Problema en cálculo de la curvatura K en un espacio bidimensional con una métrica dada.

[Weip]

Entiendo que la curvatura Gaussiana en todas las superficies bidimensionales viene dada por $K=\dfrac{R_{1212}}{|g|}$ para todas las superficies bidimensionales.

Sí, y no sólo eso: este procedimiento es idéntico en cualquier dimensión para calcular el escalar de Ricci, que es el doble de la curvatura gaussiana: $R=2K$. En dimensiones más elevadas se trata con $R$ y no con $K$ (aunque contienen la misma información geométrica). De todas formas en dimensiones superiores $R$ no es la curvatura completa, sólo una parte. La idea intuitiva de curvatura la contiene el tensor de Ricci en dimensión 3 y el tensor de Riemann en dimensiones más altas.

En este caso nos sale un valor de $K=-1$ que correspondería a una superficie en forma de "silla de montar" en la cual las rectas paralelas se separan hasta el infinito y la suma de los ángulos de un triángulo suman menos de 180º.

No bien bien. La silla de montar que relatas es la imagen típica de una región o porción del plano hiperbólico metida en un espacio euclídeo de tres dimensiones pero aquí en el ejercicio tienes un modelo distinto de plano hiperbólico: el semiplano de Poincaré. El plano hiperbólico tiene el problema que no lo puedes meter entero en un espacio euclídeo de tres dimensiones por lo que al principio puede parecer difícil de visualizar. Pero existen modelos como el del ejercicio con los que hacer geometría de manera intuitiva (aunque los triángulos y las rectas son rarísimos, tal como enseñé en la imagen del mensaje anterior).

Resumiendo: Tenemos un plano hiperbólico entre manos pero la visualización que propones no es la que corresponde con el ejercicio. En todo caso lo de las rectas paralelas y ángulos interiores de triángulos es cierto sí.

[inakigarber]

Gracias a ambos por vuestra ayuda.

El enunciado del problema era bastante enrevesado y me ha costado bastante entender lo que se pretendía buscar. Entiendo que la curvatura Gaussiana en todas las superficies bidimensionales viene dada por $K=\dfrac{R_{1212}}{|g|}$ para todas las superficies bidimensionales. En este caso nos sale un valor de $K=-1$ que correspondería a una superficie en forma de "silla de montar" en la cual las rectas paralelas se separan hasta el infinito y la suma de los ángulos de un triángulo suman menos de 180º.

¿Es así?

Saludos.

[Weip]

Hola Weip, como va, lo primero y único que quería era no crear discordia

Tranquilo, no creas discordia. Parece mentira pero si hay algo más puñetero que cosas difíciles de física o de matemáticas son los signos menos.

Lo que sí me gustaria añadir es lo siguiente. Más allá de de los cálculos, que son importantes y por supuesto fundamentales para saber manejarnos en estos temas, es también importante ganar intuición en lo que estamos haciendo. Esta métrica pertenece al modelo del semiplano de Poincaré, que es un plano hiperbólico. Es lo contrario a una esfera en el sentido de que su curvatura es constante pero con signo menos, y cuenta con una geometría opuesta también a la geometría esférica. Por ejemplo, aquí a la derecha hay dibujado un triángulo:

Estudiar con detalle esto tampoco tendría mucho sentido porque inakigarber se desviaría de sus objetivos, pero sí es útil visualizar las cosas con ejemplos sencillos porque después habrá que hacer física en espaciotiempos curvados de 3+1 dimensiones y ahí es complicado visualizar e incluso hacer algunos cálculos como los del tensor de Riemann.

[Richard R Richard]

Hola Weip, como va, lo primero y único que quería era no crear discordia


si la métrica es $ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2+\dst\frac{1}{x^2}dy^2$

tenemos

$g_{uv}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{x^2}& 0\\ 0&\dfrac{1}{x^2}\end{pmatrix}$

$g^{uv}=\begin{pmatrix}x^2 & 0\\ 0&x^2\end{pmatrix}$

$g_{uv,u}=\begin{pmatrix}\dfrac{-2}{x^3}& 0\\ 0&\dfrac{-2}{x^3}\end{pmatrix}$

$g_{uv,v}=\begin{pmatrix}0& 0\\ 0&0\end{pmatrix}$


$g^{11}=x^2$
$g^{12}=0$

con $\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}=\dst\frac{1}{2}g^{\alpha \beta}(g_{\mu\beta,\nu}+g_{\nu\beta,\mu}-g_{\mu\nu,\beta})$

