Concepto de obervador y medición

[alexpglez]

Tengo unas cuantas dudas sobre los conceptos de observador y medición de distancias y tiempos en relatividad.

Sea $(M,g)$ una variedad Lorentziana: una variedad suave $M$ con una forma bilineal $g:\mathfrak X(M) \times \mathfrak X(M) \longrightarrow C^{\infty}(M)$ simétrica y con signatura $(+,-,...,-)$.

Dado un campo vectorial $Z\in \mathfrak X(M)$ con $g(Z,Z)=1$, tenemos definido varios conceptos:
1) $T(X)=g(Z,X)$ define una 1-forma nunca nula. Intuitivamente $T(v)$ mide la longitud (y sentido) temporal del vector $v\in T_pM$ vista desde $Z$.
2) En la distribución $\text{Ann} T$ tenemos definida una métrica de Riemann $h=-g|_{\text{Ann}T}$.
3) Si $M$ tiene una forma de volumen $\Omega$ compatible con la métrica. Obtenemos una n-1 forma $\omega(X_1,...,X_{n-1})=\Omega(Z,X_1,...,X_n)$. $\omega$ se anula en $<Z>$, y restringida a $\text{Ann} T$ ¿da una forma de volumen compatible con $h$?

Ejemplo:
Consideramos el espacio tiempo de Minkowski $M=\mathbb R^4$, $g=dt\otimes dt-dx\otimes dx-dy\otimes dy - dz \otimes dz$.
0')Tomamos $Z=a\partial_t+b\partial_x$, $g(Z,Z)=a^2-b^2=1$. Por ejemplo $a=\gamma=(1-v^2)^{-1/2}$, $b=-\gamma v$, $|v|\leq 1$.
1') $T=\gamma(dt+vdx)$, $\text{Ann} T=\{dt=vdx \}$
2') $h=(1-v^2)dx\otimes dx+ dy \otimes dy+ dz\otimes dz$
3') $\omega|_{\text{Ann} T}=\sqrt{1-v^2}dx\wedge dy \wedge dz$
En el caso $v=0$ obtenemos las magnitudes "clásicas" de medir tiempos y distancias, pero si no es 0, obtenemos fórmulas relacionadas a las transformaciones de Lorentz.

- ¿Es éste el concepto de observador: un campo vectorial $Z$ de tipo temporal normalizado? Siempre existen (infinitos) localmente, pero no tienen por qué existir globalmente, ¿son interesantes las variedades donde no exista ningún observador global?
- Dado un problema físico del tipo: "una persona situada en tal punto del espacio-tiempo moviéndose por tal trayectoria, ¿qué distancias, tiempos mide?" ¿cómo se determina "su" observador asociado? A priori dada una curva temporal, sólo tenemos un observador a lo largo de la curva, no global...
- $T$ es una 1-forma, ¿en qué ocasiones es cerrada o exacta? En el caso exacto, uno tiene una forma global de medir tiempos.
- ¿Qué significado toman las curvas integrales de $Z$? ¿Son curvas geodésicas? (En nuestro ejemplo son las curvas $x(t)=a-vt, \: y(t)=b, \; z(t)=c$)
- La teoría matemática nos dice que T es cerrada si y sólo si $\text{Ann}T$ es integrable. En este caso, ¿qué significado toman las subvariedades integrales? (En nuestro ejemplo $\{ t=vx+a \}$, ¿qué significado toma esta ecuación tan rara?)
- La medición de longitudes y volúmenes, $h$ y $\omega|_{\text{Ann}T}$ sólo está definido en el anulador. ¿Significa ésto que no podemos comparar distancias ni volúmenes que midan dos observadores distintos?
- ¿Qué es un observador inercial? Con esta teoría uno tendría la tentación de definir: dos observadores $Z, \; W$ son mutuamente inerciales si se relacionan por una isometría. De esta forma la isometría relaciona también las estructuras $T$, $\text{Ann} T$, $h$, etc.
- ¿El principio de covarianza dice que las ecuaciones fundamentales de la física son invariantes por isometrías? ¿Esto implica que las soluciones físicas "correctas" deben ser invariantes por isometrías? ¿Es posible que en algún modelo físico las ecuaciones dependan del observador, o de la clase de observadores mutuamente inerciales?

