Contradicciones en el retraso de relojes desplazados lentamente según la TRE

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

Gracias por tu comentario.

Sobre mi preocupación en el posible interés de este hilo para otros usuarios, imagino que, aunque nadie más está interviniendo en él, estará siendo de interés para más gente. Al menos, es lo que parece indicar el número creciente de visitas.

Consensos:

• Para eliminar el problema de la aceleración, podemos suponer que el reloj que se desplaza es acelerado un poco antes de pasar por el origen de coordenadas, A, momento en el que se sincronizaría con el reloj ya allí situado, de manera que ahora ya realizaría todo el trayecto de A hasta B de manera inercial. Por tanto, ahora sí podría aplicar la reciprocidad del principio de relatividad.
• En el caso anterior, es válida la afirmación de Einstein de que al llegar a la posición B, el reloj que se ha movido estaría retrasado con el reloj en esa posición B.
• El análisis que hace Einstein en su artículo es correcto ya que lo hace desde el punto de vista de un observador inercial (el observador en reposo), independientemente de que el reloj en movimiento sufra aceleraciones despreciables.
• El retraso provocado por el proceso de sincronización es

  $$\delta'=\pm L' v/c^2$$

Pero no existe una 'unica $u$ que satisfaga $v_A=v+u$ y $v_V=v-u$ a la vez, ya que la adición de velocidades relativistas no es una función lineal.

Efectivamente, no existe una velocidad u simétrica, la relación es aproximada: $v_A \approx v+u$ y $v_V \approx v-u$ relación tanto más exacta cuanto menor es la velocidad u', y recuerda que el análisis es para velocidades u'<<c (relojes desplazados lentamente). Lo importante en este momento es el valor y la validez de la expresión (13). Por ejemplo, supongamos que v = 2000 Km/s y u' = 10 Km/s (una velocidad relativamente alta para considerarse lenta). Pues eso daría unos valores de +u = 9.999553 Km/s mientras que -u = -9.99958 Km/s que, como ves cumple con $|+u| \approx |-u|$ . Los valores que obtenemos usando (13), que repito, es lo importante en esta revisión, serían de +u = 9.999556 Km/s y -u = -9.999556 Km/s, lo que, en mi opinión, valida (13). No obstante, añadiré lo de que la relación es aproximada

revisa los signos que has aplicado en las formulas.

Para mí, los observadores VNA se mueven en la dirección creciente de X del observador estático B. Para N, B se mueve en la dirección negativa de su eje X'. Por tanto, v es positiva al usarla en la composición de velocidades al pasar de N a B.

Actualizo mi tabla de inicio con la aclaración sobre la aproximación en u para u'<<c:

SR primado en reposo con N	SR sin prima en reposo con B
en tiempo $t'=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x'_N=0$ $x'_B=0$ $x'_A=0$ $x'_V=0$	en tiempo $t=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x_N=0$ $x_B=0$ $x_A=0$ $x_V=0$
en tiempo $t'=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v'_N=0$ $v'_B=-v$ $v'_A=+u'$ $v'_V=-u'$	en tiempo $t=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v_N=v$ $v_B=0$ $v_A=\dfrac{v+u'}{1+\dfrac{u'v}{c^2}} \approx v+u$ (válida para u'<<c) $v_V=\dfrac{v-u'}{1-\dfrac{u'v}{c^2}} \approx v-u$ (válida para u'<<c)

Si tu pones las posiciones de NAV en 0 a tiempo cero todos en el mismo lugar en ambos sistemas de referencia , esta bien que lo aclares pero es otro problema distinto al que venias planteando. Solo has mejorado que ahora todas las transformaciones de lorentz son posibles de aplicar directamente.

El problema que estoy planteando es el de dos relojes, el Verde (V) y el Azul (A) que partiendo de una posición inicial N recorren en sentidos opuestos una distancia L' a una velocidad u'<<c con respecto a N. Si en el artículo de Einstein un único reloj se movía de los puntos A a B, en mi análisis son dos relojes los que se mueven partiendo de N hasta recorrer una distancia L'. Aunque en el texto he supuesto que los dos comienzan a moverse al mismo tiempo, nada impide que el proceso sea secuencial, es decir, primero se desplace el reloj Verde y después el Azul ya que el resultado en (26) es específico para cada reloj desplazado. Y el objetivo es ese, calcular si el retraso predicho por Einstein es también obtenido cuando el proceso se analiza desde un observador externo B.

