Problema en la obtención de las ecuaciones geodésicas de los símbolos de Christoffel de la métrica de Schwarzschild.

[inakigarber]

Buenas noches;

Este foro que estoy siguiendo plantea la forma de como obtener la métrica de Schwarzschid a través de las tres leyes de Kepler y los intervalos nulos relativistas. El blog enuncia un problema que es el siguiente;

"PROBLEMA: Obtener las ecuaciones geodésicas correspondientes a los símbolos de Christoffel de la métrica de Schwarzschild que sean necesarias para describir el movimiento planetario de un cuerpo sumergido en un campo gravitacional."

El autor comete algún error en el desarrollo de los cálculos de los símbolos de Christoffel, pero a pesar de ello me ha resultado posible entender el desarrollo del problema (aunque tendré que revisarlo más adelante), de manera que llego a entender el porque de las ecuaciones diferenciales (en coordenadas geometrizadas c=G=1) que son los siguientes;

$$\dfrac{d^2 t}{d\tau^2}=-\dfrac{2m}{r(r-2m)}\dfrac{dr}{d\tau}\dfrac{dt}{d\tau}$$

Creo que las siguientes ecuaciones diferenciales que aparecen también las entiendo. El problema viene cuando establece.

$$\dfrac{dt}{d\tau}=\dfrac{kr}{r(r-2m)}$$

.

Intento obtenerla integrando la expresión (1), pero no consigo obtener el resultado esperado. Supongo que debo estar equivocado y que para obtener la expresión (2) deberé seguir otro camino, pero no se cual. Supongo que con la derivada $\dfrac{d\varphi}{d\theta}$ que aparece a continuación será algo parecido. El blog parece interesante porque más adelante explica las órbitas de los planetas y la precesión que estos sufren (algo que me fascina y no entiendo), o sea que sigo sus fórmulas y desarrollos con interés.

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Confieso que me ha costado, pero creo que ya se como lo han calculado y encontré un gazapo que no te permite estar seguro de como es realmente la formula

definamos la siguiente variable

$u=\dfrac{dt}{d\tau}$

entonces la ecuación 1 queda

$\dfrac{d^2 t}{d\tau^2}=\dfrac{d u}{d\tau}=-\dfrac{2m}{r(r-2m)}\dfrac{dr}{d\tau}\dfrac{dt}{d\tau}=-\dfrac{2m}{r(r-2m)}\dfrac{dr}{d\tau} u$

separamos variables y eliminamos el diferencial que esta a ambos lados

$\dfrac{du}{u}=-\dfrac{2m}{r^2-2mr}dr$

y ahora integramos

$\dst\int\dfrac{du}{u}=-\int\dfrac{2m}{r^2-2mr}dr$

$\ln u=ln r-\ln(r-2m)+k$

entonces

$\dfrac{dt}{d\tau}=u=\dfrac{Kr}{r-2m}$

si miras las formulas en el blog veras que tiene un gazapo una $r$ demás, que si fuera cierta su existencia debería haberse simplificado. observa la ecuación 2 tiene r en el numerador y denominador....


Para las demás variables $t, \theta ,\phi,$ el procedimiento es el mismo, quizá sacando algún factor común para pasar u al otro miembro.


Tienes forma de avisarle de los gazapos al autor?

ojo use $K=e^k$

Saludos

[inakigarber]

si miras las formulas en el blog veras que tiene un gazapo una $r$ demás, que si fuera cierta su existencia debería haberse simplificado. observa la ecuación 2 tiene r en el numerador y denominador....


Para las demás variables $t, \theta ,\phi,$ el procedimiento es el mismo, quizá sacando algún factor común para pasar u al otro miembro.


Tienes forma de avisarle de los gazapos al autor?

ojo use $K=e^k$

Saludos

Muchas gracias por tú respuesta, ha sido muy detallada. Yo también me había dado cuenta del error que mencionas. Trataré de ponerme en contacto con el autor

Saludos.

[inakigarber]

Buenas noches;

A ver si lo he entendido bien, aunque no se....

Veamos $\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial \tau^2}=-\dfrac{2}{r}\dfrac{\partial r}{\partial \tau}\dfrac{\partial \varphi}{\partial \tau}$

Si hago $\dfrac{d \varphi}{d \tau}=v$,por lo que $\dfrac{d^2\varphi}{d \tau^2}=\dfrac{dv}{d\tau}$
$\dfrac{d^2 \varphi}{d\tau^2}=\dfrac{dv}{d\tau}-\dfrac{2}{r}v\dfrac{dr}{d\tau}$

Despejando tendré $dv=-\dfrac{2}{r}vdr$
$\dfrac{dv}{v}=-\dfrac{2dr}{r}$ Integrando;
$\int{\dfrac{dv}{v}}=-\int{\dfrac{2dr}{r}}$
$Ln{(v)}=-2Ln{(r)}$
$v=\dfrac{1}{r^2}$

No estoy seguro de que esto sea correcto, ya que la solución que da el autor es $\dfrac{h}{r^2}$

[Richard R Richard]

No estoy seguro de que esto sea correcto, ya que la solución que da el autor es $\dfrac{h}{r^2}$

Si es correcto!!!! y la llamaría H cumple la misma función que K pues $H=e^h$ y proviene de $h$ que es una constante de integración,

Saludos