Muchas gracias

[Weip]

Hola alexpglez. La verdad es que de relatividad general matemática sé más bien poco, así que no puedo resolver tu duda general. Sería conveniente también que dieras un poco más de contexto. Supongo que estás mirando cosas sobre la orientabilidad temporal en variedades Lorentzianas pero no sé muy bien en qué punto te han surgido esas dudas. A pesar de esto creo que puedo hacer algunos comentarios a lo que has escrito.

- $T$ es una 1-forma, ¿en qué ocasiones es cerrada o exacta? En el caso exacto, uno tiene una forma global de medir tiempos.

Así en general, no tiene porqué ser cerrada o exacta, pero fíjate que es razonable trabajar con $T$ cerrada porque en caso contrario podrías tener curvas temporales cerradas (es lo análogo a que el rotacional sea cero o distinto de cero). Así que por un tema de física es razonable restringirse a estudiar el caso en que $T$ es cerrada.
Sobre la exactitud de $T$, depende enteramente de la topología de la variedad. Si $T$ es cerrada pero no exacta entonces define una clase no nula de cohomología deRham $[T]\in H^1_{\text{dR}}(M)$ y da información valiosa acerca de propiedades globales de la variedad y sus invariantes (clases características). En caso que $T$ sea cerrada y exacta... es una posibilidad menos interesante.

- ¿El principio de covarianza dice que las ecuaciones fundamentales de la física son invariantes por isometrías?

No son exactamente lo mismo aunque aquí el lenguaje es un poco tedioso. Entiendo que el principio de covarianza se refiere más a la invarianza formal de las ecuaciones de la teoría. Cuando le metes la física entonces sí, la teoría es invariante por isometrías, aunque en el lenguaje habitual de RG se dice que la teoría es invariante por difeomorfismos.

Espero haber ayudado.

[alexpglez]

Hola alexpglez. La verdad es que de relatividad general matemática sé más bien poco, así que no puedo resolver tu duda general. Sería conveniente también que dieras un poco más de contexto. Supongo que estás mirando cosas sobre la orientabilidad temporal en variedades Lorentzianas pero no sé muy bien en qué punto te han surgido esas dudas. A pesar de esto creo que puedo hacer algunos comentarios a lo que has escrito.

Hola Weip, la teoría que he expuesto me viene motivada por dos textos:
- En este artículo definen un "campo de observadores" para una estructura Leibniziana: una variedad $(M,h,\Omega)$ donde $\Omega$ es un 1-forma y $h$ una métrica en $\text{Ann} \Omega$. Un campo de observadores es campo vectorial $Z\in \mathfrak X(M)$, $\Omega(Z)=1$.
- La orientabilidad temporal en nlab.
Acabo de darme cuenta que en el primer artículo viene justo la definición de "campo de observadores" en relatividad general, y es la que he escrito. Citan el libro "General Relativity for Mathematicians" donde a este concepto lo llaman "reference frame".
En el libro define un observador instantáneo como un punto $p\in M$ y un vector $v \in T_pM$, temporal y normalizado $g_p(v,v)=1$. De tal forma que este spitting espacio-tiempo se puede hacer en el espacio tangente $T_pM = <v> \oplus <v>^{\perp}$, tenemos una forma de medir tiempos $\Omega(w)=g_p(v,w)$ que es un funcional no nulo y distancias $h=-g|_{<v>^{\perp}}$ que es un producto escalar.
Luego define un observador como una curva tal que $\gamma'(t)$ es un vector temporal y normalizado. De esta forma el splitting anterior se puede hacer a lo largo de la curva.

Quizá el concepto de "observador" como "sistema de medición", debe ser un campo de observadores: si usas una regla para medir distancias, y mueves la regla a velocidad constante, cada punto de la regla se moverá a velocidad constante, luego no tienes una curva sino una familia de curvas... y si en vez de una regla utilizáses todo el espacio para medir, tendrías definido un flujo y por tanto un campo vectorial.

