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[Millicdnt]

Hola!
Tengo unos problemas con esto:

El diagrama espacio-tiempo muestra dos alternativas desde el evento 1 hasta el evento 4. La tabla muestra las coordenadas de los eventos numerados en este marco. El tiempo se mide en años y el espacio se mide en años luz. El viajero se mueve a lo largo de la línea del mundo segmentada sólida desde el evento A hasta los eventos B, C y D. Calcule el aumento de tiempo en su reloj de pulsera (reloj adecuado) para su línea del mundo a partir del evento A y terminando en el evento D. Su hermana gemela se mueve a lo largo de la línea recta del mundo desde el evento A directamente hasta el evento D. Calcule el aumento de tiempo en su reloj de pulsera entre los eventos A y D. ¿Qué gemelo (viajero de línea sólida o línea punteada) es más joven cuando se reúnen en el evento D?

Lo que trate de hacer fue sacar el tiempo propio del viajero, desde su sistema haciendo que todas las x en todos los eventos sean 0, y el tiempo sería solo el intervalo espacio temporal de los datos de eventos dados, sin embargo esto es incorrecto pues no tomo el diagrama, en sí todo el problema, me causa confusión pues no entiendo cómo sacar los tiempos propios, o si los datos son un tercer sistema de referencia...

Gracias por su ayuda

[pod]

Hola!
Tengo unos problemas con esto:

El diagrama espacio-tiempo muestra dos alternativas desde el evento 1 hasta el evento 4. La tabla muestra las coordenadas de los eventos numerados en este marco. El tiempo se mide en años y el espacio se mide en años luz. El viajero se mueve a lo largo de la línea del mundo segmentada sólida desde el evento A hasta los eventos B, C y D. Calcule el aumento de tiempo en su reloj de pulsera (reloj adecuado) para su línea del mundo a partir del evento A y terminando en el evento D. Su hermana gemela se mueve a lo largo de la línea recta del mundo desde el evento A directamente hasta el evento D. Calcule el aumento de tiempo en su reloj de pulsera entre los eventos A y D. ¿Qué gemelo (viajero de línea sólida o línea punteada) es más joven cuando se reúnen en el evento D?

Lo que trate de hacer fue sacar el tiempo propio del viajero, desde su sistema haciendo que todas las x en todos los eventos sean 0, y el tiempo sería solo el intervalo espacio temporal de los datos de eventos dados, sin embargo esto es incorrecto pues no tomo el diagrama, en sí todo el problema, me causa confusión pues no entiendo cómo sacar los tiempos propios, o si los datos son un tercer sistema de referencia...

Gracias por su ayuda

El tiempo propio de un viajero que sigue una trayectoria es igual a la longitud de dicha trayectoria según la métrica de Minkosky (hago c =1),

$$\tau = \int \sqrt{\dd t^2 - \dd x^2} .$$

En los tramos rectos, la integral es trivial: los diferenciales se convierten en incrementos:

$$\tau = \sqrt{ \Delta t^2 - \Delta x^2} .$$

Por ejemplo, en la trayectoria continua, el tramo de A a B tendría longitud:

$$\tau_{AB} = \sqrt{ (1-0)^2 - (0 - 0)^2 } = 1.$$

En el tramo BC tendríamos

$$\tau_{BC}= \sqrt{ (5-1)^2 - (3,5-0)^2 } \approx 1,936.$$

Habría que sumar estos dos resultados, más el tramo CD, y comparar con la trayectoria directa AD.

Fíjate que no es más que una especie de problema de longitudes, con el teorema de Pitagorias, sólo que con un signo menos.

[Alriga]

El tiempo propio de un viajero que sigue una trayectoria es igual a la longitud de dicha trayectoria según la métrica de Minkosky (hago c =1),

$$\tau = \int \sqrt{\dd t^2 - \dd x^2}$$

En los tramos rectos, la integral es trivial: los diferenciales se convierten en incrementos:

$$\tau = \sqrt{ \Delta t^2 - \Delta x^2} .$$

Nota que si los tramos no fuesen rectos sino que tuviésemos una función arbitraria $x=x(t)$ , partiendo de (1)

$$\dst \tau = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dd t^2 - \dd x^2}$$

Operamos:

$\dst \tau = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\dd t^2 - \dd x^2} \ \dfrac{\dd t}{\dd t}$

$\dst \tau = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\left ( \dfrac{\dd t}{\dd t} \right )^2-\left ( \dfrac{\dd x}{\dd t} \right )^2} \ \dd t$

Y así obtenemos la expresión general (c=1) :

$$\dst \tau = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{1-\left ( \dfrac{\dd x}{\dd t} \right )^2} \ \dd t$$

Apliquemos esta última expresión al trayecto BC. La ecuación de la recta que pasa por B y C es:

$x=\dfrac{3.5-0}{5-1} \ (t-1)$

$x=\dfrac{3.5}4 \ t-\dfrac{3.5}4$

Derivando:

$\dfrac{\dd x}{\dd t}=\dfrac{3.5}4$

$$\dst \tau_{BC} = \int_{1}^{5} \sqrt{1-\left ( \dfrac{3.5}{4} \right )^2} \ \dd t$$

Deberás obtener $\tau_{BC}=\sqrt{0.234375} \ \Big [ t \Big ]_1^5=1.9365$ , lo mismo que ha obtenido pod arriba.

Finalmente, si se desea trabajar en otras unidades en las que la velocidad de la luz no sea necesariamente c=1, la expresión es:

$$\dst \tau = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{1-\dfrac 1{c^2} \left ( \dfrac{\dd x}{\dd t} \right )^2} \ \dd t$$

Saludos.