Tensor Proyección

[[Beto]]

Hola, hace bastante tiempo que no publico nada, por curiosidad he estado revisando algunas cosas de relatividad general (Hace ya varios años que no toco el tema) y tengo un par de dudas:

1. La primera es la siguiente:

Considere alguna métrica de espacio-tiempo $g$ y un cuadrivector tipo tiempo normalizado $u$. Demostrar que el tensor $P$ con componentes

${P_\alpha}^\beta={g_\alpha}^\beta+u_\alpha u^\beta$

es un proyector sobre el espacio ortogonal a $u$

Lo que supongo es que tengo que probar básicamente es que se cumplen tres cosas:

• Si $a$ es ortogonal a $u$ entonces $Pa=a$
• Dado un $b$ cualquiera $Pb$ es ortogonal a $u$
• Y además debería de cumplirse que $PP=P$

El problema es que no tengo muy claro como probar que se cumplen esas tres propiedades dada la definición.

2. Esta segunda pregunta esta relacionada con la primera, y es la siguiente:

Considere un observador en un punto p con cuadrivelocidad $u$. Demostrar que el tensor de Einstein contraido dos veces con $u$, es proporcional al escalar de curvatura $R$.

En este caso imagino que debo partir de que:

$G_{\alpha\beta}u^\alpha u^\beta\equiv(R_{\alpha\beta}-\frac{1}{2}Rg_{\alpha\beta})u^\alpha u^\beta$

Acá lo que imagino es que toca usar el tensor de Riemann. Y posiblemente usar el operador de proyección para proyectar todos los índices al espacio tridimensional del observador, Aunque acá no tengo muy claro como realizar el álgebra de índices. He pensado que tal vez la propiedad de que $PP=P$ me ayude un poco, pero no estoy seguro.

Espero me puedan dar una mano, hace tiempo no toco estos temas y lo mas seguro es que varias de las dudas sean algo básicas.

[Weip]

Hola, [Beto], ¡bienvenido de nuevo! Trataré de disipar un poco las dudas del ejercicio.

Sobre el primer punto para comprobar que $P$ es un proyector, es cuestión de hacer álgebra de índices y utilizar las propiedades que nos da el enunciado. Por ejemplo en el primero si $a$ es ortogonal a $u$ entonces $a_{\mu}u^{\mu}=a_{\mu}u_{\nu}g^{\mu\nu}=0$. Por tanto $P^{\beta}_{\alpha}a_{\beta}=g^{\beta}_{\alpha}a_{\beta}+u_{\alpha}u^{\beta}a_{\beta}=g^{\beta}_{\alpha}a_{\beta}=a_{\alpha}$. Por enmedio hemos utilizado $u^{\beta}a_{\beta}=0$, que es el dato que sabíamos. En notación de funciones hemos obtenido $Pa=a$.
El segundo se hace de forma parecida, asociando el proyector a $u$ y utilizando que $u$ es tipo tiempo y normalizado de forma que $u_{\mu}u^{\mu}=-1$.
Para el tercero también hay que estar atento a los índices para no liarnos:

$P^{\alpha}_{\beta}P^{\beta}_{\gamma}=g^{\alpha}_{\beta}g^{\beta}_{\gamma}+u^{\beta}u_{\gamma}g^{\alpha}_{\beta}+u^{\alpha}u_{\beta}g^{\beta}_{\gamma}+u^{\alpha}u_{\beta}u^{\beta}u_{\gamma}=g^{\alpha}_{\gamma}+u^{\alpha}u_{\gamma}+u^{\alpha}u_{\gamma}-u^{\alpha}u_{\gamma}=g^{\alpha}_{\gamma}+u^{\alpha}u_{\gamma}=P^{\alpha}_{\gamma}$

Finalmente para el segundo ejercicio creo que la idea que propones es correcta, al menos me ha salido bastante directo con lo que has dicho. El álgebra de índices va de la siguiente manera:

$R_{\alpha\beta\gamma\epsilon}=P^a_{\alpha}P^b_{\beta}P^c_{\gamma}P^d_{\epsilon}R_{abcd}$

$P_{\alpha\gamma}P_{\beta\epsilon}R^{\alpha\beta\gamma\epsilon}=(g_{\alpha\gamma}+u_{\alpha}u_{\gamma})(g_{\beta\epsilon}+u_{\beta}u_{\epsilon})R^{\alpha\beta\gamma\epsilon}=$

$=g_{\alpha\gamma}g_{\beta\epsilon}R^{\alpha\beta\gamma\epsilon}+g_{\alpha\gamma}u_{\beta}u_{\epsilon}R^{\alpha\beta\gamma\epsilon}+g_{\beta\epsilon}u_{\alpha}u_{\gamma}R^{\alpha\beta\gamma\epsilon}+u_{\alpha}u_{\gamma}u_{\beta}u_{\epsilon}R^{\alpha\beta\gamma\epsilon}$

En este punto hay que hacer varias observaciones. Primero, fíjate que el primer término te da el escalar de Ricci. Luego, el segundo y tercer término tal como están hechas las contracciones te quedará el tensor de Ricci en los dos; como tienen dummy indices puedes reunirlos en un único término. Finalmente el último producto es cero por antisimetría del tensor de Riemann. Al final te quedará:

$P_{\alpha\gamma}P_{\beta\epsilon}R^{\alpha\beta\gamma\epsilon}=R-2R_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}$

Ahora como $P_{\alpha\gamma}P_{\beta\epsilon}R^{\alpha\beta\gamma\epsilon}$ es escalar se puede identificar con el escalar de curvatura en 3D, de manera que tenemos una relación entre el tensor de Ricci y este escalar de curvatura. Sustituyendo en las ecuaciones de Einstein queda una relación entre el tensor de Einstein y el escalar de Ricci.

Espero que no haya errores de tipeo pero podría ser porque ya he corregido varios signos, intercambios de $u$ por $a$, y cosas así. Pero bueno cuando lo escribas si te das cuenta de alguno que se me haya escapado me dices.

[[Beto]]

Muchas gracias Weip, no estaba tan lejos de la solución entonces. Aunque lo que he notado es que ando algo oxidado en el manejo de los índices.

Un saludo.