Estoy intentando entender qué propiedades matemáticas te dan estos campos de observadores: cuando $\Omega$ es cerrada y más propiedades matemáticas del libro.

[Weip]

Hola de nuevo.

Luego define un observador como una curva tal que $\gamma'(t)$ es un vector temporal y normalizado. De esta forma el splitting anterior se puede hacer a lo largo de la curva.

Ahhhh vale, ahora he entendido, con esta definición sí estoy familearizado.

Quizá el concepto de "observador" como "sistema de medición", debe ser un campo de observadores: si usas una regla para medir distancias, y mueves la regla a velocidad constante, cada punto de la regla se moverá a velocidad constante, luego no tienes una curva sino una familia de curvas... y si en vez de una regla utilizáses todo el espacio para medir, tendrías definido un flujo y por tanto un campo vectorial.

Estoy intentando entender qué propiedades matemáticas te dan estos campos de observadores: cuando $\Omega$ es cerrada y más propiedades matemáticas del libro.

De hecho ese concepto de observador se maneja de forma intuitiva en RG. En general esa família de curvas es local. Siguiendo con lo que dije en mi anterior mensaje, estas cuestiones local vs global dependen de la topología de la variedad. En caso de que $T$ sea cerrada pero la variedad $M$ sea simplemente conexa entonces $H^1_{\text{dR}}(M)=0$ y no hay problemas en definir $T$ globalmente, pues todas las formas diferenciales cerradas son exactas.

En el libro define un observador instantáneo como un punto $p\in M$ y un vector $v \in T_pM$, temporal y normalizado $g_p(v,v)=1$. De tal forma que este spitting espacio-tiempo se puede hacer en el espacio tangente $T_pM = <v> \oplus <v>^{\perp}$, tenemos una forma de medir tiempos $\Omega(w)=g_p(v,w)$ que es un funcional no nulo y distancias $h=-g|_{<v>^{\perp}}$ que es un producto escalar.

Leyendo este párrafo creo que ya sé por dónde va la cosa. Como ya dije, si $T$ es cerrada pero no exacta entonces $H^1_{\text{dR}}(M)\neq 0$. Así que, potencialmente, $T$ puede ser usada de alguna forma para clasificar foliaciones en el espaciotiempo. He hecho una búsqueda rápida para ver si esto existe y he encontrado que efectivamente es un área de estudio. Se ve que para distinguir las foliaciones se utiliza la llamada clase de Godbillon-Vey. No he mirado nada más que la definición y eso, se ve que es un invariante que vive en $H^3(M)$. Aunque no sé hasta que punto puede interesarte porque se aleja bastante de RG.

[alexpglez]

Hola!
Los problemas matemáticos que propongo son:
1) Dado $Z$ campo de observadores, ¿Cuándo T es cerrada? ¿Cuándo $\text{Ann}T$ es integrable? ¿Cuándo se pueden tomar cartas $(U,t,x_1,...,x_n)$, $Z=\partial_t$, $\text{Ann}T=<\partial_{x_1},...,\partial_{x_n}>$?
2) ¿Siempre existen localmente cartas locales que cumplan 1? Es decir, $g(\partial_t,\partial_t)=1$, $g(\partial_t,\partial_{x_i})=0$
3) ¿Podemos reconstruir la conexión Levi-Civita (o más en general con torsión dada) a partir de: $T$, $h$ y ciertos parámetros asociados a $Z$ como por ejemplo el endomorfismo de Weingarten $A_Z|_{\text{Ann T}}(X)=-\nabla_XZ$ y $\nabla_Z Z$? ¿Qué propiedades tienen estos parametros cuando suponemos algunas hipótesis adicionales sobre $Z$, como las de 1)?
4) ¿Qué diferencia (cuantitativa) hay entre conexiones afines de Levi-Civita para la variedad y las conexiones $\nabla_0$ que dejan invariante $T$ y $h$ (Conexiones Galileanas)?
Ayer lo estuve intentando sin ningún resultado...

