Duda sobre la obtención de los símbolos de Christoffel para la métrica de Schwarzschild

[inakigarber]

Buenas noches;

Tengo una duda sobre la obtención de los símbolos de Christoffel para la métrica de Schwarzchild y me gustaría intentar aclarar dudas. La duda me ha venido al intentar resolver un problema que aparece en este hilo. Se trata de resolver el símbolo de Christoffel $\Gamma^t_{tr}$. La fórmula que aparece es

$$\Gamma^t_{tr}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial r}(ln\ g_{tt})$$

.

Sin embargo, las relaciones de calculo abreviado que se aplican para métricas diagonales (como es el caso) establecen para el caso en que el índice superior y uno de los inferiores coincidieran la siguiente relación, la cual no me coincide con la antes indicada;

$$\Gamma^t_{tr}=\Gamma^t_{rt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{rr}}\dfrac{\partial\ g_{tt}}{\partial x^r}$$

.
Sustituyendo valores en esta expresión;
$\dfrac{1}{g_{rr}}=e^{-2\phi}$, donde $\phi_{(r)}$. Entonces obtengo;
$\Gamma^t_{tr}=\dfrac{1}{2}e^{(-2\phi)}e^{(2\phi)}2\phi'=\phi'$, cuyo resultado coincide con el resultado del problema. Tal vez las expresiones (1) y (2) sean equivalentes y no me he dado cuenta. Me tiene un poco confundido está cuestión.

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Revisa la ecuación 2 no está como en el blog, si te fijas luego de aplicar la regla de la cadena a la ecuación 1 te queda la 2, pero repito no está exacta como en el recuadro del blog.

[Richard R Richard]

A ver desde

$\Gamma^t_{tr}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial r}(ln\ g_{tt})$

la regla de la cadena dice que el resultado es un medio de la derivada del logaritmo de la función por la derivada de la función así

$\Gamma^t_{tr}=\Gamma^t_{rt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{tt}}\dfrac{\partial\ g_{tt}}{\partial x^r}$ y no como la has escrito en 2

[inakigarber]

Revisa la ecuación 2 no está como en el blog, si te fijas luego de aplicar la regla de la cadena a la ecuación 1 te queda la 2, pero repito no está exacta como en el recuadro del blog.

Si, creo que el sueño me jugó una mala pasada.

El resultado correcto es si no estoy equivocado $\Gamma^{t}_{tr}=\Gamma^{t}_{rt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{tt}}\dfrac{\partial g_{rr}}{\partial t}$

Creo que así está mejor.

[Richard R Richard]

El resultado correcto es si no estoy equivocado $\Gamma^{t}_{tr}=\Gamma^{t}_{rt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{tt}}\dfrac{\partial g_{rr}}{\partial t}$

No, no, me refiero a que deberías escribir $\Gamma^{t}_{tr}=\Gamma^{t}_{rt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{tt}}\dfrac{\partial g_{tt}}{\partial r}<br />$


veamos , los simbolos Christoffell en el criterio de sumacion de Einstein se escriben


$\Gamma^\alpha_{mu \nu}=\dfrac{g^{\alpha\beta}}{2}(- g_{\mu\nu,\beta} + g_{\nu\beta,\mu} + g_{\mu\beta,\nu})$


donde $\beta$ es un indice dummy (que se repite de 0 a 3 o de 1 a 4 como prefieras)

como la metrica es diagonal y su inversa tambien solo las componentes que tiene indices iguales tienen valor no nulo. así que la puedes escribir de este modo


$\Gamma^\alpha_{\mu \nu}=$

$\dfrac{g^{\alpha 0}}{2}(- g_{\mu\nu,0} + g_{\nu 0,\mu} + g_{\mu 0,\nu})+$

$\dfrac{g^{\alpha 1}}{2}(- g_{\mu\nu,1} + g_{\nu 1,\mu} + g_{\mu 1,\nu})+$

$\dfrac{g^{\alpha 2}}{2}(- g_{\mu\nu,2} + g_{\nu 2,\mu} + g_{\mu 2,\nu})+$

$\dfrac{g^{\alpha 3}}{2}(- g_{\mu\nu,3} + g_{\nu 3,\mu} + g_{\mu 3,\nu})$

por lo que $\alpha$ determina que termino no será nulo si es t entonces $\alpha =0$ y solo no sera nulo el primer termino de los 4 .

