Calculo del escalar de Einstein a partir del escalar de Ricci

[inakigarber]

Buenas noches;

Echando un vistazo de repaso a este hilo, encuentro un problema cuando plantea el siguiente problema (valga la redundancia)
"PROBLEMA: Demostrar que para un espacio-tiempo de cualquier tipo, ya sea plano o curvo, se cumple la siguiente relación para la traza del tensor de Einstein:"
$G=\dfrac{2-n}{2}R$

Los pasos que da me son fáciles de entender excepto el punto de partida. $g^{ab}g_{ab}=n$, bien, los índices contravariantes y covariantes de anulan entre sí por lo que estamos ante un escalar, pero lo que me provoca dudas (seguro que estoy equivocado) es lo siguiente. Si estoy multiplicando un tensor covariante con superíndices (ab) por un tensor contravariante con subíndices (ab), ¿No estoy multiplicando este tensor por su conjugado y debería darme siempre n=1? Por lo que deduzco de la explicación que da durante el desarrollo n debe ser el número de dimensiones del espacio (3 en física clásica 4 en relatividad).

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Hola, n es la traza de la matriz , que por ejemplo si fuese la identidad , es fácil ver que el resultado $g_{ab}g^{ab}$ es el número de dimensiones del espacio. En relatividad el espacio es $\mathbb R_1^3$ pero la traza sigue siendo 4.

[inakigarber]

Hola, n es la traza de la matriz , que por ejemplo si fuese la identidad , es fácil ver que el resultado $g_{ab}g^{ab}$ es el número de dimensiones del espacio. En relatividad el espacio es $\mathbb R_1^3$ pero la traza sigue siendo 4.

En ese caso, en el caso del tensor métrico de Lorentz ¿no tendría que ser $-1+1+1+1=2$?

[Richard R Richard]

En ese caso, en el caso del tensor métrico de Lorentz ¿no tendría que ser $-1+1+1+1=2$?

No, fijate que si la metrica es $\mathbb R_1^3$ su inversa (conjugado) tambien es $\mathbb R_1^3$ luego , si se hiciece una multiplicacion de una matriz por su inversa obtienes la matriz identidad... pero la contraccion de indices no da por resultado una matriz (como el resultado de la multiplicacion de matrices ) , sino un escalar, que es la sumtoria de todas las contribuciones de las multiplicaciones las componentes de las dos matrices es decir

$(-1)\cdot(-1)+1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1=4$

esto es dicho mas en general

$g_{ab}g^{ab}=4$ que es el comvenio de sumacion de Einstein $\dst \sum \limits^3_{i=0} \sum \limits^3_{j=0} g_{ij}\cdot g^{ij}=tr(I)$

en cambio una multiplicacion de matrices da por resultado otra matriz $g_{ab}\cdot g^{ab}=I$ cada componente es $I_{ij}=\dst \sum\limits^3_{k=0} g_{ik}\cdot g^{kj}$

como las metricas sin torsión son simetricas, con todos los elementos en la diagonal, su inversa tiene tambien todos los elementos tambien en la diagonal, y cada componente de la inversa tiene el valor el igual al de la componente con los mismos indices de la matriz pero elevado a la -1, luego así
cada elemento diagonal de la identidad sale como

$I_{ii}=a_{ii}\dfrac{1}{a_{ii}}=1$ .


No se si he sido claro, sino, ponemos un ejemplo.


fijate la definicion en los ultimos problemas de http://teoria-de-la-relatividad.blog...r-metrico.html

[inakigarber]

Muchas gracias por tú respuesta.

Has sido muy claro. Todo esto se limita a un producto escalar, podría haber extendido el término a una sumatoria, pero fui incapaz de verlo.
$g^{ab}g_{ab}=g^{11}g_{11}+g^{12}g_{12}+g^{13}g_{13}+g^{21}g_{21}+g^{22}g_{22}+g^{23}+g^{23}g_{23}+g^{31}g_{31}+g^{32}g_{32}+g^{32}g_{32}$
Dado que los elementos no diagonales son nulos. Nos queda;
$g^{11}g_{11}+g^{22}g_{22}+g^{33}g_{33}$.
En el espaciotiempo de Minkowski;
$g^{ab}g_{ab}=(-1)^2+1^2+1^2+1^2=4$

La duda me surge ahora cuando más adelante cuando dice "Si repetimos el procedimiento anterior utilizado para obtener las ecuaciones de campo de Einstein para el vacío, en esta ocasión tomando en cuenta a la constante cosmológica, con todos los componentes del tensor energía-tensión T son igualados a cero, obtenemos lo siguiente:"

$$R_{uv}=\dfrac{1}{2}Rg_{uv}-\Lambda g_{uv}$$

, lo cual nos lleva a $R=4\Lambda$.

Bien, trato de desarrollarlo pero no se si me sale.

$g^{uv}R_{uv}=\dfrac{1}{2}Rg^{uv}g_{uv}-\Lambda g^{uv}g_{uv}$

Como estamos en $\mathbb R^4$, $g^{uv}g_{uv}=4$

$$R=\dfrac{1}{2}4R-4\Lambda$$

.

La duda me ha venido por el hecho de que en la expresión (1) el término $R_{uv}$ representa al tensor de Ricci y el término R situado a la derecha del = representa al escalar de Ricci. Eso me ha llevado a confusión.
En la ecuación (2) ambas R representan lo mismo. Por tanto se pueden despejar y restar sin ningún problema. De esta forma sí me sale el resultado de $R=4\Lambda$

¿Es así?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Si , sin ninguna duda, en la ecuación 1 el escalar de Ricci es un valor único de proporcionalidad que relaciona cada componente de los tensores. Al efectuar la contracción todo el tensor se transforma en un número, un escalar justamente el de Ricci y se puede efectuar el despeje para llegar al resultado al que arribas.