Por otro lado, respecto mi pregunta inicial de si dos observadores distintos pueden comparar distancias, creía que era imposible pero en cierto modo se puede hacer. Dada una curva $\gamma$, la distancia recorrida de la curva vista desde $Z$ es:

$$L_Z(\gamma):=\int_0^1 \sqrt{h(P\gamma'(t), P \gamma'(t))} dt$$

Donde $P$ es la proyección "ortogonal" a $\text{Ann}T$. Si bien, lo que nosotros vemos como curva es una superficie $g(t,s)=(t,x(s),y(s),z(s))$, de modo que su longitud en cada instante de tiempo es $L(g)=\int_0^1\sqrt{x'(s)^2+y'(s)^2+z'(s)}ds$. No sé cómo se formalizaría esta idea de longitud...

Por cierto, si $Z$ es un observador y $F$ es una isometría, es fácil relacionar las medidas vistas de $F_*Z$ con las medidas de $Z$. En mi ejemplo $Z_0=\partial_t$ y $Z$ era el pushforward por una transformación de Lorentz. El factor $\sqrt{1-v^2}$ que me aparece debe ser el esperado según la teoría intuitiva de la relatividad especial.

Así que, potencialmente, $T$ puede ser usada de alguna forma para clasificar foliaciones en el espaciotiempo. He hecho una búsqueda rápida para ver si esto existe y he encontrado que efectivamente es un área de estudio. Se ve que para distinguir las foliaciones se utiliza la llamada clase de Godbillon-Vey. No he mirado nada más que la definición y eso, se ve que es un invariante que vive en $H^3(M)$. Aunque no sé hasta que punto puede interesarte porque se aleja bastante de RG.

Creo que esto tiene mucha relación con la teoría de hipersuperficies como comentas. Sólo que algo más complicado porque trabajas con densidades. Creo entender que se llaman hipersuperficies de Cauchy, y uno de los problemas busca cuando hay una familia de métricas $\{h_t\}$ de Riemann en $\Sigma$ tal que el espacio tiempo es isométrico a $(\mathbb R \times \Sigma, dt\otimes dt-h_t)$, éste me parece que es el mejor splitting espacio-tiempo que a uno le gustaría tener.

Añado: Creo que el endomorfismo $A_Z$ tiene relación con el término de Coriolis y $\nabla_Z Z$ con la gravedad, (visto desde el observador). Al menos en el artículo que pasé sobre geometría Galileana así lo parece, en el artículo afirman que la conexión Galileana se puede recuperar a partir de esos términos, fijado el observador.

[Weip]

1) ¿Cuándo $\text{Ann}T$ es integrable?

Yo creo que es consecuencia directa del teorema de Frobenius: será integrable si es involutiva. Y tal como pone en el texto que estás siguiendo, esto es equivalente a pedir $T\wedge dT=0$.

[alexpglez]

Yo creo que es consecuencia directa del teorema de Frobenius: será integrable si es involutiva. Y tal como pone en el texto que estás siguiendo, esto es equivalente a pedir $T\wedge dT=0$.

No quería escribir sólo ésto porque me daba vergüenza, pero sí. Estaba viendo que una versión más refinada de Frobenius demuestra que $dT$ es cerrada si y sólo si se pueden tomar ese tipo de cartas:

Sea $\Omega$ una 1-forma nunca nula en una variedad $M$, entonces.
0) $\text{Ann} \Omega$ es distribución y existen vectores $Z \in \mathfrak X(M)$, $\Omega(Z)=1$.
1) $\Omega \wedge d\Omega=0$ si y sólo si $\text{Ann} \Omega$ es integrable si y sólo si existe un atlas de cartas $(U,t,x_1,...,x_n)$, $\Omega(\partial_{x_i})=0$ para todo $i$. (En estas cartas $\Omega=\Omega(\partial_t)dt$)
2) $d\Omega=0$ si y sólo si existe un atlas de cartas $(U,t,x_1,...,x_n)$, $\Omega(\partial_{x_i})=0$ para todo $i$ y $\Omega(\partial_t)=1$. Además, dado $Z \in X(M)$ con $\Omega(Z)=1$, podemos suponer que $\partial_t=Z$. (En estas cartas $\Omega=dt$, es trivialmente cerrada)

