Curvatura y tamaño del universo

[Weip]

Hola Alriga, solo un apunte rápido.

Lo de "proporcional al cuadrado" lo digo porque si llamamos K a la curvatura del universo se cumple:

$K=\dfrac{H_0}c \ \sqrt{-\Omega_k}$

O lo que es lo mismo, el radio de curvatura es

$R=\dfrac 1 K=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{- \Omega_k}}$

Este cambio de lenguaje que propones es peligroso porque $\Omega_k$ es proporcional al parámetro de curvatura $k$ que sale en la métrica FLRW. Tal cual has definido $K$ no se puede interpretar como una curvatura de ninguna forma y creo podría ser una fuente de confusión para vuestro debate. Como recordatorio, la curvatura de una esfera es $1/R^2$ y no $1/R$, sé que no es exactamente lo que estáis comentando pero la idea de fondo es la misma.

[Alriga]

Gracias carroza , ¿cómo cambiaría el argumento si en vez de decir:

...El valor de $\Omega$, que mide la curvatura del universo, está entre entre 0,9988 y 1.0026, con una probabilidad del 68%. Por tanto, con esta probabilidad, tendría una desviación de la planitud de menos de 0,26 partes en 100...

Dijésemos lo que a mí me parece más real:

...El valor de $\Omega_k$, que es proporcional al cuadrado de la medida de la curvatura del universo de la curvatura del círculo máximo, está entre entre -0.0012 y 0.0026, con una probabilidad del 68% Por lo tanto con esta probabilidad....

Lo de "proporcional al cuadrado" lo digo porque si llamamos K a la curvatura del universo $K_{cir}$ a la curvatura del cículo máximo de este universo, se cumple:

$\cancel{K=\dfrac{H_0}c \ \sqrt{-\Omega_k}}$

$K_{cir}=\dfrac{H_0}c \ \sqrt{-\Omega_k}$

O lo que es lo mismo, el radio de curvatura es

$\cancel{R=\dfrac 1 K=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{- \Omega_k}}}$

$R=\dfrac 1{K_{cir}}=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{- \Omega_k}}$

Saludos.

[carroza]

Gracias, Jaime Rudas . Ahora entiendo lo del 0.2%. Creo que la confusión viene de usar porcentajes tanto para las probabilidades, como para un error relativo, en este caso no de $\Omega_k$, sino de $\Omega$.

A mi juicio, una forma más clara de expreser el resultado sería:

El valor de $\Omega$, que mide la curvatura del universo, estla entre entre 0,9988 y 1.0026, con una probabilidad del 68%. Por tanto, con esta probabilidad, tendría una desviación de la planitud de menos de 0,26 partes en 100.

De la misma forma, suponiendo válida la distribución normal, podríamos extrapolar el resultado a 3 sigma, y decir:

El valor de $\Omega$, que mide la curvatura del universo, estla entre entre 0,9956 y 1.0058, con una probabilidad del 99,7%. Por tanto, con esta probabilidad, tendría una desviación de la planitud de menos de 0,58 partes en 100.

Saludos

[Jaime Rudas]

Sinceramente, no se de donde sale el 0,2% que se menciona.

Yo, obstinadamente, sigo creyendo que ese 0,2% es parte de la confusión que crea el reporte de la colaboración Planck cuando dice:

$\Omega_k=0.0007 \pm 0.0019$ (68%, TT,TE,EE+lowE+lensing+BAO).

The joint results suggests our Universe is spatially flat to a 1σ accuracy of 0.2 %.

O sea, entiendo que consideran que, de la incertidumbre de ±0,0019 en la medida de $\Omega_k$, se puede concluir que el universo es plano con una precisión de 0,0019 ≈ 0,2%.

[Jaime Rudas]

Finalmente aprovecho para preguntar a carroza , que en el foro ha demostrado "saber un huevo" de estadística experimental, si él ve que de alguna manera, la afirmación del paper de la colaboración Planck [...] permite de alguna manera afirmar [lo que responde Lincoln]

A este respecto, en el otro foro, Hornbein comentó:

This is totally bogus. Each sentence in that last paragraph contains a fundamental error. If I were still teaching statistics I would teach my students to identify them. Shame on Don Lincoln.