Espero que ahora quede todo más claro y podamos avanzar hasta la ecuación (15) que imagino será el próximo escollo.

Gracias y saludos.

[Richard R Richard]

Para mí, los observadores VNA se mueven en la dirección creciente de X del observador estático B. Para N, B se mueve en la dirección negativa de su eje X'. Por tanto, v es positiva al usarla en la composición de velocidades al pasar de N a B.

Actualizo mi tabla de inicio con la aclaración sobre la aproximación en u para u'&lt;&lt;c:

SR primado en reposo con N	SR sin prima en reposo con B
en tiempo $t'=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x'_N=0$ $x'_B=0$ $x'_A=0$ $x'_V=0$	en tiempo $t=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x_N=0$ $x_B=0$ $x_A=0$ $x_V=0$
en tiempo $t'=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v'_N=0$ $v'_B=-v$ $v'_A=+u'$ $v'_V=-u'$	en tiempo $t=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v_N=v$ $v_B=0$ $v_A=\dfrac{v+u'}{1+\dfrac{u'v}{c^2}} \approx v+u$ (válida para u'<<c) $v_V=\dfrac{v-u'}{1-\dfrac{u'v}{c^2}} \approx v-u$ (válida para u'<<c)

Hola , No hay problema en si, en como plantees tu desarrollo mi interés en seguirlo me hace ser puntilloso , observar contradicciones , y ponerle énfasis en marcar las simplificaciones, por si a posteriori son la causa de que arribes a algún puerto, sea ese puerto el que quieras o no llegar.

El problema que estoy planteando es el de dos relojes, el Verde (V) y el Azul (A) que partiendo de una posición inicial N recorren en sentidos opuestos una distancia L' a una velocidad u'&lt;&lt;c con respecto a N. Si en el artículo de Einstein un único reloj se movía de los puntos A a B, en mi análisis son dos relojes los que se mueven partiendo de N hasta recorrer una distancia L'. Aunque en el texto he supuesto que los dos comienzan a moverse al mismo tiempo, nada impide que el proceso sea secuencial, es decir, primero se desplace el reloj Verde y después el Azul ya que el resultado en (26) es específico para cada reloj desplazado. Y el objetivo es ese, calcular si el retraso predicho por Einstein es también obtenido cuando el proceso se analiza desde un observador externo B.

Es claro que para el observador N en su propio marco de referencia, llegaran al mismo tiempo, pero no para el observador B, tenga $v$ el sentido que tenga, así que no te preocupes, había interpretado la flecha debajo de B como la velocidad propia de B y no como la velocidad de N .... ahora te entiendo un poco mejor.

Sigamos en 13 vuelvas a aplicar otra simplificación...

en 14 lo nombras como calculo del retraso, donde en realidad calculas la proporción de dilatación de un lapso $\Delta t$ del observador B , el retraso sería

$\delta_+ =\Delta t'_{A}-\Delta t'_{N}=\Delta t\left(\sqrt{1-\dfrac{(v+u')^2}{c^2}}-\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right)$

$\delta_- =\Delta t'_{V}-\Delta t'_{N}=\Delta t\left(\sqrt{1-\dfrac{(v-u')^2}{c^2}}-\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right)$

*Corregido

en 15 pones ambas ecuaciones como una sola, y se comprende, pero vuelvo a insistir $|\delta_+|\neq|\delta_-|$ aunque en el limite de $u'\to 0$ ambas tenderán a 0.

hasta 17 te sigo , pero vuelves a introducir una simplificación más aproximando por Taylor.

y en 18 no defines $df/dv$ si no que creo lo pones en 19 diciendo que derivas y reemplazas en 14 pero no se sabe que es lo que has derivado ,y por ahora no me cierra el resultado

Veamos luego que nos deparan las siguientes.