luego habra uno , dos o tres sumandos depende ...dentro del paréntesis que no seran nulos si sus indices llegasen a ser iguales , es decir si $\mu=\nu$ o si $\mu=\beta$ o si $\nu=\beta$

como solo dije solo \alpha cuando es igual a \beta , esta sobe la diagonal y no es nulo entonces esa formula podrías escribirla como

$\Gamma^\alpha_{\mu \nu}=\dfrac{g^{\alpha \alpha}}{2}(- g_{\mu\nu,\alpha} + g_{\nu \alpha,\mu} + g_{\mu \alpha,\nu})$

dentro del paréntesis que no seran nulos si sus indices llegasen a ser iguales , es decir si $\mu=\nu$ o si $\mu=\alpha$ o si $\nu=\alpha$

esto es valido solo en matrices diagonales, cuando hay rotaciones ya no se puede aplicar por ejemplo

de alli surgen varias combinaciones en funcion de los valores de de $\alpha$ $\mu$ y $\nu$

veamos si los tres valores son distintos entre si , ninguna componente estara en la diagonal, entonces todos los sumandos serán cero eso lo representa la primera formula del recuadro en el blog con mi notación queda

$\Gamma^\alpha_{\mu \nu}=0$ si $\alpha\neq\nu$ y $\alpha\neq\mu$ y $\mu\neq\nu$

ahora si todos son iguales

$\Gamma^\alpha_{\alpha\alpha }=\dfrac{g^{\alpha \alpha}}{2}(\cancel{- g_{\alpha\alpha,\alpha}} + \cancel{g_{\alpha\alpha,\alpha}} + g_{\alpha \alpha,\alpha})$

dos suman uno resta, queda solo un termino

$\Gamma^\alpha_{\alpha\alpha }=\dfrac{g^{\alpha \alpha}}{2}( g_{\alpha \alpha,\alpha})=\dfrac{g^{\alpha \alpha}}{2} \dfrac{\partial g_{\alpha \alpha}}{\partial \alpha}$

sabiendo que $g^{\alpha \alpha}=\dfrac{1}{g_{\alpha \alpha}}$

$\Gamma^\alpha_{\alpha\alpha }=\dfrac{1}{2g_{\alpha \alpha}} \dfrac{\partial g_{\alpha \alpha}}{\partial \alpha}$

este es el cuarto resultado del recuadro

en el caso que $\alpha$ es el tiempo lo puedes escribir como

$\Gamma^t_{tt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ln\ (g_{tt})}{\partial t}$ lo mismo sucedería cambiando de variable para $r$ , $\theta$ o $\phi<br />$

si los dos de abajo son iguales y el de arriba distinto


$\Gamma^\alpha_{\mu \mu}=\dfrac{g^{\alpha \alpha}}{2}(- g_{\mu\mu,\alpha} + \overbrace{g_{\mu \alpha,\mu}}^{0} +\overbrace{g_{\mu \alpha,\mu}}^{0})$

osea

$\Gamma^\alpha_{\mu \mu}=\dfrac{g^{\alpha \alpha}}{2}(- g_{\mu\mu,\alpha})=\dfrac{-1}{2g_{\alpha \alpha}} \dfrac{\partial g_{\mu \mu}}{\partial \alpha}$

este es el tercer resultado de la tabla

y el segundo resultado surge cuando el de arriba es igual a uno de los de abajo , no importa cual pues es simetrico es simetrico escribo una pero puedes comprobar el otro resultado

$\Gamma^\alpha_{\mu \alpha}=\Gamma^\alpha_{\alpha \mu}=\dfrac{g^{\alpha \alpha}}{2}(- \overbrace{g_{\mu \alpha,\mu}}^{0} + g_{\alpha \alpha,\mu} + \overbrace{g_{\mu \alpha,\alpha}}^{0})$

así

$\Gamma^\alpha_{\mu \alpha}=\Gamma^\alpha_{\alpha \mu}=\dfrac{g^{\alpha \alpha}}{2} g_{\alpha \alpha,\mu} =\dfrac{1}{2g_{\alpha \alpha}} \dfrac{\partial g_{\alpha \alpha}}{\partial \mu}<br />$

y se puede escribir como

$\Gamma^\alpha_{\mu \alpha}=\Gamma^\alpha_{\alpha \mu}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ln\ (g_{\alpha \alpha})}{\partial \mu}$

espero que haya sido claro , jeje

Saludos

[inakigarber]

Muvhas gracias por tu tiempo.

No, no, me refiero a que deberías escribir $\Gamma^{t}_{tr}=\Gamma^{t}_{rt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{tt}}\dfrac{\partial g_{tt}}{\partial r}<br />$

Tienes razón, al operar con las fórmulas me he equivocado y he puesto la fórmula correspondiente a $\Gamma^a_{bb}$. Ahora me queda seguir con el resto de tu mensaje.