$\Gamma_{2 2}^{1}=\dst\frac{1}{2}g^{11}(g_{21,2}+g_{21,2}-g_{22,1})+\frac{1}{2}g^{12}(g_{22,2}+g_{22,2}-g_{22,2})$

$\Gamma_{2 2}^{1}=\dst\frac{1}{2}x^2(0+0-\dfrac{-2}{x^3})+\frac{1}{2}0(...+...-...) =+\dfrac{1}{x}$

Así que llevas razón , me he comido un signo, todo cambia

$\Gamma^1_{22,1}=-\dfrac{1}{x^2}$ es negativa por lo que

$\Gamma^{2}_{21}=\Gamma^{2}_{12}=-\Gamma^{1}_{22}=\Gamma^{1}_{11}=-1/x<br />$

es correcto, luego


$R_{1212}=-\dfrac{1}{x^4}$


$|g|=\dfrac{1}{x^4}$


y $K=-1$

cualquier conclusión que haya sacado no es válida

Perdón la intromisión, gracias, y disculpen la molestia.

[Weip]

Hola no es por traer discordia pero hice cálculos y $\Gamma^1_{11}=\Gamma^1_{22}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=-1/x$

a mi me sale $R^1_{212}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva la derivada de una potencia negativa cambia de signo la derivada, las dos sumaciones de einsteint se anulan entre si quedando la el tensor igual a la derivada respecto de x de $-1/x$ que es $1/x^2$

$\Gamma^1_{22,1}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva por lo que
Editado.
$R_{1212}=\dfrac{1}{x^4}$

$|g|=\dfrac{1}{x^4}$

y $K=1$

así que para que de negativa la métrica debe ser

$ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2-\dst\frac{1}{x^2}dy^2$

y no como se pone el mensaje #1 ni en el #2 ni en el #6 , así es una hipérboloide de curvatura constante $K=-1$, de lo contrario es un paraboloide con $K=1$

Hola Richard. Observa que la métrica con todos los signos + es la métrica del semiplano de Poincaré. Por lo tanto necesariamente $K=-1$. Es un resultado típico. En tu caso estás llegando a la conclusión de que estás en una esfera, cosa que es imposible. Como no has dado detalles de los cálculos de los símbolos de Christoffel dejo por aquí el mío de nuevo para ver qué podemos sacar en claro.

Consultando fuentes veo que todas llegan a la misma conclusión que yo en el mensaje #6:

$\Gamma^{2}_{21}=\Gamma^{2}_{12}=-\Gamma^{1}_{22}=\Gamma^{1}_{11}=-1/x$

Aunque ya reproduje el cálculo anteriormente, copio aquí el símbolo de Christoffel "distinto":

$\Gamma^1_{22}=\dfrac{1}{2}g^{11}(g_{21,2}+g_{21,2}-g_{22,1})=-\dfrac{1}{2}g^{11}g_{22,1}=-\dfrac{1}{2}x^ 2\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)=\dfrac{1}{x}$

Si hay algún paso incorrecto indicádmelo. Pero he contrastado el resultado y es correcto. Con esto el cálculo ya ha sido reproducido y se obtiene $K=-1$. Tened presente que cualquier cambio en los cálculos tiene que dar el mismo resultado. Si queréis, por el mismo motivo que el plano euclídeo no es una esfera.

Si aún así no os creéis el resultado también puedo hacerlo de otra manera: calculando todo el tensor de Riemann (cosa rápida gracias a las simetrías del tensor y a estar en dos dimensiones), sacando el tensor de Ricci y finalmente la curvatura escalar, se obtiene $R=-2$, luego $K=-1$. Usando un tercer método (fórmula de curvatura gaussiana típica de superficies) se llaga al mismo sitio. Puedo dar los detalles de los dos métodos extra por convenceros pero entiendo que el enunciado del problema del blog no plantea esos caminos.

Totalmente de acuerdo, estaba siguiendo por error una fórmula donde había sustituido un + por un -, el resultado que das tu es el correcto.