"Dr. Don Lincoln is a Senior Scientist at Fermilab, America’s leading particle physics laboratory, who has coauthored over 1,500 scientific papers. He was a member of the teams that discovered the top quark in 1995 and the Higgs boson in 2012."

I wish I were shocked that such a distinguished physicist has such a superficial knowledge of statistics, but having taught statistics I can tell you this is not surprising. Understanding statistics is not on the curriculum. It's all about memorizing formulas and doing calculations, a skill that has been obsolete for fifty years.

[carroza]

Hola. Voy a intentar responder a Alriga , aunque mis conocimientos de estadística experimental son básicos.

Si nos dicen que las medidas indican que $\Omega_k=0.0007 \pm 0.0019$, con una confianza del 68%, entonces podemos asumir que 0.0007 es la media y 0.0019 es una desviación estándar, dentro de una distribución probabilistica normal, y a partir de ahi podemos calcular las probabilidades de los distintos valores de $\Omega_k$. La suposición de una distribución normal no es trivial, y probablemente sea inexacta, pero si no suponemos una forma de la distribución de probabilidad, no podemos decir mucho más.

Con esto, y aplicando las distribuciones de probabilidad acumuladas de la distribución normal, que dependen de la función error, https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution obtenemos:

Probabilidad de que $\Omega_k > 0$, es 64,3 %.
Probabilidad de que $\Omega_k < 0$, es 35,7 %.
Probabilidad de que $\Omega_k = 0$, es 0 %.

El ultimo resultado no debe ser sorprendente. A partir de una distribución de densidad de probabilidad continua, la probanilidad de que la variable tome un valor concreto es cero. Las probabilidades no nulas existen cuando cnsideramos un intervalo determinado de valores para la variable en cuestión, en este caso $\Omega_k$. Por tanto, los valores anteriores no deben tomarse como probabilidades de que el universo sea, respectivamente, hiperbólico, esférico o plano.

La formulación correcta, a mi juicio, es considerar la incertidumbre de las medidas a la hora de formular nuestra pregunta sobre las probabilidades. Esta incertidumbre es de 0.0019. Por tanto, podemos plantearnos la siguiente pregunta: Dentro de las incertidumnbres experimentales de 0.0019, si realizamos una medida de $\Omega_k$, y el valor obtenido es de 0,0007, cual es la probabilidad de que el universo sea hiperbólico, esférico o plano. El resultado, usando las distribuciones de probabilidad de la distribución normal, es:

Probabilidad de que el universo sea hiperbólico, y por tanto de radio infinito. $\Omega_k > 0.0019$, sale 26%
Probabilidad de que el universo sea esférico, y por tanto de radio finito $\Omega_k < -0.0019$, es 9%.
Probabilidad de que el universo sea plano, y por tanto de radio infinito $-0.0019 < \Omega_k < 0.0019$, es 65 %.

Sinceramente, no se de donde sale el 0,2% que se menciona. Y no entiendo la conclusiuon de Lincoln. Si yo quisiera calcular la probabilidad de que el universo tuviera un radio mayor que un valor dado R, calcularía el valor, negativo, de $\Omega_k(R)$ para el que se obtiene exactamente el radio R, y evaluaría la probabilidad de que $\Omega_k > \Omega_k(R)$. Pero entonces hablaría sólo de probabilidad, no de "Condfidence level".

Un saludo

[javisot20]

Saludos, para entender el hilo debo preguntar,
¿por qué la planitud del universo observable debe depender del tamaño del universo en su totalidad?

Entiendo que puedo aplicar eso para la tierra y preguntar por su tamaño mínimo para que desde mi punto de vista aparente ser plana (aunque luego no lo sea),
¿pero asumir que la planitud del universo observable depende del tamaño del universo en su totalidad es una suposición arbitraria o es correcta tecnicamente?