Demostración:
Fijamos $Z$, $\Omega(Z)=1$. La 3-forma $\Omega \wedge d\Omega$ se anula si y sólo si se anula en $(Z,X,Y)$ con $X,Y$ en el anulador:

$$\Omega \wedge d\Omega(Z,X,Y)=-\Omega([X,Y])$$

De donde se deduce 1) por Frobenius. $d\Omega$ se anula si se anula en los pares $(X,Y)$ y $(Z,X)$:

$$d\Omega(Z,X)=-\Omega([Z,X]), \;\;\; d\Omega(X,Y)=-\Omega([X,Y])$$

Tomamos una carta $(V,t,x_1,...,x_n)$ con $Z=\partial_t$. Identificamos por la carta $\text{Ann}\Omega$ con una distribución en $T\mathbb R^{n+1}$ que es complementaria a $\partial_t$. Tomamos:

$$\pi:\mathbb R^{n+1} \longrightarrow \mathbb R^n$$

$$\pi(t,x_1,...,x_n)=\pi(x_1,...,x_n)$$

El núcleo de la diferencial es $<\partial_t>$. Luego tenemos un isomorfismo sobre $\pi$:

$$d\pi|_{\text{Ann}\Omega}: \text{Ann}\Omega \longrightarrow T\mathbb R^n$$

Definimos:

$$V_i|_{(t,x)}=d\pi^{-1}_{\text{Ann}\Omega}\partial_{x_i}|_x$$

Cumplen que:

$$d\pi[V_i,V_j]=[\partial_{x_i},\partial_{x_j}]=0, \;\;\; d\pi[\partial_t,V_i]=[0,\partial_{x_i}]=0$$

$$[V_i,V_j]\in <\partial_t>, \;\; [\partial_t,V_i] \in <\partial_t>$$

Luego $\Omega$ es cerrada si y sólo si $[\partial_t,V_i]=[V_i,V_j]=0$. Finalmente la composición de los flujos nos da la carta buscada.

PD1: En teoría es la proposición 2.2 de aquí, pero la prueba es totalmente errónea...
PD2: Quizá se pueda generalizar esta prueba para distribuciones más generales. No sé si hay una demostración más corta, aplicando directamente el teorema de Frobenius a $\text{Ann}\Omega$ y luego modificando el frame obtenido $(V_1,...,V_n)$ para que también $[Z,V_i]=0$.

Creo que en la referencia que di, da condiciones necesarias a $Z$ para que $T\wedge dT=0$ o $dT=0$. Voy a leer la prueba.

[alexpglez]

Solución 1):
Sea $Z$ un observador, y $T(X):=g(Z,X)$. Tomamos la conexión de Levi-Civita sin torsión $\nabla$, definimos el endomorfismo de Weingarten:

$$A_Z:\Gamma \text{Ann} T \longrightarrow \Gamma \text{Ann} T$$

$$A_Z(X)=-\nabla_X Z$$

Está bien definido pues $0=Xg(Z,Z)=2g(\nabla_X Z,Z)$.
- $T\wedge dT=0$ si y sólo si $A_Z$ es autoadjunto respecto de $h=-g|_{\text{Ann}T}$.
- $dT=0$ si y sólo si $A_Z$ es autoadjunto y $\nabla_ZZ=0$
Demostración:
$T\wedge dT=0$ si y sólo si $g(Z,[X,Y])=0$ para todo $X,Y$ en el anulador. Como $[X,Y]=\nabla_X Y-\nabla_Y X$, la condición equivale a:

$$g(Z,\nabla_XY)=g(Z,\nabla_Y X)$$

Y como $g(Z,X)=g(Z,Y)=0$:

$$g(-\nabla_X Z,Y)=g(-\nabla_Y Z,X)$$

$$h(A_ZX,Y)=h(X,A_ZY)$$

$dT=0$ si y sólo si además $g(Z,[Z,X])=0$ para todo $X$ del anulador. Similarmente:

$$-g(\nabla_ZZ,X)=g(Z,\nabla_ZX)=g(Z,\nabla_X Z)=0$$

Pero $g(\nabla_Z Z,Z)=0$. Luego la condición equivale a que:

$$\nabla_ZZ=0$$

Añado:

Hola!
2) ¿Siempre existen localmente cartas locales que cumplan 1? Es decir, $g(\partial_t,\partial_t)=1$, $g(\partial_t,\partial_{x_i})=0$

La solución de ésto equivale a encontrar observadores locales $Z$ que cumplan las conciones de la solución. No sé si este problema tiene solución...

[alexpglez]

Creo que he resuelto 3 y 4, pero tengo dudas respecto a los resultados. Tampoco me fío que la demostración esté bien.

3) ¿Podemos reconstruir la conexión Levi-Civita (o más en general con torsión dada) a partir de: $T$, $h$ y ciertos parámetros asociados a $Z$ como por ejemplo el endomorfismo de Weingarten $A_Z|_{\text{Ann T}}(X)=-\nabla_XZ$ y $\nabla_Z Z$? ¿Qué propiedades tienen estos parametros cuando suponemos algunas hipótesis adicionales sobre $Z$, como las de 1)?
4) ¿Qué diferencia (cuantitativa) hay entre conexiones afines de Levi-Civita para la variedad y las conexiones $\nabla_0$ que dejan invariante $T$ y $h$ (Conexiones Galileanas)?

Sea $(M,g)$ variedad Lorentziana con convenio $(+,-,...,-)$, y $Z\in \mathfrak X(M)$ un observador, $g(Z,Z)=1$. Sea $\Omega:=Z^{\flat}=g(Z,\cdot)$, llamamos $R=<Z>^{\perp}=\text{Ann}\Omega$ y $T=<Z>$. Notamos que $-g|_{R}$ es una métrica en $R$. Denotamos por $X^R=X-\Omega(X)Z, \; X^T=\Omega(X)Z$ a las proyecciones ortogonales a las distribuciones. Queremos recuperar $g$ y la conexión $\nabla$, a partir de $Z$, $\Omega$, $R, \; T$, y $g|_R$.
La métrica se recupera fácilmente pues:
Lema 0: $g(X,Y)=\Omega(X) \Omega(Y) + g(X^R,Y^R)$

Queremos recuperar la conexión de Levi-Civita pero también las conexiones Galileanas:
Definición: $\nabla$ es una conexión Galileana si:

$$X\Omega(Y)=\Omega(\nabla_XY), \;\;\; \forall X,Y \in \mathfrak X(M)$$

En particular $\nabla_XY, \; \nabla_XZ \in \Gamma R$, para el observador $Z$ y $Y \in \Gamma R$. Además pedimos:

$$Xg(Y,W)=g(\nabla_XY,W)+g(Y,\nabla_XW), \;\;\; \forall X \in \mathfrak X(M), \;\; \forall Y,W \in \Gamma R$$

$$[X,Y]^R=(\nabla_XY-\nabla_YX)^R, \;\; \forall X,Y \in \mathfrak X(M)$$

Observación 1: $d \Omega=\Omega \circ \text{Tor}(\nabla )$, no podemos pedirle que tenga torsión 0, pero bajo la última condición esto equivale a que $d\Omega=0$.
Observación 2: La conexión Levi-Civita $\nabla$ es Galileana si y sólo si $\nabla Z=0$. En cuyo caso $d\Omega=0$, $L_{Z}g=0$ y los coeficientes de la métrica en cartas $Z=\partial_t$, $<\partial_{x_1},...,\partial_{x_n}>\in \Gamma R$, son constantes en el tiempo.