Al menos comprueba que lo dicho sea verosímil antes de estar de acuerdo o no con un resultado. O busca fuentes para ver si lo dicho tiene respaldo. En este caso no lo tiene.

[inakigarber]

Hola no es por traer discordia pero hice cálculos y $\Gamma^1_{11}=\Gamma^1_{22}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=-1/x$

a mi me sale $R^1_{212}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva la derivada de una potencia negativa cambia de signo la derivada, las dos sumaciones de einsteint se anulan entre si quedando la el tensor igual a la derivada respecto de x de $-1/x$ que es $1/x^2$

$\Gamma^1_{22,1}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva por lo que
Editado.
$R_{1212}=\dfrac{1}{x^4}$

$|g|=\dfrac{1}{x^4}$

y $K=1$

así que para que de negativa la métrica debe ser

$ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2-\dst\frac{1}{x^2}dy^2$

y no como se pone el mensaje #1 ni en el #2 ni en el #6 , así es una hipérboloide de curvatura constante $K=-1$, de lo contrario es un paraboloide con $K=1$

Totalmente de acuerdo, estaba siguiendo por error una fórmula donde había sustituido un + por un -, el resultado que das tu es el correcto.

[Richard R Richard]

Hola no es por traer discordia pero hice cálculos y $\Gamma^1_{11}=\Gamma^1_{22}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=-1/x$

a mi me sale $R^1_{212}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva la derivada de una potencia negativa cambia de signo la derivada, las dos sumaciones de Einstein se anulan entre si quedando la el tensor igual a la derivada respecto de x de $-1/x$ que es $1/x^2$

$\Gamma^1_{22,1}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva por lo que
Editado.
$R_{1212}=\dfrac{1}{x^4}$

$|g|=\dfrac{1}{x^4}$

y $K=1$

así que para que de negativa la métrica debe ser

$ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2-\dst\frac{1}{x^2}dy^2$

y no como se pone el mensaje #1 ni en el #2 ni en el #6 , así es una hipérboloide de curvatura constante $K=-1$, de lo contrario es un paraboloide con $K=1$

[inakigarber]

Ten presente que $\sigma$ es un índice sumado: está repetido arriba y abajo así que aplica el convenio de sumación de Einstein; por lo que no has de separar casos:

$R^{1}_{212}=\Gamma^{1}_{22,1}-\Gamma^{1}_{21,2}+\Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{22}+\Gamma^{1}_{21}\Gamma^{2}_{22}-\Gamma^{1}_{12}\Gamma^{1}_{21}-\Gamma^{1}_{22}\Gamma^{2}_{21}$

No me había dado cuenta de que el convenio de sumación de Einstein afecta solo a los dos términos a la derecha de la expresión $R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}=\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu, \mu}-\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu, \nu}+\Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\sigma\nu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\mu}$. De esta forma, el resultado que sale es $R^{1}_{212}=-\dfrac{1}{x^2}+\left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)=-\dfrac{1}{x^2}$, donde los términos entre paréntesis corresponden a la aplicación de dicho convenio sobre los dobles símbolos de Christoffel.

Saludos y gracias.

[Weip]

Ten presente que $\sigma$ es un índice sumado: está repetido arriba y abajo así que aplica el convenio de sumación de Einstein; por lo que no has de separar casos:

$R^{1}_{212}=\Gamma^{1}_{22,1}-\Gamma^{1}_{21,2}+\Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{22}+\Gamma^{1}_{21}\Gamma^{2}_{22}-\Gamma^{1}_{12}\Gamma^{1}_{21}-\Gamma^{1}_{22}\Gamma^{2}_{21}$

[inakigarber]

Volviendo a hacer el cálculo sale $R^{1}_{212}=-1/x^2$, compruébalo tu también para ver si coincidimos.