[JGabrielRE]

Veo que has corregido el ^2 en los numeradores de las raices. Actualizo mi respuesta para eliminar la referencia y poner las ecuaciones correctas ;-)

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

Hola , No hay problema en si, en como plantees tu desarrollo mi interés en seguirlo me hace ser puntilloso , observar contradicciones , y ponerle énfasis en marcar las simplificaciones, por si a posteriori son la causa de que arribes a algún puerto, sea ese puerto el que quieras o no llegar.

OK, me parece estupendo que seas lo más puntilloso que puedas. Me da un poco de reparo por todo el tiempo que le estás dedicando, pero por mi parte te agradezco este análisis tan detallado que estamos haciendo. Además, como comentas, cuando finalmente lleguemos a algún puerto, sea el que sea, estaremos más o menos seguros de que es el correcto. Gracias, de verdad

en 14 lo nombras como calculo del retraso, donde en realidad calculas la proporción de dilatación de un lapso $\Delta t$ del observador B , el retraso sería
$\delta_+ =\Delta t'_{A}-\Delta t'_{N}=\Delta t\left(\sqrt{1-\dfrac{(v+u')^2}{c^2}}-\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right)$

$\delta_- =\Delta t'_{V}-\Delta t'_{N}=\Delta t\left(\sqrt{1-\dfrac{(v-u')^2}{c^2}}-\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right)$

Tienes toda la razón, en (14) no es un retraso, es un intervalo de tiempo. El retraso sería el $\pm\delta'$ de la ecuación (15).

en 15 pones ambas ecuaciones como una sola, y se comprende, pero vuelvo a insistir $|\delta_+|\neq|\delta_-|$ aunque en el limite de $u'\to 0$ ambas tenderán a 0.

Cierto, asumiendo la aproximación para (13) que comentamos antes, está claro que también será $|\delta_+|\approx|\delta_-|$
Quizás hacer el análisis a la vez de ambos relojes no sea lo más "intuitivo". Igual debería haber supuesto que los movimientos de ambos relojes V y A no es simultáneo, sino consecutivo o secuencial para no caer en las aproximaciones que comentas. De todas formas, el resultado final que se obtiene en (21) es independiente y válido para cada reloj sin más que tener en cuenta el signo de su velocidad -u'.

hasta 17 te sigo , pero vuelves a introducir una simplificación más aproximando por Taylor.

Claro, esa aproximación es la equivalente a la (4) usada por Einstein y que comentamos al inicio de este análisis. El problema es que, aunque u sí cumple con que u<<c, no se puede afirmar lo mismo de v. Por eso aplico la simplificación de Taylor de (17) y (18).

y en 18 no defines $df/dv$ si no que creo lo pones en 19 diciendo que derivas y reemplazas en 14 pero no se sabe que es lo que has derivado ,y por ahora no me cierra el resultado

No puse los cálculos intermedios porque me pareción un momento de esos en los que decir "hágase como ejercicio"
Igual no te cuadra el resultado porque hay algún error que se me ha pasado. Intento repetir aquí todo hasta (21):

Si defino f(v) como en (16):

$$f(v)= \sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}}=\dfrac {1}{\gamma}$$

entonces tendremos que su df/dv será:

$$\dfrac {df}{dv}=-\dfrac{v/c^2}{\sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}}}$$

Ojo al signo '-' de la derivada porque eso introduce todos los símbolos $\mp$ en las ecuaciones de mi texto. Aquí, para intentar hacerlo más entendible (espero), no lo usaré y me quedaré con el '-' válido para +u.
Ahora la idea es aproximar (14):

$$\Delta t' = \Delta t \sqrt{1-(v + u)^2/c^2} =\Delta t \cdot f(v + u)$$

usando la aproximación de Taylor de (17) (válida, claro, para $u \approx 0$):

$$f(v + u) \approx f(v) + \dfrac {df}{dv} u$$

Por tanto, tendremos:

$$f(v + u) \approx \sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}} -\dfrac{v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \cdot u$$

ahora usamos (13)

$$u\approx \dfrac {u'}{\gamma^2}$$

para sustituir en la expresión anterior:

$$f(v + u) \approx \sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}} -\dfrac{v/c^2}{\sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}}} \dfrac {u'}{\gamma^2}$$

si sitituimos el valor de $\gamma$ y luego sacamos factor común la raiz:

$$f(v + u) \approx \sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}} (1-\dfrac{v u'}{c^2})$$

Ahora podemos sustituir en (14) obteniendo:

$$\Delta t' \approx \Delta t \sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}}(1 -\dfrac{v u'}{c^2} )$$

que es el resultado en (21).

