Problema con cálculo de ecuaciones geodésicas correspondientes a la métrica de Schwarzschild

[inakigarber]

Buenas noches;

Tengo una duda con el cálculo de la ecuación geodésica de la coordenada $\varphi$ en la métrica de Schwarzchild.

Bien, la ecuación general es;
$\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial \tau^2}=-\Gamma^\varphi_{pq}\dfrac{dx^p dx^q}{d\tau d\tau}$

La solución que se da en el blog que estoy siguiendo es la siguiente;
$\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial \tau^2}=-\dfrac{2}{r}\dfrac{dr d\varphi}{d\tau d\tau}$
Utiliza el símbolo de Christoffel $\Gamma^\varphi_{r \varphi}$ por partida doble dada la igualdad $\Gamma^\varphi_{r \varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi r}$. Hasta aquí todo va bien, pero cuando he intentado hacerlo yo me he encontrado con algo que no entiendo. En un paso anterior en el blog se han calculado los Símbolos de Christoffel no nulos de la correspondiente métrica, y obtengo que con el superíndice $\varphi$ además del ya mencionado símbolo $(\Gamma^\varphi_{r \varphi})$ existe al menos otro más, que es el siguiente $(\Gamma^\varphi_{\varphi \theta}=cotg \theta)$. Si no he entendido mal, este símbolo también habría que sumarlo por partida doble, dada la igualdad $\Gamma^\varphi_{\varphi \theta}=\Gamma^\varphi_{ \theta \varphi}$, de manera que el resultado que yo obtengo es el siguiente;
$\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial \tau^2}=-\dfrac{2}{r}\dfrac{dr d\varphi}{d\tau d\tau}-2cotg\dfrac{dx^\varphi dx^\theta}{d \theta d \theta}$

El cálculo en cuestión, incluidos los símbolos de Christoffel a que me refiero se encuentran en el siguiente enlace, en el apartado que dice "PROBLEMA; Obtener las ecuaciones geodésicas correspondientes a los símbolos de Christoffel de la métrica de Schwarzschild ..." Los símbolos de Christoffel los calcula en un apartado anterior del mismo blog

Supongo que este es un error de demasiado bulto, o sea que seguramente habré entendido algo mál.

¿Puede alguien aclararme esta cuestión?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Hola inakigarber veo que estas siendo minucioso y preciso estudiando el blog, llevas toda la razón, le has encontrado una errata, , donde dice cero en rojo para los 14 elementos restantes se les pasó que hay dos que no son cero.
Como a mi también me pareció que faltaba ese miembro, primero verifique que no se simplificara con otro Chistofell, y al no suceder ya estaba seguro del error.

Para estar seguro igualmente te paso el link donde puedes checar que estas en lo correcto.
https://en.wikipedia.org/wiki/Schwar...desic_equation

$\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial \tau^2}+\dfrac{2}{r}\dfrac{dr d\varphi}{d\tau d\tau}+2cotg\dfrac{dx^\varphi dx^\theta}{d \theta d \theta}=0$

Saludos



Edito PD. no es la primera vez que se encuentran errores en ese blog, si mal no recuerdo creo que se le iba a comunicar al autor de aquel gazapo, tuviste novedad, lo corrigió? este es mas notorio.

La ventaja de dejar comentarios debajo de la entrada del blog como sucede en nuestro apreciado sitio , es que si se encuentra un error , es fácil comunicarse con el autor, ni bien lo comenten y tanto mas fácil de corregir , mejorando la calidad de la información brindada.

[inakigarber]

Edito PD. no es la primera vez que se encuentran errores en ese blog, si mal no recuerdo creo que se le iba a comunicar al autor de aquel gazapo, tuviste novedad, lo corrigió? este es mas notorio.

La ventaja de dejar comentarios debajo de la entrada del blog como sucede en nuestro apreciado sitio , es que si se encuentra un error , es fácil comunicarse con el autor, ni bien lo comenten y tanto mas fácil de corregir , mejorando la calidad de la información brindada.

Me puse en contacto con el autor vía email haciéndole saber los errores.

[inakigarber]

Buenas tardes;

Creo que he encontrado la solución;

Las ecuaciones geodésicas que aparecen en este enlace, espero no equivocarme con los subíndices, son los siguientes (en unidades geometrizadas);

$$\dfrac{\partial^2 t}{\partial \tau ^2}=-\dfrac{2m}{r(r-2m)}\dfrac{dr}{d\tau}\dfrac{dt}{d \tau}$$

$$\dfrac{\partial^2 r}{\partial \tau ^2}=-\dfrac{m(r-2m)}{r^3}(\dfrac{dt}{d\tau})^2+\dfrac{m}{r(r-2m)}(\dfrac{dr}{d \tau})^2+(r-2m)(\dfrac{d \varphi}{d \tau})^2$$

$$\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial \tau ^2}=-\dfrac{2}{r}\dfrac{dr}{d\tau}\dfrac{dr}{d \tau}$$

$$\dfrac{\partial^2 \theta}{\partial \tau ^2}=-\dfrac{2}{r}\dfrac{dr}{d\tau}\dfrac{d\theta}{d\tau}-sen(\theta)cos(\theta)(\dfrac{d\varphi}{d\tau})^2$$