[Alriga]

...suponiendo que el universo sea esférico, aunque ya no estacionario, ¿Cuánto tardaríamos en vernos la nuca?...

Con constante cosmológica nula o relativamente muy, muy, pequeña, el universo esférico en expansión alcanzaría un tamaño máximo, al que después le seguiría una contracción hasta llegar a un tamaño cero. Por lo tanto "nos veríamos siempre la nuca" tarde o temprano, el tiempo transcurrido mayor o menor, dependería de en que instante de la historia de ese universo realizásemos el experimento: en el experimento realizado al principio de la historia (con el universo en expansión), la luz tardaría mucho en dar la vuelta completa, mientras que el experimento realizado cerca del final de ese universo, (cuando ya está en contracción), tardaría poco.

Pero con una constante cosmológica de la magnitud que creemos que tiene en nuestro universo:

$\Lambda = 1.1056\cdot 10^{-52} \ m^{-2}$

Y que actualmente constituye el 69% de la densidad de energía total del universo, el tiempo que necesitaría la luz que partiese de nuestra nariz ahora hasta llegar a nuestra nuca sería infinito.

La luz que saliese de nuestra nariz, no solo no sería capaz de dar la vuelta al universo, es que no conseguiría ni siquiera alcanzar el límite del universo observable, que actualmente se aleja de nosotros a velocidad 3.2c, pero cuya velocidad de recesión va aumentando debido a la expansión acelerada del universo causada por una $\Lambda$ de esta magnitud.

Para ampliar información puede resultar interesante el hilo Expansión eterna y geometría del Universo

Saludos.

[Alriga]

Gracias Jaime Rudas , por traer por aquí estos temas de Cosmología que me hacen pensar, reordenar ideas, cuestionarme a mí mismo y a veces descubrir mis errores.

Y esto mismo es lo que aquí ha sucedido, he revisado y no creo tener error en el cálculo del radio de un universo esférico, pero sí en su interpretación y en su comparación con el universo observable. Ayer revisando, miré el libro "Cosmología" de Steven Weinberg, (como bien sabéis el Premio Nobel de Física autor del genial libro "Los tres primeros minutos del Universo") y allí explica:

1. Si $\Omega_k < 0$ el universo es "esférico" es decir, si su topología es simple, el universo como un todo, es una 3-Esfera. Y en la expresión:

$R=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{- \Omega_k}}$

"R" es el radio de curvatura del universo 3-esférico. La longitud del círculo máximo de ese universo 3-esférico, es decir la trayectoria que "yendo en línea recta regresa al punto de partida" o como Einstein o carroza dicen hoy, la longitud a recorrer para "partiendo de nuestra nariz llegar a nuestra nuca" es:

$L=2\pi R$

2. Que el volumen tridimensional de ese universo 3-esférico se calcula mediante:

$V=2\pi^2 R^3$

Con esto, reitero que si las medidas de la Colaboración Planck-2018 afirman que $\Omega_k=0.0007 \pm 0.0019$ y cogemos el extremo de la tolerancia para un universo esférico, el radio de curvatura del universo esférico debería ser al menos:

$R=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{- \Omega_k}}=\dfrac{299792.458}{67.66} \cdot \dfrac 1{\sqrt{0.0012}}=127908 \ Mpc= 417 \ Gal$

Hasta aquí he repetido el cálculo que ya había hecho antes, a partir de aquí, esto es lo que no había tenido en cuenta antes:

$L=2621 \ Gal$

$V=1433486966 \ Gal^3$

Vamos a realizar ahora la comparación de este universo 3-esférico completo con una de sus partes, el universo observable. El radio de la esfera que centrada en nosotros constituye el universo observable se llama Horizonte de Partículas y su valor (no repito aquí el cálculo de este valor, porque éste es un valor que no cuestiona nadie) es:

$HP=46.2 \ Gal$

Es decir, si nosotros "congelásemos el universo ahora" y "empezásemos a andar" en línea recta en el universo estático congelado, deberíamos recorrer 46.2 Gal hasta llegar al borde del universo observable, pero aun nos faltarían

