Sobre el significado del tensor de Ricci

[inakigarber]

Buenas noches;

Leyendo sobre el tensor de Ricci en este foro, me encuentro con la siguiente explicación del tensor de Ricci;
"Tómese una pelotita pequeña de partículas de prueba moviéndose juntas en caída libre, y trabájese sobre el marco de referencia local en reposo de la pelotita. Conforme el tiempo transcurre la pelotita cambia de volumen. Calcúlese la segunda derivada evaluada en el tiempo de inicio (cero) y divídase entre el volumen original. El negativo de lo que resulta es igual a la densidad de energía en el centro de la pelotita, más el flujo de momentum-x en la dirección de las equis, más el flujo de momentum-y en la dirección de las yes, más el flujo de momentum-z en la dirección de las zetas."

Bien, supongamos una "pelotita" de partículas de forma esférica y un observador en reposo con el centro de masas de la pelotita. Si esta pelotita se encuentra en un universo ingrávido, el volumen de la pelotita permanecerá inalterado en el tiempo (suponiendo que la gravedad entre partículas es despreciable en un tiempo apreciable). Ahora bien, si la pelotita y el observador están cerca de una masa gravitatoria apreciable en caída libre el observador irá viendo que el volumen de la pelotita irá disminuyendo. De manera que el tensor de Ricci podría considerarse como el cociente de una especie de aceleración (negativa en este caso) del volumen de la pelotita dividido por el volumen inicial de esta. Bien, en las ecuaciones de campo de Einstein tenemos por un lado el tensor de Einstein (que se relaciona con el mentado tensor de Ricci) y por el otro lado el tensor energía-momento que se relaciona con la energía y el momento.
En el caso de un universo sin gravedad (plano) el observador no verá ningún cambio en la posición de las partículas de prueba (lo cual cuadra la no existencia de energía), en el caso de un universo no plano las posiciones de las partículas irán cambiando (lo cual cuadra con la existencia de energía), pero quizá el planteamiento que estoy haciendo sea demasiado sencillo y tal vez he entendido mal el enunciado en negrita y que el autor del foro atribuye a Einstein.

¿Cómo lo veis vosotros?

Saludos.

[Richard R Richard]

Veamos, están hablando de despreciar la gravedad entre partículas que componen la pelotita, es decir que por mas que pase el tiempo no se acercarán unas a otras debido a un proceso gravitatorio provocado por el propio conjunto de pelotitas, Entonces dada una forma a la pelotita , digamos esférica, esta debería mantener la forma y las dimensiones constantes en el tiempo.

Eso sucedería en un espacio plano, euclidiano, o uno de Minkowsky, pero entonces que es lo que proponen , que un observador montado en un sistema de referencia solidario a la pelotita, observara cambios de forma y volumen , cuando pase cerca o se halle en caída libre en un espacio curvo como el de Schwarzchild o Kerr o el que prefieras, las pelotitas externas,que se hallen en un plano perpendicular a la dirección de caida libre, se irán aproximando al centro, y las que están cercanas al eje paralelo a la dirección del cuerpo gravitante se alejan , esto de por resultado que el observador local debería comprobar que la geometría de la pelotita evoluciona hacia un elipsoide, lo que se denomina un proceso de espaguetización. Esto es similar lo que sucede a la tierra con la gravedad lunar para crear mareas.

El volumen de la elipsoide Vs el volumen inicial de la esfera, esta relacionado entonces con el valor del tensor de Ricci del espaciotiempo en el que esta inmersa la esfera.

[inakigarber]

Muchas gracias por tu comentario, creo que es muy ilustrativo.

A ver si voy entendiéndolo. Por lo que entiendo, el hecho de que el tensor de Ricci sea nulo, nos está diciendo que la forma y el volumen de esta nube de partículas será invariante con respecto al tiempo y cuando no lo es el volumen y la forma de la nube cambiarán con el tiempo. Bien, supongamos un observador en el sistema de referencia del centro de masas de la nube de partículas, en el caso del espaciotiempo plano siempre verá una esfera y se mantendrá siempre a la misma distancia de dicha esfera, en el caso del espaciotiempo curvo el observador en el sistema de referencia del centro de masas verá una figura cambiante a la que inexorablemente va acercándose. Si ambos observadores son lo bastante pequeños como para que no se detecten fuerzas de marea ambos podrán decir que están en reposo (ó en caída libre) y tendrían razón.

Luego, lo que un tensor de curvatura (el de Ricci en nuestro caso) nos dice, es como va a cambiar con el tiempo la forma y el volumen del espaciotiempo en el que estamos metidos.

[Richard R Richard]

Muchas gracias por tu comentario, creo que es muy ilustrativo.

A ver si voy entendiéndolo. Por lo que entiendo, el hecho de que el tensor de Ricci sea nulo, nos está diciendo que la forma y el volumen de esta nube de partículas será invariante con respecto al tiempo y cuando no lo es el volumen y la forma de la nube cambiarán con el tiempo.

Bien, supongamos un observador en el sistema de referencia del centro de masas de la nube de partículas, en el caso del espacio tiempo plano siempre verá una esfera y se mantendrá siempre a la misma distancia de dicha esfera,

Lo diria de este modo

Bien, supongamos un observador en el sistema de referencia del centro de masas de la nube de partículas, en el caso del espacio tiempo plano siempre verá una esfera y se mantendrá siempre a la misma distancia de la superficie de dicha esfera,

Esto es claro siempre y cuando idealicemos que no hay atracción gravitatoria, electrostática y otra interacción entre las esferas, ni tampoco expansión del espacio tiempo.

en el caso del espaciotiempo curvo el observador en el sistema de referencia del centro de masas verá una figura cambiante a la que inexorablemente va acercándose.

Eso depende dela distribución de materia en el espacio, si observas el grafico en la espiritualización hay dos direcciones que se acercan y una que se aleja.

Si ambos observadores son lo bastante pequeños como para que no se detecten fuerzas de marea ambos podrán decir que están en reposo (ó en caída libre) y tendrían razón.

Claro esa es la idealización de que en un marco de referencia local, sin alejarse demasiado del origen del sistema de referencia, el espacio tiempo no difiere de un espacio plano de Minkowsky pero a vista macro puede ser cualquiera, Schwarzchild, Kerr, FLRW , o cualquier otro que propongas.

Luego, lo que un tensor de curvatura (el de Ricci en nuestro caso) nos dice, es como va a cambiar con el tiempo la forma y el volumen del espacio tiempo en el que estamos metidos.

aporta además datos sobe la dirección y sentido de las deformación del espacio tiempo, por ejemplo la disección de la espaguetización apunta hacia la distribución de energía momento.