Ahora hay que recordar que la expresión anterior es válida para +u, es decir, para Azul. Para Verde con -u tendremos que:

$$\Delta t' \approx \Delta t \sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}}(1 +\dfrac{v u'}{c^2} )$$

Justo por lo anterior es por lo que comentaba que no importa la aproximación $|\delta_+|\approx |\delta_-|$ ya que lo importante es el resultado en (21).

No sé si los cálculos anteriores te aclaran hasta (21) y si son el desarrollo que necesitabas. Espero no haberme equivocado por mi falta de pericia con el LaTeX.

Ya me comentas.

Gracias y saludos.

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

Creo que al final vas a tener razón con lo de ser puntilloso en los cálculos. Estoy revisando mi texto y creo que es posible que, como ya comentabas, mi error esté en la aplicación de las aproximaciones. Todavía no estoy seguro, pero es muy probable que mi fallo esté en usar el valor dado por (13), sin descartar que haya algún error matemático más (sigo sin obtener un valor acorde con la TRE al quitar dicha aproximación)

Muchas gracias por tu ayuda y por tu tiempo en esta revisión. Me has sido de mucha utilidad. Seguiré revisando el texto y rehaciendo los cálculos a ver si finalmente llego a un puerto correcto.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola JGabrielRE me estoy tomando tiempo para revisar, los cálculos de momento te hago un comentario tu en 13

$$u=u'\dfrac{1-\dfrac{v^2}{c^2}}{1+\dfrac{u'v}{c^2}} \approx\dfrac{u'}{\gamma^2}$$

pero en realidad

$$u=\dfrac{u'}{\gamma^2(1+\dfrac{u'v}{c^2})}$$

si aplicas este resultado a 21

$\Delta t' = \Delta t \dfrac{\sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}}(1 +\dfrac{v u'}{c^2} )}{(1+\dfrac{u'v}{c^2})}$

osea $\Delta t' = \dfrac{\Delta t}{\gamma}$ como es de esperarse


se entiende el riesgo de las simplificaciones, solo estas analizando la variación de primer orden de la transformación de Lorentz

Voy a hacer un intento por las miás de darte una solución alternativa usando lo que ya has planteado, pero en días laborables, no siempre dispongo de tiempo, o de la concentración, por lo general una mala suposición y todo va al basurero, u horas explicando algún gazapo.


Saludos

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

Sí, cansado de buscar el fallo, la pista me la dió tu comentario sobre las aproximaciones. No tiene sentido que, si mis resultados tenían factores del tipo:

$$(1\pm\dfrac{u'v}{c^2})$$

luego despreciara ese mismo factor en (13).

Gracias y saludos.

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

Creo que ya tengo el resultado correcto. Estaba interpretando mal lo que obtenía, cuando lo que está claramente mal es el resultado de (22). El resultado correcto, creo, es $\Delta t' = {\Delta t'_N}$ es decir, que lo correcto es $\delta t' = 0$

Primero voy a rehacer mi texto y generar un nuevo pdf con todo los cálculos completos que llevan a ese resultado. Intentaré también pasarlo por aquí, pero para mí es un engorro cada vez que tengo que insertar una ecuación en LaTeX. A ver cuándo puedo hacerlo, porque me pasa como a ti, es complicado sacar tiempo en días laborables. Pero bueno, te adelanto mis resultados para que pienses si tienen sentido.

si aplicas este resultado a 21

$\Delta t' = \Delta t \dfrac{\sqrt{1-\dfrac {v^2}{c^2}}(1 +\dfrac{v u'}{c^2} )}{(1+\dfrac{u'v}{c^2})}$

osea $\Delta t' = \dfrac{\Delta t}{\gamma}$ como es de esperarse

Creo que tu resultado para (21) no está bien. Recuerda que $\Delta t'$ es el intervalo de tiempo medido por los relojes V y A, y si $\Delta t$ es el tiempo medido por B, la relación anterior no puede ser $\Delta t' = \dfrac{\Delta t}{\gamma}$ sino algo de la forma $\Delta t' = {\Delta t}\sqrt{1-\dfrac {(v\pm u)^2}{c^2} }$ es decir, (14).