2621 - 46.2 = 2575 Gal

para dar la vuelta completa al universo 3-esférico y regresar al punto de partida. Aunque en los últimos 46.2 Gal de esos 2575 volvería a estar dentro de universo observable, "pero por el otro lado"

Así pues, la comparación unidimensional como cociente de longitudes entre este universo 3-esférico completo y el universo observable es

L / 2HP = 2621 / 92.4 = 28.4

Vemos pues, que necesitamos recorrer 28.4 veces el diámetro del universo observable para recorrer la longitud total de un círculo máximo de este universo 3-esférico completo. O dicho al revés, el diámetro del universo observable es el 3.5% de la circunferencia máxima de este universo 3-esférico completo.

El volumen del universo observable es el del interior de la 2-Esfera centrada en nosotros de radio 46.2 Gal

$V_{hp}=\dfrac 43 \pi (HP)^3=413061 \ Gal^3$

La relación de tamaños entre este universo 3-esférico total y el universo observable es:

$\dfrac V{V_{hp}}=3470$

Podemos pues decir, que si el universo es esférico, de acuerdo a nuestras mejores medidas, es como mínimo 3470 veces mayor que el universo observable. O equivalentemente, que el volumen del universo observable es como máximo el 0.03% del volumen del universo 3-esférico

Finalmente aprovecho para preguntar a carroza , que en el foro ha demostrado "saber un huevo" de estadística experimental, si él ve que de alguna manera, la afirmación del paper de la colaboración Planck que dice:

$\Omega_k=0.0007 \pm 0.0019$ (68%, TT,TE,EE+lowE+lensing+BAO).

The joint results suggests our Universe is spatially flat to a 1σ accuracy of 0.2 %

permite de alguna manera afirmar que:

«The key is the 0.002 uncertainty in the curvature. 1/0.002 = 500. The central value is consistent with zero, however the uncertainty shows allowed deviation.

Accordingly, at a 68% confidence level, the radius of the universe is >500x bigger than the visible universe.»

Saludos.

[Richard R Richard]

Recuerda que el perímetro es varias veces mayor que universo observable, por lo que, por definición, nunca podremos observar nuestra nuca.

Para hilar mas fino, eso sería en el caso que siga la expansión con la tasa que hoy tiene y que su tasa de cambio continúe igual o en aumento.
Como nada indica que pueda haber otras variaciones a futuro resultaría cierto entonces.

[Jaime Rudas]

Parafraseando a Einstein, y suponiendo que el universo sea esférico, aunque ya no estacionario, ¿Cuanto tardaríamos en vernos la nuca? Esto es otra forma de plantear la pregunta de cuál es el radio (o mejor, el perímetro) del universo, pero ya no en el instante actual, sino en promedio entre el instante en el que la luz sale de nuestra nuca y el instante en que llega a nuestros ojos.

Recuerda que el perímetro es varias veces mayor que universo observable, por lo que, por definición, nunca podremos observar nuestra nuca.

[carroza]

Hola.

He intentado seguir el hilo, y creo que me queda claro que hay una definición del radio del universo, que unicamente es válida para $\Omega_k < 0$ , y que llevaría a una cota mínima de 417 $\times 10^9$ años-luz. Esta evaluación parte del valor actual de la constante de Hubble $H_0$

Por otro lado, hay una evaluación de la posición horizonte de sucesos, que no es $c/H_0$, ya que tiene en cuenta, de alguna forma, la evolución temporal de la constante de Hubble.

En este contexto, creo recordar la explicación "divulgativa" que dió Einstein de la relatividad general: Si tengo una agudeza visual perfecta, y miro en una dirección, y espero el tiempo suficiente, acabaré viendo mi nuca. Esta imagen de Einstein correspondía a su creencia de que el universo era esférico y estacionario.

Parafraseando a Einstein, y suponiendo que el universo sea esférico, aunque ya no estacionario, ¿Cuanto tardaríamos en vernos la nuca? Esto es otra forma de plantear la pregunta de cuál es el radio (o mejor, el perímetro) del universo, pero ya no en el instante actual, sino en promedio entre el instante en el que la luz sale de nuestra nuca y el instante en que llega a nuestros ojos.