Notamos que para la conexión Levi-Civita $\nabla_X Z \in \Gamma R$, y además $D_XY:=(\nabla_X Y)^R$ define una conexión lineal en el fibrado $R\longrightarrow M$ tal que $Dg|_R=0$. Si $\nabla$ es Galileana, denotamos $D_XY=\nabla_XY=(\nabla_X Y)^R$ la restricción a $\mathfrak X(M) \times \Gamma R$.
Observación 3: Si $\nabla$ es una conexión Levi-Civita o Galileana entonces, $D|_{\Gamma R \times \Gamma R}$ sólo depende de $\Omega$, $Z$ y $g|_R$ pues se tiene que cumplir:

$$2g(D_XY,Z)=Xg(Y,W)+Yg(W,X)-Wg(X,Y)+g([X,Y]^R,W)-g([Y,W]^R,X)+g([W,X]^R,Y), \;\;\; \forall X,Y,W \in \Gamma R$$

Por otro lado, un endomorfismo de utilidad es:

$$\nabla Z:\mathfrak X(M)\longrightarrow \Gamma R$$

$$\nabla_XZ=\Omega(X) \nabla_ZZ +\hat S(X^R)+\hat \omega(X^R)$$

Donde $\hat S$ es autoadjunto y $\hat \omega$ antiautoadjunto, es la descomposición del endomorfismo de Weingarten:

$$g(\hat S(X),Y):=\frac{1}{2}(g(\nabla_XZ,Y)+g(X,\nabla_YZ))$$

$$g(\hat \omega(X),Y):=\frac{1}{2}(g(\nabla_XZ,Y)-g(X,\nabla_YZ))$$

De esta forma, $\Omega \wedge d\Omega=0$ si y sólo si $\hat \omega=0$ y $d\Omega=0$ si y sólo si $\hat \omega=\nabla_ZZ=0$. La parte autoadjunta sólo depende de lo que queremos pues por simetría basta verlo para:

$$g(\hat S(X),X)=g(\nabla_XZ,X)=g([X,Z]^R-D_ZX,X)=g([X,Z]^R,X)-\frac{1}{2}Zg(X,X)$$

Sea $\nabla$ una conexión Galileana o Levi-Civita, entonces se descompone en los términos:

$$\nabla_XY=\nabla_X Y^T+(\nabla_XY^R)^T+D_XY^R$$

$$\nabla_X Y^T=X\Omega(Y)Z+\Omega(Y)\nabla_XZ$$

$$(\nabla_XY^R)^T=<br /> \begin{cases}<br /> 0, & \text{Galileano} \\<br /> g(\nabla_XY^R,Z)Z=g(Y^R,-\nabla_XZ)Z & \text{Levi-Civita} \\<br /> \end{cases}$$

$$D_XY^R=\Omega(X)\nabla_ZY^R+D_{X^R}Y^R=\Omega(X)([Z,Y^R]^R+\nabla_{Y^R}Z)+D_{X^R}Y^R$$

Conjetura: Los endomorfismos $\hat \omega: R \longrightarrow R$ antiautoadjuntos y los campos $\mathfrak G(=\nabla_ZZ)\in \Gamma R$, determinan las conexión Galileanas de forma biyectiva. (Se supone que está demostrado en el artículo que pasé, pero he leído varios errores)

Problema/Interpretación: En una variedad Lorentziana, fijado un observador $\nabla Z=0$, la cinemática clásica observada desde $Z$ es la misma que la de la relatividad general, ya que ambas conexiones coinciden¿? (Por ejemplo en el espacio-tiempo de Minkowski con $Z=\gamma(\partial_t+v\partial_x), \;\; \gamma=(1-v^2)^{-1/2}, \;\; |v|\leq 1$)

[Weip]

La verdad es que en los últimos mensajes hay demasiada información para mí jaja. Intentaré repasarlo por si acaso pero tardaré porque hay cosas que se me escapan.

[alexpglez]

En geometría Riemanniana esto también parece útil. Si un campo paralelo existe en $(M,g)$ entonces hay un splitting local $(N,h)\times (I\subset \mathbb R, dt^2)$. https://math.stackexchange.com/quest...389908#3389908