Otras carreras Transformaciones entre dos sistemas arbitrarios

[alexpglez]

¿Cómo es el método para hallar el tensor métrico (del segundo observador O') y matriz de transformación que ligan dos sistemas arbitrarios?

Por ejemplo, en el caso de que las ecuaciones de la posición del observador O' dadas por el observador O, dada la cuadrifuerza, fuesen descritas por una ecuación:

$$\frac{\delta}{\delta s}(m\frac{d x^{\mu}}{ds})=F^{\mu}(s)$$

O por:

$$\frac{\delta}{\delta s}(m\frac{d x^{\mu}}{ds})=F^{\mu}(x^{\nu},\frac{d x^{\nu}}{ds},s)$$

Es decir que, integrando las ecuaciones obtengamos una función del tipo:

$$x^{\mu}=f^{\mu} (s)$$

¿?
Y suponiendo que conocemos el tensor métrico para el observador O.

Gracias, saludos.

[Richard R Richard]

Re: Transformaciones entre dos sistemas arbitrarios

¿Cómo es el método para hallar el tensor métrico (del segundo observador O')

Hola Alex , ambos están en el mismo espacio, con la misma métrica, lo que tienen es distinta posición $(t,r,\theta,\phi)$

y matriz de transformación que ligan dos sistemas arbitrarios?

dado que
$\dfrac{\partial y^{\alpha}}{\partial x_{\mu}}<br /> \cdot\dfrac{\partial x_{\nu}}{\partial y^{\beta}}<br /> =\delta^{\alpha}_{\beta}<br />$

una métrica no plana transforma como


$g_{\alpha \beta}=\dfrac{\partial x^i}<br /> {\partial y^{\alpha}}\cdot\dfrac{\partial x^j}<br /> {\partial y^{\beta}}\cdot g_{ij}<br />$

o


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

sabiendo que

$[g]^{-1}_{\alpha \beta}=g^{\alpha \beta}<br />$

luego un vector covariante se transforma ne contravariante mediante

$x^i=g^{ij} x_i$ con $g^{ij}=$=inversa de la matriz de la métrica


un tensor covariante de rango 2 transforma como

$\dst T'_{ij}=a'_ib'_j=M^{-1}|_i^ka_kM^{-1}|_j^la_l= M^{-1}|_i^kM^{-1}|_j^la_ka_l=M^{-1}<br /> |_i^kM^{-1}|_j^lT_{kl}$

puedes hallar más ecuaciones de transformación aqui

Por ejemplo, en el caso de que las ecuaciones de la posición del observador O' dadas por el observador O, dada la cuadrifuerza, fuesen descritas por una ecuación:

$$\frac{\delta}{\delta s}(m\frac{d x^{\mu}}{ds})=F^{\mu}(s)$$

La expresión correcta para la cuadrifuerza es
$<br /> \hat F=f^u=(\dfrac{\vec v \cdot \vec F}{c},\vec F)=m_o \hat a$

y la cuadriaceleración es

$\hat a=\dfrac{\partial \hat v}{\partial \tau}=\left (\begin{array}{c}\gamma^4\dfrac{\vec a \cdot \vec v}{c}\\ \gamma^2 a_x+\gamma^4\dfrac{\vec a \cdot \vec v}{c^2}v_x\\ \gamma^2 a_y+\gamma^4\dfrac{\vec a \cdot \vec v}{c^2}v_y \\ \gamma^2 a_z+\gamma^4\dfrac{\vec a \cdot \vec v}{c^2}v_z\end {array} \right )<br /> <br />$

$\hat a=(\gamma^4\dfrac{\vec a \cdot \vec v}{c}, \gamma^2 \vec a +\gamma^4\dfrac{\vec a \cdot \vec v}{c^2}\vec v)<br />$

las expresiones con sombrero $\hat a$ estan en 4 d del espacio tiempo y las epreseadas con flechas $\vec a$ en las tres euclideaneas

la mayoría de la expresiones comúnmente usadas en física relativista expresadas en las cuatro componentes del espacio tiempo las he colocado aqui

[alexpglez]

Re: Transformaciones entre dos sistemas arbitrarios

No me refería a eso exactamente. Si no a: dado el movimiento de una partícula descrito por un observador O, cómo hacer el cambio de coordenadas de un punto en O a O'. Como aquí por ejemplo: https://es.wikipedia.org/wiki/Parado...gemelo_viajero

Así pues, definamos un observador que se mueve por las ecuaciones vistas desde un observador en reposo (consideremos para simplificar 1 D x 1 D):

$$\frac{d^2x^{\mu}}{ds^2}=a^{\mu}=cte$$

$$x^{\mu}=x_0^{\mu}+v_0^{\mu} s + \frac{1}{2}a^{\mu} s^2$$

Viendo el observador en reposo un espacio tiempo plano:

$$ds^2=dt^2-dx^2$$

Así pues, ¿cuál sería el tensor métrico del observador O' y cuál sería la transformación que ligaría ambos sistemas de coordenadas?