Un saludo

[Richard R Richard]

La forma de calcular el radio del universo completo si $\Omega >1$ es la que tú has escrito en el post#1

$R=\dfrac{c}{H_0} \dfrac{1}{\sqrt{\lvert{\Omega_k}\rvert}}=\dfrac{c}{H_0 \sqrt{\Omega -1}}$

Nota que no lo has entendido bien

$\Omega_k \neq \Omega -1$

$\Omega_k=1-\Omega$

Para que la geometría sea esférica se debe cumplir $\Omega > 1 \ \rightarrow \ \Omega_k < 0$. Solo si se cumple éstas, existe "radio del universo" que se calcula indiferentemente mediante la expresión:

$R=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{- \Omega_k}}$

O alternativamente mediante:

$R=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{\Omega - 1}}$

entiendo que$|\Omega-1|=|1-\Omega|=|\Omega_k|=|-\Omega_k$| , da el mismo resultado,

, el limite de la máxima curvatura, es el marca el radio mínimo como una inversa, más te acercas a 0 mayor debe ser el radio del universo minimamente necesario.
Es decir instrumentos mas precisos hara que la duda sobre la posible esfericidad sea menor y el radio de esa esfera minima cada vez mayor , hoy el diametro esta en 500 longitudes de Hubble... que no es lo mismo que decir 500 radios del universo observable sino que su equivalente es 142.85 universos observables. es numero viene de dividir por el ratio de 46.5Gyl/13.8 Gyl que es el ratio de ambas longitudes RUO/LH respectivamente(a menos que ya la formula ya considere tal conversion)

[Alriga]

...pero sin embargo comentas que necesitas curvatura negativa, para que la geometría sea esférica pero el dato que usas al inicio del hilo 1.00125 si le restas 1 te queda positivo, entiendo que de ese dato no llegas lo que necesitas...

Nota que no lo has entendido bien

$\Omega_k \neq \Omega -1$

$\Omega_k=1-\Omega$

Para que la geometría sea esférica se debe cumplir $\Omega > 1 \ \rightarrow \ \Omega_k < 0$. Solo si se cumple éstas, existe "radio del universo" que se calcula indiferentemente mediante la expresión:

$R=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{- \Omega_k}}$

O alternativamente mediante:

$R=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{\Omega - 1}}$

....Si no me equivoco c/Ho es el radio de Hubble no el de universo observable ,que si no me equivoco de nuevo en algún lado hemos debatido es muchas no se cuantas veces mayor , así que quedo sin comprender el porqué se usa esa fórmula, será para mi algo para leer y aprender...

$\dfrac c{H_0}$ es "la unidad de medida de longitud" de todas las distancias cosmológicas. Las Ecuaciones de Friedman conducen a que todas las distancias cosmológicas siempre se calculen mediante alguna expresión del tipo:

$\displaystyle r=\boldsymbol{\dfrac c{H_0}} \int_{z_1}^{z_2} f(x) \ \dd x$

Lo único que varía de unas distancias a otras es la función a integrar y los límites de integración. Pero como el resultado de estas integrales es adimensional, es su producto final por c/Ho lo que las convierte en una distancia.

Saludos.

[Richard R Richard]

Veo, que apuntas a algo más técnico, en lo que no puedo colaborar, pero sin embargo comentas que necesitas curvatura negativa, para que la geometría sea esférica pero el dato que usas al inicio del hilo 1.00125 si le restas 1 te queda positivo, entiendo que de ese dato no llegas lo que necesitas.


Pero si rumbearia con estos

• Debido a las tolerancias instrumentales, el universo podría ser esférico con una de hasta -0.0013 y yo "no lo veo" puesto que lo que veo es 0.0007

Si no me equivoco c/Ho es el radio de Hubble no el de universo observable ,que si no me equivoco de nuevo en algún lado hemos debatido es muchas no se cuantas veces mayor , así que quedo sin comprender el porqué se usa esa fórmula, será para mi algo para leer y aprender.