Consulta sobre la utilidad del sistema de unidades geometrizadas

[inakigarber]

Buenas noches;

Leyendo algunas publicaciones sobre relatividad, pongo por ejemplo "Un viaje por la gravedad y el espaciotiempo" de John Wheeler o el blog "la teoria de la relatividad blogspot", me encuentro con que a veces se expresan magnitudes como la masa en magnitudes de distancia (geometricas), lo cual me confunde mucho. Por ejemplo cuando se dice "la masa del Sol de2.0 × 10 30 kg en unidades SI es equivalente a1,5 km". Supongo que el hacer esto así facilita las cosas, pero yo no consigo entenderlo ¿Cómo puedo expresar una magnitud como la masa en unidades de distancia? Si esto se hace es porque será posible y además práctico, pero a mi me tiene confundido.

Saludos y gracias.

[Alriga]

Para transformar masa en distancia, multiplican la masa por una combinación de constantes universales que tengan como dimensiones “distancia dividido por masa”. Probemos con la combinación

$\dfrac G{c^2}$

$[G]= M^{-1}L^3T^{-2}$

$[c^2]=L^2 T^{-2}$

Vemos que efectivamente:

$\left [ \dfrac G{c^2}\right ]=M^{-1} L$

Por lo tanto, si quieres convertir una masa en distancia multiplica por G y divide por $c^2$

$l_e=m \ \dfrac G{c^2}$

Recíprocamente, si quieres recuperar el valor en kilos de una masa expresada en metros, multiplica por $c^2$ y divide por G.

$m=l_e \ \dfrac{c^2}G$

Saludos.

[inakigarber]

Muchas gracias por tu explicación.

Supongo que podrá hacerse lo mismo con otras magnitudes como el momento lineal ó el momento angular por ejemplo.

Volviendo al caso de la masa, por poner un ejemplo, la masa terrestre es de unos $M_t=5.974*10^24 M$
$\dfrac{L_t}{M_t}=\dfrac{G}{c^2}$, despejando, $L_t=\dfrac{5.974*10^24 M \cdot 6.6711*10^{-11}M^{-1}L^3T^{-2}}{L^2T^{-2}}=0.0044 (metros)$ El resultado de la regla de tres es la mitad del radio de Schwarzchild.

[Alriga]

Volviendo al caso de la masa, por poner un ejemplo, la masa terrestre es de unos $M_t=5.974\cdot 10^{24} \ kg$

$\dfrac{L_t}{M_t}=\dfrac{G}{c^2}$

despejando, $L_t=0.0044 \ (metros)$ = 4.44 mm

El resultado ... es la mitad del radio de Schwarzchild...

Sí, y eso es así no solo para la Tierra, sino para cualquier cuerpo de masa "m" ya que el radio de Schwarzschild es:

$$r_s=\dfrac{2Gm}{c^2}$$

Mientras que la masa expresada en unidades de longitud es:

$$m_L=m \ \dfrac G{c^2}$$

Por lo tanto de (1) y (2) se deduce que:

$$m_L=\dfrac{r_s}2$$

$$r_s=2 \cdot m_L$$

"El Radio de Schwarzschild de un cuerpo es el doble de su masa expresada en unidades de longitud"

Saludos.