Saludos

[inakigarber]

Hasta aquí llego, pero empiezo perderme cuando dices;

como la metrica es diagonal y su inversa tambien solo las componentes que tiene indices iguales tienen valor no nulo. así que la puedes escribir de este modo


$\Gamma^\alpha_{mu \nu}=$

$\dfrac{g^{\alpha 0}}{2}(- g_{\mu\nu,0} + g_{\nu 0,\mu} + g_{\mu 0,\nu})+$

Bien, como el tensor métrico es diagonal tenemos $g^{\alpha 0}=0$ para $\alpha \neq 0$ y $g^{\alpha 0}=1$ para $\alpha = 0$ ¿no debería ser que el único elemento no nulo fuera $\dfrac{g^{00}}{2}[g_{00,0}]$?
O para expresarlo en términos más generales $\dfrac{g^{aa}}{2}[g_{aa,a}]$ para $a=0,1,2,3$

Después de haber leído con detalle tu post y de haber tomado notas, me ha quedado muy claro.

Muchas gracias por tú explicación.

[Richard R Richard]

Hola en una matriz diagonal, los componentes no nulos , estan justamente en la diagonal, y sus indices son iguales es decir $g_{\alpha\alpha}\neq 0$ esto sucede para $g_{tt},g_{rr},g_{\theta\theta},g_{\phi\phi}$

y la inversa de la métrica tambien es diagonal así que las componentes no nulas serán $g^{tt},g^{rr},g^{\theta\theta},g^{\phi\phi}$

Cuando las componentes son nulas, osea cuando $i\neq j$, también lo serán sus derivadas respecto a cualquier índice.

Por lo que $g^{\alpha 0}$ sera distinto de cero, solo si $\alpha=0$

$g_{\mu\nu,0}$ que será sí o sí 0 si $\mu\neq\nu$ y lo será también en caso de que $\mu=\nu$ pero que $g_{\mu\nu}$ sea una función independiente de la variable 0 (del tiempo en este caso) es decir es una constante cualquiera respecto del tiempo esto significaría que $\dfrac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial 0}=0$

el mismo análisis para $g_{\nu 0,\mu}$ que sera sí o sí 0 si $\nu\neq0$ y lo será también en caso de que $\nu=0$ pero que $g_{\nu 0}$ sea una función independiente de la variable $\nu$ ( sea esta o bien $t,r,\theta ,\phi$) es decir es una constante cualquiera respecto de esa variable, esto significaría que $\dfrac{\partial g_{\nu 0}}{\partial \nu}=0$

y también el mismo análisis para $g_{\mu 0,\nu}$ que sera sí o sí 0 si $\mu\neq0$ y lo será también en caso de que $\mu=0$ pero que $g_{\mu 0}$ sea una función independiente de la variable $\mu$ ( sea esta o bien $t,r,\theta ,\phi$) es decir es una constante cualquiera respecto de esa variable, esto significaría que $\dfrac{\partial g_{\mu 0}}{\partial \mu}=0$

Bien, como el tensor métrico es diagonal tenemos $g^{\alpha 0}=0$ para $\alpha \neq 0$

correcto

$g^{\alpha 0}=1$ para $\alpha = 0$

no... $g^{\alpha 0}\neq 0$ pero no necesariamente 1 puede ser cualquier función matemática dependiente de las 4 variables.

¿no debería ser que el único elemento no nulo fuera $\dfrac{g^{00}}{2}[g_{00,0}]$?

no... los elementos no nulos son efectivamente los que repiten indices pero, puede o no suceder que $g_{00,1}\neq 0$ y que $g_{00,2}\neq 0$ y que $g_{00,3}\neq 0$

del mismo modo cuando se repite el indice 1 suceda que $g_{11,0}\neq 0$ y que $g_{11,2}\neq 0$ y que $g_{11,3}\neq 0$ y así con cada indice.

O para expresarlo en términos más generales $\dfrac{g^{aa}}{2}[g_{aa,a}]$ para $a=0,1,2,3$

en general no es cierto $\dfrac{g^{aa}}{2}$ es no nulo seguro pero $[g_{aa,a}]$ no tiene porque ser no nulo depende de la función $[g_{aa}]$ si es o no una constante respecto de $a$, lo mismo para $\dfrac{g^{aa}}{2}[g_{aa,b}]$ ....en general no será cierto!! y aunque $\dfrac{g^{aa}}{2}$ es no nulo, puede que $[g_{aa,b}]$ no sea nulo porque depende de la función $[g_{aa}]$, de si esta es o no una constante respecto dela variable $b$.