Los resultados que yo obtenía (excepto en (4) donde a mí me sale un "+" en vez de un "-", probablemente por error mío) eran los mismos salvo que incluían dos sumandos adicionales. A mí me salía;

$$\dfrac{\partial^2 t}{\partial \tau ^2}=-\dfrac{2m}{r(r-2m)}\dfrac{dr}{d\tau}\dfrac{dt}{d \tau}$$

$$\dfrac{\partial^2 r}{\partial \tau ^2}=-\dfrac{m(r-2m)}{r^3}(\dfrac{dt}{d\tau})^2+\dfrac{m}{r(r-2m)}(\dfrac{dr}{d \tau})^2+(r-2m)(\dfrac{d \varphi}{d \tau})^2+\boxed{(r-2m)sen^2(\theta)(\dfrac{d\theta}{d\tau})^2}$$

$$\dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial \tau ^2}=-\dfrac{2}{r}\dfrac{dr}{d\tau}\dfrac{dr}{d \tau}\dfrac{d\varphi}{d\tau}-\boxed{2cotg\dfrac{dr}{d\tau}\dfrac{d\varphi}{d\tau}}$$

$$\dfrac{\partial^2 \theta}{\partial \tau ^2}=-\dfrac{2}{r}\dfrac{dr}{d\tau}\dfrac{d\theta}{d\tau}+sen(\theta)cos(\theta)(\dfrac{d\varphi}{d\tau})^2$$

.

Yo no sé si lo menciona anteriormente, en todo caso sí lo hace a posteriori, establece una simplificación que es la siguiente $\theta=\pi/2$, lo cual nos lleva a que $cos\theta=0$ y a que $\dfrac{d \theta}{d \tau}=0$, de manera que las expresiones del segundo bloque devienen a las del primero. De manera que las ecuaciones geodésicas expuestas en el primer grupo serían las correspondientes a un objeto en órbita sobre un objeto masivo (las órbitas implican un plano conformado por $\theta$=constante), de manera que las ecuaciones que consideré erróneas, son válidas bajo esa suposición. En ese caso las expresiones (4) y (8) quedarían en;
$\dfrac{\partial^2 \theta}{\partial \tau}=-\dfrac{2}{r}\dfrac{dr}{d\tau}\dfrac{d\theta}{d \tau}$

Saludos.

P.D. creo que en la ecuación (7) se me ha colado un elemento diferencial $\dfrac{\partial r}{\partial \tau}$ de más.

[Richard R Richard]

mmmh , no es la mejor opción y cuando quieras graficar la orbita de un satélite de masa despreciable que inicialmente arranque en $\theta_0=\pi/2$ , evidentemente $\theta$ variará posteriormente con el tiempo, , si lo dejas constante ,será entonces $\phi$ el que lo reemplace, de lo contrario si ninguno varia, entonces no gira y solo tiene movimiento radial , esos términos que ahora desprecias no serán despreciables siempre, el error estará presente , se pueden enmascarar para un punto y una posición dadas, pero no para todo el tiempo y todas las posiciones posibles, lo correcto es el segundo grupo de 4 ecuaciones.

El que fija el plano inicial de giro es $\phi$ no tanto $\theta$,que se ra el encargado de dar la posición , es decir t lleva el tiempo, r controla la distancia al centro respecto del tiempo ,$\theta$ el ángulo de giro, y $\phi$ la inclinación del plano de giro respecto al sistema de coordenadas, es claro que los ángulos iniciales definen la posición y sus derivadas al inicio (la velocidad inicial) definen la trayectoria, pero cambiar las formulas por suponer el ángulo inicial arbitrariamente elegido como $\theta_0=\pi/2$ , elimina algún factor al inicio de la trayectoria , pero no incluir esos factores luego de un cuarto de giro presentará un error haciendo a la curva no representativa de la geodesia.

[inakigarber]

Buenas noches;

mmmh , no es la mejor opción y cuando quieras graficar la orbita de un satélite de masa despreciable que inicialmente arranque en $\theta_0=\pi/2$ , evidentemente $\theta$ variará posteriormente con el tiempo, , si lo dejas constante ,será entonces $\phi$ el que lo reemplace, de lo contrario si ninguno varia, entonces no gira y solo tiene movimiento radial , esos términos que ahora desprecias no serán despreciables siempre, el error estará presente , se pueden enmascarar para un punto y una posición dadas, pero no para todo el tiempo y todas las posiciones posibles, lo correcto es el segundo grupo de 4 ecuaciones.

El que fija el plano inicial de giro es $\phi$ no tanto $\theta$,que se ra el encargado de dar la posición , es decir t lleva el tiempo, r controla la distancia al centro respecto del tiempo ,$\theta$ el ángulo de giro, y $\phi$ la inclinación del plano de giro respecto al sistema de coordenadas, es claro que los ángulos iniciales definen la posición y sus derivadas al inicio (la velocidad inicial) definen la trayectoria, pero cambiar las formulas por suponer el ángulo inicial arbitrariamente elegido como $\theta_0=\pi/2$ , elimina algún factor al inicio de la trayectoria , pero no incluir esos factores luego de un cuarto de giro presentará un error haciendo a la curva no representativa de la geodesia.

Gracias por tú comentario, pero hay cuestiones que no he debido de entender bien. Lo primero que yo quería indicar en mi post anterior es que las expresiones a que yo llegué y las que aparecen en el mencionado post coinciden si se hace $\theta=\pi/2$, ya que $cos\theta=0$ y que $\dfrac{d\theta}{d\tau}=0$.

Por otra parte, las órbitas de los planetas son planas tanto en mecánica clásica como en relatividad general, siendo el ángulo $\theta$ el que determina dicho plano orbital, considerando 0 en el cenit $\pi/2$ sería cuando el ángulo apunta en la dirección horizontal. El ángulo $\varphi$ determinaría la posición de dicho planeta en dicho plano, de manera que tal y como yo lo veo $\theta$ siempre deberá ser constante y ser $\varphi_{t}$ el que varía con el tiempo.

Saludos

[Richard R Richard]

Yo lo entiendo con los roles de $\theta$ y $\phi$ invertidos a lo que comentas, por otro lado entiendo que sería indistinto expresar una geodesia de una u otra forma, quizá alguien más dirima la cuestión