1r ciclo fuerza relativista F que actúa sobre una partícula de masa constante m

[Enrique1990]

Usando $\vec{F}\cong m\left [ \gamma\, \frac{d\vec{V}}{dt}+\vec{V}\, \frac{d\gamma }{dt} \right ]$, muestre que la fuerza tridimensional no es siempre proporcional a la aceleración, es decir $\vec{F}= m\gamma \left [ \vec{a}+\gamma ^{2}\, \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{c^{2}}\, \vec{v} \right ]$ , sin embargo, $\vec{F}\cdot \vec{v}= m\, \gamma ^{3}\, \vec{a}\cdot \vec{v}$


Buenas noches quisiera ver si me podrían ayudar o darme algunas ideas sobre este ejercicio. Lo que he echo es poco pero les coloco mi avance.

Comenzamos con la ecuación:

$$\vec{F}= m\left [ \gamma\, \frac{d\vec{V}}{dt}+\vec{V}\, \frac{d\gamma }{dt} \right ]$$

para la primera derivada vemos que:

$$\frac{d\vec{V}}{dt}=a$$

Sustituimos (2) en (1)

$$\vec{F}= m\left [ \gamma\, a+\vec{V}\, \frac{d\gamma }{dt} \right ]$$

Ahora sabemos que gamma esta dada por:

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$

La derivada de la ecuación (3) se puede ver como:

$$\frac{d\gamma }{dt}= \frac{d }{dt}\left [ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \right ]$$

Hasta aquí he llegado, tengo dudas si la derivada que se tiene que resolver en (5) esta bien planteada, esa es mi duda, de antemano muchas gracias.

[Alriga]

Hola Enrique, te pueden resultar útil este hilo y los enlaces que hay en él:

Fuerza y aceleración en Relatividad Especial

Saludos.

[pod]

$$\frac{d\gamma }{dt}= \frac{d }{dt}\left [ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \right]$$

Hasta aquí he llegado, tengo dudas si la derivada que se tiene que resolver en (5) esta bien planteada, esa es mi duda, de antemano muchas gracias.

Creo que vas bien. Continua, aplica la regla de la cadena para derivar la gamma,

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \frac{d\gamma }{dt} & = \frac{d }{dt}\left [ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \right]\\<br /> & = \frac1{2c^2} \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-3/2} \frac{d (v^2)}{dt}\\<br /> & = \frac1{2c^2} \gamma^3 \frac{d (\vec v \cdot \vec v)}{dt}<br /> \end{aligned}<br />$$

El "truco" en el último paso es recordar que el cuadrado de un vector en realidad es un producto escalar, que puedes derivar como un producto normal y corriente. Continúa a ver si te sale.