Gracias y saludos.

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

Ya he rehecho mi anterior documento corrigiendo los cálculos que provocaron el usar la aproximación en (13).

Como te comenté en mi anterior respuesta, el resultado que obtengo es $\Delta t' = {\Delta t'_N}$ es decir, que lo correcto es $\delta t' = 0$. Mis conclusiones 1 y 2 del texto se mantienen. Obviamente, antes esas conclusiones no se correspondían con los resultados que se obtenían, eso también estaba mal.

Voy a descartar el insertar todos los cálculos aquí en texto porque son muchas ecuaciones y LaTeX me supone un engorro, así que adjuntaré la nueva versión del pdf, lo siento

Pero mi pregunta es, como administrador del foro que eres, si lo adjunto en este mismo hilo o, puesto que todo lo anterior ya no es válido, ¿creo uno nuevo con, por ejemplo, el nombre "Contradicciones en el retraso de relojes desplazados lentamente según la TRE-2" o similar? La idea es que, puesto que el texto con los cálculos es nuevo, los nuevos lectores no tengan que pasar por todos los comentarios sobre un documento que sabemos contiene errores.

Espero tus comentarios.

Gracias y saludos.

[Richard R Richard]

Hola, , para dar buen cierre al hilo, convendría que adjuntases tu nuevo Pdf a este hilo.

Si lo que deseas, es que se vea directamente, para todo público, te recomiendo, que te inscribas como creador de blogs, y vayas paulatinamente creando y editando el articulo como texto y Latex, hasta darle forma final, o bien luego de una revisión incorporar el Pdf a la lista de colaboraciones.
Así estará disponible para todo aquel que quiera hacerte consultas o sugerencias..

Para otro tipo de consultas de gestión mas personales dirígete al Buzón del Rectorado, que con todo gusto te guiaran.

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

OK, sí, sin problema, adjunto el pdf en este hilo: Cálculos_Relatividad_V2_0.pdf

Por ahora, mi única intención es que mis cálculos puedan ser revisados.

He corregido el error detectado al usar (13). De paso, he incluido más explicaciones y aclaraciones derivadas de nuestro intercambio de mensajes. También he quitado las partes que creo menos importante y he dejado sólo el "meollo" del documento. Espero que ahora esté todo algo más claro. Y si, además, está libre de errores, mejor.

Muchas gracias otra vez por tu ayuda. Creo que, gracias a tus comentarios, mi documento es ahora mejor.

Por último, vuelvo a dejar por aquí la lista de consenso, de la que elimino la parte referente a sincronización

Consensos:

1. Para eliminar el problema de la aceleración, podemos suponer que el reloj que se desplaza es acelerado un poco antes de pasar por el origen de coordenadas, A, momento en el que se sincronizaría con el reloj ya allí situado, de manera que ahora ya realizaría todo el trayecto de A hasta B de manera inercial. Por tanto, ahora sí podría aplicar la reciprocidad del principio de relatividad.
2. En el caso anterior, es válida la afirmación de Einstein de que al llegar a la posición B, el reloj que se ha movido estaría retrasado con el reloj en esa posición B.
3. El análisis que hace Einstein en su artículo es correcto ya que lo hace desde el punto de vista de un observador inercial (el observador en reposo), independientemente de que el reloj en movimiento sufra aceleraciones despreciables.

Espero tus comentarios.

Saludos.

[JGabrielRE]

El documento contiene dos errores importantes que son las aproximaciones (13) y (17) (la segunda versión del documento corrige (13), pero no (17)) ya que son de primer orden en u cuando el efecto de dilatación temporal es de segundo orden en u, tal y como indica (6). Si el cálculo se repite incluyendo el segundo orden en u, el resultado no es más que la validación de las hipótesis de Einstein, como no podía ser de otra manera.

Gracias a Richard R Richard por su ayuda y perdón por haberle hecho perder el tiempo.

Saludos.