[inakigarber]

no... $g^{\alpha 0}\neq 0$ pero no necesariamente 1 puede ser cualquier función matemática dependiente de las 4 variables.

no... los elementos no nulos son efectivamente los que repiten indices pero, puede o no suceder que $g_{00,1}\neq 0$ y que $g_{00,2}\neq 0$ y que $g_{00,3}\neq 0$

del mismo modo cuando se repite el indice 1 suceda que $g_{11,0}\neq 0$ y que $g_{11,2}\neq 0$ y que $g_{11,3}\neq 0$ y así con cada indice.

en general no es cierto $\dfrac{g^{aa}}{2}$ es no nulo seguro pero $[g_{aa,a}]$ no tiene porque ser no nulo depende de la función $[g_{aa}]$ si es o no una constante respecto de $a$, lo mismo para $\dfrac{g^{aa}}{2}[g_{aa,b}]$ ....en general no será cierto!! y aunque $\dfrac{g^{aa}}{2}$ es no nulo, puede que $[g_{aa,b}]$ no sea nulo porque depende de la función $[g_{aa}]$, de si esta es o no una constante respecto dela variable $b$.

Totalmente de acuerdo con tus comentarios. Creo que el ejemplo más claro de mi error estaría en la métrica de Schwarzchild cuyo último componente, el de la coordenada $\varphi$ es $r^2 sen^2(\theta) d\varphi^2$

Creo que con mi anterior post solo conseguí enredar las cosas y meter "ruido". Como tu ya lo aclaraste muy bien en tu post #5 en una métrica diagonal los símbolos de Christoffel cumplen las siguientes relaciones;
$\Gamma^a_{bc}=0$
$\Gamma^a_{ab}=\Gamma^a_{ba}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{aa}}\dfrac{\partial g_{aa}}{\partial b}$
$\Gamma^a_{ab}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{aa}}\dfrac{\partial g_{bb}}{\partial a}$
$\Gamma^a_{aa}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{aa}}\dfrac{\partial g_{aa}}{\partial a}$

El motivo por el que abrí el hilo es porque no entiendo la siguente igualdad $\Gamma^t_{tr}=\Gamma^t_{rt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial r}(Ln g_{tt})=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{rr}}\dfrac{\partial g_{tt}}{\partial r}$

[Richard R Richard]

El motivo por el que abrí el hilo es porque no entiendo la siguente igualdad $\Gamma^t_{tr}=\Gamma^t_{rt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial r}(Ln g_{tt})=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{rr}}\dfrac{\partial g_{tt}}{\partial r}$

Hola eso creí se había entendido en el primer mensaje ,
la igualdad surge de aplicar la regla de la cadena de la derivación $\dfrac{\partial f(g(x))}{\partial x}=f'(g(x)) \dfrac{\partial g(x)}{\partial x}=f'(g(x))g'(x)$
La derivada del logaritmo de x es x a la menos 1

$\dfrac{\partial Ln(g)}{\partial g}= \dfrac{1}{g}$

Y si la función g es $g_{aa}$ entonces

$\dfrac{\partial Ln(g_{aa})}{\partial b}=f'(g_{aa}) \dfrac{\partial g_{aa}}{\partial b}=\dfrac{1}{g_{aa}}\dfrac{\partial g_{aa}}{\partial b}$

Todo esto va multiplicado por la constante 1/2

Además la componente de la inversa con los mismos índices de sobre la diagonal de una matriz diagonal es 1 sobre la componente , de ahí surge la relación con los christofell que van multiplicados por la componente diagonal inversa.


Ahora me he vuelto a fijar y vuelves a escribir mal la relacion que quedaría bien escrita como

$\Gamma^t_{tr}=\Gamma^t_{rt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial r}(Ln g_{tt})=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{tt}}\dfrac{\partial g_{tt}}{\partial r}$

Saludos

[inakigarber]

Ahora me he vuelto a fijar y vuelves a escribir mal la relacion que quedaría bien escrita como

$\Gamma^t_{tr}=\Gamma^t_{rt}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial}{\partial r}(Ln g_{tt})=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{g_{tt}}\dfrac{\partial g_{tt}}{\partial r}$

Saludos

Hice un copia/pega de mi primer post y no me di cuenta de corregir el error.

Creo que con tu explicación me ha quedado todo mucho más claro. Gracias por tu ayuda.