No me cuadra el resultado, supongo que estaré equivocado. Veamos;
$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}=\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu, \mu}-\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu, \nu}+\Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\sigma\nu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\mu}$
$R^{1}_{212}=\Gamma^{1}_{22, 1}-\Gamma^{1}_{21, 2}+\Gamma^{1}_{\sigma1}\Gamma^{\sigma}_{22}-\Gamma^{1}_{\sigma 2}\Gamma^{\sigma}_{21}$
Suprimiendo el segundo símbolo de Christoffel porque es nulo.
$R^{1}_{212}=\dfrac{\partial x^{-1}}{\partial x}+\Gamma^{1}_{\sigma1}\Gamma^{\sigma}_{22}-\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{22}$
$R^{1}_{212}=-\dfrac{1}{x^2}+\Gamma^{1}_{\sigma1}\Gamma^{\sigma}_{22}-\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{22}$

Para $\sigma=1$, obtengo;

$R^{1}_{212}=-\dfrac{1}{x^2}+\Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{22}-\Gamma^1_{1 2}\Gamma^1_{22}=-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}=-\dfrac{2}{x^2}$

Para $\sigma=2$, obtengo;

$R^{1}_{212}=-\dfrac{1}{x^2}+\Gamma^{1}_{21}\Gamma^{2}_{22}-\Gamma^1_{2 2}\Gamma^2_{22}=-\dfrac{1}{x^2}-0=-\dfrac{1}{x^2}$

[inakigarber]

Gracias por tu comentario.

.....La curvatura gaussiana es la mitad del escalar de Ricci, que es la traza del tensor de Ricci. Recordando que todas las contracciones no nulas del tensor de Riemann dan el tensor de Ricci o el tensor de Ricci cambiado de signo entonces si eliges otras componentes del tensor de Riemann para calcular la curvatura gaussiana te saldrán cambios de signo que darán resultados incorrectos, sí. Así pues, no es una componente al azar: está elegida para que coincida con $K$ en la fórmula.

Luego, para calcular el valor de la curvatura $K$, debemos utilizar solo unos componentes concretos del tensor.

[Weip]

Los símbolos de Christoffel que me salen son los siguientes;
$\Gamma^1_{11}=-1/x$
$\Gamma^1_{12}=0$
$\Gamma^1_{21}=0$
$\Gamma^1_{22}=1/x$* En el blog sale; $\Gamma^1_{22}=-1/x$
$\Gamma^2_{11}=0$
$\Gamma^2_{12}=-1/x$
$\Gamma^2_{21}=-1/x$
$\Gamma^2_{22}=0$
Ahora continuaré con la segunda parte del problema.

Coincido contigo. Al blog le sale uno cambiado de signo porque cuando le conviene pone un signo menos a $g_{22}$ y cuando no conviene, no lo pone.

$R^1_{212}=\Gamma^1_{22,1}+\Gamma^1_{21,2}-\Gamma^1_{\sigma 1}\Gamma^\sigma_{22}-\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{21}$
$\dfrac{\partial x^-1}{\partial x}+0--\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{21}$
Dado que solo hay dos posibilidades $\sigma=1$ y $\sigma=2$, y descartando los símbolos de Christoffel nulos.
$R^1_{212}=-x^-2-(-1/x^2)-(1/x^2)=-(1/x^2)$

En la segunda línea hay un término $-\Gamma^1_{11}\Gamma^1_{22}\neq 0$ que no has incluido. En todo caso, aquí sucede que yo no he obtenido el resultado que ha de dar. Así que he buscado y a menos que esté haciendo errores de cálculo, la fórmula está mal (la saqué del blog confiando pero...). En cambio sí me da el resultado correcto utilizando la fórmula siguiente, sacada de mis apuntes de Relatividad General:

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}=\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu, \mu}-\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu, \nu}+\Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\sigma\nu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\mu}$

Por dar fuentes distintas a mis apuntes, en estos sitios la usan también así que la doy por correcta 100%:

https://mathworld.wolfram.com/RiemannTensor.html

http://www.math-old.uct.ac.za/omei/gr/chap6/node10

Volviendo a hacer el cálculo sale $R^{1}_{212}=-1/x^2$, compruébalo tu también para ver si coincidimos.

El determinante $|g|=1/x^2$, y la curvatura $k=\dfrac{-(1/x^2)}{(1/x^2)}=-1$, por lo que en este caso la curvatura no depende de x (ni de otra variable).

Cuidado, el determinante de la métrica al ser una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal y por tanto $g=1/x^4$. Luego, en la curvatura fíjate que sale $R_{1212}$ y no $R^{1}_{212}$. Para pasar de uno a otro has de subir un índice con la métrica:

$K=\dst \frac{R_{1212}}{g}=\dst \frac{g_{11}R^{1}_{212}}{g}=\dfrac{(1/x^2)(-1/x^2)}{1/x^4}=-1$

Observa que el resultado es curvatura constante negativa, por lo que estamos en el plano hiperbólico. Concretamente, en el semiplano de Poincaré. Por ahí verás que es más habitual la métrica con $x$ e $y$ intercambiados. Aunque da un poco igual.

