador de ondas de Huygens que luego resultó no existir, ni ser ondas (en el concepto de olas de Huygens). Todas las transformaciones de Voigt, Larmor, Heaviside, Lorentz y Poincaré llegaban al mismo sitio porque todos creían en el axioma de la existencia de un éter transportador de ondas que exigía esa invarianza.

Einstein pone como axioma lo que es la conclusión de un axioma incorrecto. Si coincide con la realidad, ha sido desde luego por casualidad.

[Richard R Richard]

javisot20, yo diría que las leyes de la física también seguirían invariantes con una c variante (y sin necesidad de transformaciones)

De todas formas, la invarianza de c era un requisito del éter transportador de ondas de Huygens que luego resultó no existir, ni ser ondas (en el concepto de olas de Huygens). Todas las transformaciones de Voigt, Larmor, Heaviside, Lorentz y Poincaré llegaban al mismo sitio porque todos creían en el axioma de la existencia de un éter transportador de ondas que exigía esa invarianza.

Einstein pone como axioma lo que es la conclusión de un axioma incorrecto. Si coincide con la realidad, ha sido desde luego por casualidad.

Tratas de explicar nueva fisica?, por favor cuando hagas afirmaciones, cita los documentos revisados por pares que concluyan con lo que expones, te recuerdo que en el foro no aceptamos opiniones personales como argumentos explicativos, es muy similar a hacer pseudociencia,
Sería bueno que rectifiques la afirmacion, o la transformes en interrogante, , de otro cerraremos el hilo.
Ya te han explicado, el tema principal, no hay paradoja en el problema expuesto.

[JLE]

Disculpa. No pretendo explicar nueva física. Era un simple comentario y no es una opinión personal.

En la traducción de "Treatise on light" 1690 de Christiaan Huygens que hizo Silvanus P. Thompson pone:

"...Also if one wishes to seek for any other way in which the movement of Light is successively communicated, one will find none which agrees better, with uniform progression, as seems to be necessary, than the property of springiness; because if this movement should grow slower in proportion as it is shared over a greater quantity of matter, in moving away from the source of the light, it could not conserve this great velocity over great distances. But by supposing springiness in the ethereal matter, its particles will have the property of equally rapid restitution whether they are pushed strongly or feebly; and thus the propagation of Light will always go on with an equal velocity.”

[carroza]

JLE, vamos con tu paradoja. Te quedan dos sucesos que localizar, tanto en el sistema S como en S'

Suceso 5: el pulso de luz que sale de B se encuentra con el extremo derecho del tubo, y entra en el tubo.

Suceso 6: el pulso de luz que sale de B se encuentra cin el extremo izquierdo del tubo, y sale del tubo.

Te recomiendo que uses el sistema S, para localizar las coordenadas (x,t) de ambos sucesos, y luego uses las transformaciones de Lorentz para localizar las coordenadas (x', t') de ambos sucesos.

Saludos

[JLE]

carroza, creo innecesario el cálculo. Usando la transformada saldrá todo perfecto. Para eso está hecha,

[JLE]

carroza, una objeción:

Si ahora en el extremo del tubo mas cercano a B va un observador que emite un pulso de luz hacia A en el mismo momento que sale el pulso de luz desde A hacia B.

Si c es invariante dentro de S’ entonces el observador dentro del tubo verá los dos pulsos salir a la vez, cruzarse en medio del tubo y llegar al extremo contrario del tubo a la vez.

Pero ahora el tubo ya está en B, y el pulso de luz que emitió el observador dentro del tubo, sale ahora del tubo y aún ha de llegar hasta A, luego tardaría más tiempo.

[JLE]

buenos días carroza, Siguiendo tu desarrollo con este nuevo caso

• Si tomamos , para facilitar las cosas, que la longitud del tubo es ½ de X (podemos suponer que ya está contraído por la velocidad)

El suceso 1 es la salida del pulso de luz desde A (Pa). Sus coordenadas son (0,0).
El suceso 2 es la salida del pulso de luz desde el observador en el extemo del tubo B (Po) hacia A. Sus coordenadas son (X/2,0)
El suceso 3 es el paso del extremo izquierdo del tubo por A hacia B. Las coordenadas de su extremo más cercano a B son (X/2,0)

• Los sucesos 1, 2 y 3 son simultáneos

El suceso 4 es la llegada del pulso de luz emitido desde A (Pa) a B. sus coordenadas son (X, X/c).
El suceso 5 es el paso del extremo derecho del tubo por B. sus coordenadas son (X, X/c).
El suceso 6 es la salida del pulso de luz (Po) desde el extremo del tubo hacia A. sus coordenadas son (X/2,X/c)

• Tomando que c es invariante dentro de S’, el observador en el tubo observará los dos pulsos salir a la vez, cruzarse en medio del tubo y llegar al extremo contrario del tubo a la vez. Los sucesos 4, 5 y 6 son pues simultáneos

El suceso 7 es la llegada del pulso de luz (Po) a A. Sus coordenadas serán ( 0, 3X/2c)

Pa habría recorrido una distancia de X en un t= X/c v = c
Po habría recorrido una distancia de ½ X en un t= 3X/2c v = 1/3 c