Divulgación Consulta sobre la ecuación de movimiento relativista planetario

[inakigarber]

Buenas noches;

Siguiendo adelante con la relatividad, en este foro, he encontrado la siguiente ecuación sobre la cual tengo dudas.
Cuando dice "En la Relatividad General, suponiendo que tenemos un cuerpo central de masa M al cual consideramos fijo, la ecuación de movimiento relativista planetario para una partícula de prueba resulta estar dada por la fórmula:"

$\dfrac{d^2 u}{d^2 \theta}+u=\dfrac{\mu}{h^2}+\alpha u^2$
$\alpha=\dfrac{3\mu}{c^2}$
$\mu=GM$

Intento comprobar si es dimensionalmente correcta pero no lo consigo, seguramente me estoy equivocando en algo.

Bien, veamos;

En un párrafo anterior establece para la mecánica clásica (la anterior es una ecuación relativista) la siguiente expresión;
$\dfrac{d^2 u}{d^2 \theta}+u=\dfrac{GM}{h^2}$. Lo que tenemos en esa ecuación es una aceleración $(\dfrac{metros}{Seg^2})$, luego todos los sumandos que aparecen en la primera ecuación deben expresarse en las mismas unidades, (no puedo sumar velocidad + aceleración por ejemplo). Sin embargo en la primera expresión no consigo hacerlos coincidir.
El sumando $\dfrac{GM}{h^2}$ se expresa en unidades de $\dfrac{GM}{x^2}$ (una aceleración, si no estoy equivocado), en tanto que el segundo me aparece expresado en unidades de $\dfrac{GM}{t^2}$, lo cual no me cuadra mucho, a no ser que esté equivocado.

Saludos.

[Alriga]

$\dfrac{d^2 u}{\cancel{d^2 \theta}}+u=\dfrac{\mu}{h^2}+\alpha u^2$

$$\dfrac{d^2 u}{d \theta^2}+u=\dfrac{\mu}{h^2}+\alpha u^2$$

Gabon Iñaki, nota que las dimensiones de los sumandos de esta expresión son coherentes:

$u=\dfrac 1 r$

$$[u]=L^{-1}$$

Como los ángulos son números reales sin dimensiones:

$$\left [ \dfrac{d^2 u}{d \theta^2}\right ]=L^{-1}$$

$[G]=M^{-1}L^3T^{-2}$

$\mu=G M$

$[\mu]=L^3 T^{-2}$

"h" es el momento angular del planeta por unidad de masa

$[h]=\dfrac{[r][m v]}{[m]}$

$[h]=L^2 T^{-1}$

$$\left [\dfrac{\mu}{h^2}\right ]=L^{-1}$$

$\alpha=\dfrac{3\mu}{c^2}$

$[c^2]=L^2 T^{-2}$

$[\alpha]=L$

$$[\alpha u^2]=L^{-1}$$

Como ves, los 4 sumandos que aparecen en la expresión tienen dimensiones $L^{-1}$

Saludos.

[inakigarber]

Muchas gracias por tu explicación.

Creo que no tenía muy claro en que dimensiones se expresa la constante $h$ en este problema, y esto me ha tenido un tanto confundido.

Tu explicación ha sido muy clara.

Saludos.