De todos modos, hay algo que no termino de entender en el enunciado cuando dice "Sabiendo de antemano que en una 2-superficie la curvatura Riemanniana-Gaussiana K está definida de la siguiente manera:"

$K=\dfrac{R_{1212}}{|g|}$

Supongo que el valor de los índices del tensor esta elegido al azar y que obtendríamos un valor distinto si eligiéramos otro valor dentro de lo posible. He elegido los valores opuestos $R^2_{121}$ y el valor de $R$ que he obtenido ha sido $R=1/x^2$ y un valor de $K=1$, pero no estoy muy seguro.

La curvatura gaussiana es la mitad del escalar de Ricci, que es la traza del tensor de Ricci. Recordando que todas las contracciones no nulas del tensor de Riemann dan el tensor de Ricci o el tensor de Ricci cambiado de signo entonces si eliges otras componentes del tensor de Riemann para calcular la curvatura gaussiana te saldrán cambios de signo que darán resultados incorrectos, sí. Así pues, no es una componente al azar: está elegida para que coincida con $K$ en la fórmula.

[inakigarber]

Buenas noches;

Gracias por tu respuesta.

Los símbolos de Christoffel que me salen son los siguientes;
$\Gamma^1_{11}=-1/x$
$\Gamma^1_{12}=0$
$\Gamma^1_{21}=0$
$\Gamma^1_{22}=1/x$* En el blog sale; $\Gamma^1_{22}=-1/x$
$\Gamma^2_{11}=0$
$\Gamma^2_{12}=-1/x$
$\Gamma^2_{21}=-1/x$
$\Gamma^2_{22}=0$
Ahora continuaré con la segunda parte del problema.
$R^1_{212}=\Gamma^1_{22,1}+\Gamma^1_{21,2}-\Gamma^1_{\sigma 1}\Gamma^\sigma_{22}-\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{21}$
$\dfrac{\partial x^-1}{\partial x}+0--\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{21}$
Dado que solo hay dos posibilidades $\sigma=1$ y $\sigma=2$, y descartando los símbolos de Christoffel nulos.
$R^1_{212}=-x^-2-(-1/x^2)-(1/x^2)=-(1/x^2)$

El determinante $|g|=1/x^2$, y la curvatura $k=\dfrac{-(1/x^2)}{(1/x^2)}=-1$, por lo que en este caso la curvatura no depende de x (ni de otra variable).

De todos modos, hay algo que no termino de entender en el enunciado cuando dice "Sabiendo de antemano que en una 2-superficie la curvatura Riemanniana-Gaussiana K está definida de la siguiente manera:"

$K=\dfrac{R_{1212}}{|g|}$

Supongo que el valor de los índices del tensor esta elegido al azar y que obtendríamos un valor distinto si eligiéramos otro valor dentro de lo posible. He elegido los valores opuestos $R^2_{121}$ y el valor de $R$ que he obtenido ha sido $R=1/x^2$ y un valor de $K=1$, pero no estoy muy seguro.

[Weip]

He estado tratando de calcular los símbolos de Christoffel, pero he debido equivocarme, pues todos me salen nulos excepto $\Gamma^1_{11}=-\dfrac{1}{x}$

Perdona error mío, cuando puse el enunciado corregido la métrica debía ser:

$ds^2=\dfrac{1}{x^2}dx^2+\dfrac{1}{x^2}dy^2$

El error es que $g_{22}=1/x^2$, no $g_{22}=1/y^2$. En un inicio lo copié mal. Ahora ya deberían salir algunos más no nulos, por ejemplo:

$\Gamma^1_{22}=\dfrac{1}{2}g^{11}(g_{21,2}+g_{21,2}-g_{22,1})=-\dfrac{1}{2}g^{11}g_{22,1}=-\dfrac{1}{2}x^ 2\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)=\dfrac{1}{x}$

[inakigarber]

He estado tratando de calcular los símbolos de Christoffel, pero he debido equivocarme, pues todos me salen nulos excepto $\Gamma^1_{11}=-\dfrac{1}{x}$