[Richard R Richard]

Re: Transformaciones entre dos sistemas arbitrarios

Cuando haces una rotación de ejes en 3D euclidiano lo que haces un producto matricial entre la matriz de transformación de los ejes y las coordenadas del vector que estés analizando y por resultado obtienes las coordenadas del mismo vector, en el otro sistema de referencia.

Aqui sucede lo mismo, la diferencia esta en que la matriz de rotación euclidiana tiene todos sus componentes constantes, aquí la curvatura del espacio es diferente en cada punto por ello multiplicas por la matriz del tensor métrico del espacio a cada componente que son las derivadas parciales con respecto a $(t,r,\theta,\phi)$y también por resultado tienes la representación del mismo vector en el otro sistema de referencia.

Al menos así lo he entendido yo, nunca encontré un ejemplo con resultados numéricos para confirmarlo.

[Weip]

Re: Transformaciones entre dos sistemas arbitrarios

Ya te ha respondido muy bien Richard:

una métrica no plana transforma como


$g_{\alpha \beta}=\dfrac{\partial x^i}<br /> {\partial y^{\alpha}}\cdot\dfrac{\partial x^j}<br /> {\partial y^{\beta}}\cdot g_{ij}<br />$

En lenguaje de matrices esto es lo mismo que $M^T G M$, donde $M$ es la matriz jacobiana de la transformación y $G=\left( \begin{matrix}-c^2 & 0 \\0 & 1 \end{matrix}\right)$. La transformación que usa wikipedia (en dos dimensiones) es:

$f(t,x)=\left( t, x-\dst\frac{c^2}{w^2}\left( \dst\sqrt{1+\dst\frac{w^2t^2}{c^2}}-1 \right) \right)$

Calcula la matriz jacobiana de $f$ (la diagonal son unos, otra componente cero y la última $-\dst\frac{wt}{\dst\sqrt{1+\dst\frac{w^2t^2}{c^2}}}$) y luego haz $M^T G M$. Te saldrá la matriz del tensor métrico que proporciona la misma wikipedia (en dos dimensiones, aún así para cuatro es fácil de obtener). Si no te sale dilo y miramos los cálculos con detalle.

[alexpglez]

Re: Transformaciones entre dos sistemas arbitrarios

Mi problema no es tal, sé como obtener el tensor tranformado a partir de la transformación (es seguir una multiplicación matricial sencilla). Si no obtener la transformación a partir de:
1) La ecuación tensorial del sistema de coordenadas del observador O'
2) El tensor métrico del primero, (ya que la ecuación del movimiento del O', F=ma requerirá la utilización del tensor métrico para hallar la aceleración hallando la derivada covariante de la velocidad).

[alexpglez]

Re: Transformaciones entre dos sistemas arbitrarios

¿Alguien podría explicarme?

Gracias.

Si no he detallado bien la pregunta puedo intentar explicarme mejor.

[Richard R Richard]

Re: Transformaciones entre dos sistemas arbitrarios

Lo siento alex me excede, por ello no conteste antes, solo se ver el tema de la manera que lo expuse, quiza sea que no pueda interpretar bien lo que quieres decir exactamente con "ecuación tensorial"

y para el punto 2 la aceleración que ve O' desde su SR tiene que ser la que ve O transformada matricialmente , Pues el tensor de rango 2 de la metrica es justamente eso una matriz simétrica.

[alexpglez]

Re: Transformaciones entre dos sistemas arbitrarios

Pongo un ejemplo en mecánica clásica 1D, un sistema acelerado por un muelle:
El sistema acelerado por un muelle que sigue una ecuación con condiciones iniciales:

$$\ddot x=-\omega^2 x \;\; x_0=A \;\; v_0=0 \;\;\; \Rightarrow \;\; x=A\cos \omega t$$

Por la interpretación en mecánica clásica de que el espacio y el tiempo son constantes para todo observador, una transformación entre dos sistemas de coordenadas, uno en reposo en el punto central del muelle y el sistema acelerado anterior.

$$x'=x-A\cos \omega t \;\; t'=t$$

En efecto $\Delta t'=\Delta t$ y a tiempo constante $\Delta x'=\Delta x$, además hemos elegido que cuando $x=A\cos \omega t \;\;\; x'=0$.
La transformación inversa:

$$x=x'+A\cos \omega t' \;\; t=t' \;\;\; dx=dx'-A\omega \sin \omega t' dt' \;\;\; dt=dt'$$

Luego dada la métrica para 1D $dr^2=dx^2$ tenemos que:

$$dr^2=(dx'-A\omega \sin \omega t' dt')^2=dx'^2+A^2 \omega ^2 \sin^2 \omega t' dt'^2-2A\omega \sin \omega t' dx'dt'$$

Luego:

$$G'=<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 & -A\omega \sin \omega t' \\<br /> -A\omega \sin \omega t' & A^2 \omega ^2 \sin^2 \omega t'<br /> \end{pmatrix}$$

Digo repetir estos mismo cálculos en relatividad (especial o general), no sé como se hace. (no necesariamente para una partícula ligada a un muelle, si no para una partícula que siga una ecuación cualquiera).

[guibix]

Re: Transformaciones entre dos sistemas arbitrarios

Hola Alex,

No sé si podré ayudarte con el tema tensorial pero quizás se puede enfocar mediante rotaciones hiperbólicas. Si tenemos que O es un SRI y O' es un SRA con una aceleración propia en función del tiempo propio conocida, entonces, para c=1 y en 1+1D, toda cuadri-velocidad

$U^{\mu}=(\gamma,\gamma v),$

también puede expresarse en forma polar como

$U^{\mu}=(\cosh\theta,\sinh\theta).$

Se puede ver que $v=\tanh\theta$ y por lo tanto

$\theta=\frac 1 2 \ln\left(\frac{1+v}{1-v}\right).$

Si derivamos $\theta$ con respecto del tiempo propio $\tau,$ vemos que

$\frac{\dd\theta}{\dd\tau}=\frac{\dd\theta}{\dd v}\frac{\dd v}{\dd t}\frac{\dd t}{\dd\tau}=a\gamma^3,$

siendo $a$ la aceleración ordinaria medida en el SRI. Pero la aceleración por el factor $\gamma^3$ es precisamente la aceleración propia que llamaremos $\alpha$ y se puede definir como

$\alpha=a\gamma^3,$

o mejor aún

$\alpha=\frac{\dd\theta}{\dd\tau}.$

Por lo que

$\theta=\theta_0+\int_{\tau_0}^{\tau}\alpha\dd\tau.$

Eso nos permite expresar la cuadri-velocidad partiendo de la función de aceleración propia respecto del tiempo propio.

$U^{\mu}=\left(\cosh\left(\theta_0+\int_{\tau_0}^{\tau}\alpha\dd\tau\right),\sinh \left(\theta_0+\int_{\tau_0}^{\tau}\alpha\dd\tau\right)\right).$

Luego hay que integrar las componentes respecto de $\tau$ para obtener la cuadri-posición

$x^{\mu}=(t,x)=\left(t_0+\int_{\tau_0}^{\tau_1}U^0\dd\tau, x_0+\int_{\tau_0}^{\tau_1}U^1\dd\tau\right)$

Como ves hay que integrar dos veces y puede complicar o anular cualquier resultado analítico. Además, si se encuentra una solución para $t(\tau)$ y para $x(\tau),$ es fácil que no se pueda hallar una solución para $x(t).$

Ahora no tengo tiempo de desarrollarlo pero aplicando una matriz de transformación de coordenadas de rotación hiperbólica debería poder resolverse. Algo tipo

$\begin{pmatrix}t' \\x'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\rho\cosh\theta & -\rho\sinh\theta \\-\rho\sinh\theta & \rho\cosh\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t \\x\end{pmatrix},$

siendo $\rho$ el radio hiperbólico (que es la "distancia propia/tiempo propio" del punto a transformar con el origen de coordenadas suponiendo que se cumple que $t=0=t'$ y que $x=0=x',$ en cuyo caso se cumple la invarianza $\rho=\rho').$

Con algo parecido (sé que no es correcto pero ahora no puedo desarrollarlo, supongo que serán las integrales con respecto de $\tau$ de las componentes de esa matriz) se debería poder transformar las coordenadas de cualquier punto de un SRI a las coordenadas de un SRA cualquiera si se tiene su $\alpha(\tau).$

Puede ayudar el recordar que la trayectoria del SRA expresada como $x^{\mu}=(t(\tau),x(\tau))$ nos dice precisamente donde está $x'=0.$ O sea

$T[(t(\tau),x(\tau))]=(t',0).$

Además, para este caso se cumple con $t'=\tau,$ ya que la trayectoria espacio-temporal del SRA marca la línea en donde $x'=0$ para cada $t'$ o $\tau$ dado.

En todo caso, un SRA no deja de ser un sistema de referencia en rotación hiperbólica pero con la aceleración propia tangencial cumpliendo la función de velocidad angular hiperbólica. Eso sí, hay que tener muy en cuenta que en un SRA las leyes físicas no son invariantes y aparecen todo tipo de efectos ficticios "peores" que los que aparecen en la mecánica newtoniana, por lo que puede llevar a aparentes paradojas (o directamente paradojas, acorde con su definición).

Si te interesa, el acabar esta matriz e incluso el añadir rotaciones espaciales te lo dejo a ti como reto.

Puede que esto no sea lo que buscabas pero a lo mejor te sirve.

Saludos!