Volumen de una esfera en geometría no euclidea

[guibix]

Parto del tensor métrico, para una geometría curva. https://en.wikipedia.org/wiki/Friedm...3Walker_metric

$(ds)^2 = (dr)^2 {1 \over 1 - K r^2} + r^2 (d\theta)^2 + r^2 \sin^2(\theta) (d \phi) ^2$

Esto corresponde a caracterizar nuestros puntos dando las coordenadas polares $(r, \theta, \phi)$. Aqui hay que tener cuidado, porque $r$, a pesar de su nombre, no es estrictamente el radio de la esfera que buscamos, sino una variable util.

Ahora, consideremos el volumen del objeto geométrico que se caracteriza por $r<a$, y valores arbitrarios de $\theta , \phi$. Estaremos de acuerdo en que este objeto es una esfera, aunque no es correcto, como veremos, que tenga radio a. Este volumen se obtiene integrando las variables con la raiz cuadrada del determinante del tensor métruco:

$V(a) = \int dr d\theta d\phi \sqrt{|g|} = \int dr {r^2 \over \sqrt{1 - K r^2}} \sin(\theta) d\theta d\phi = 4 \pi \int_0^a dr {r^2 \over \sqrt{1 - K r^2}}$

el resultado dela integral es $V(a) = {4 \pi \over K^{3/2}} \left( { \arcsin( \sqrt{K}a) \over 2} -{ \sqrt{K}a\sqrt{1-Ka^2} \over 2 } \right)$

Ahora, para obtener el "radio" R de esta figura hay que obtener la distancia del punto con r=0 al punto co r=a, usando el tensor métrico:

$R = \int_0^a dr {1 \over \sqrt{1 - K r^2} } = K^{-1/2} \arcsin(\sqrt{K}a) )$

Con esto, nos queda el volumen de la esfera en función del radio como

$V(R) = {4 \pi \over K^{3/2}} \left( { \sqrt{K}R \over 2} -{ \sin(2\sqrt{K}R) \over 4 } \right)$

Saludos carroza! Cuanto tiempo!!

Disculpa quise leer rápido y ahora veo que pusiste la solución , Por eso iba siguiendo el hilo y no entendía de dónde salía.

¿Pero entonces mi métrica no es correcta?

No entiendo lo de ${1 \over 1 - K r^2}$ en las coordenadas esféricas, se anula para $K=0$ pero no veo como sale. Por lo que entiendo, y al menos en el caso de curvatura constante, la dirección radial no debería ser afectada por la curvatura: si avanzo 1m radialmente, avanzo un 1m por la superfície. Claro que dices que tu $r$ no es un radio, si no un parámetro útil. Pero no entiendo su propósito aunque lo de la curvatura gausiana es un tema que tengo pendiente y hay algo que no veo.

Si la tuya es correcta será que la mía no lo es? No puedo negar que la tuya no lo sea, pero lo que no veo es porque la mía no lo es.

¿Acaso no son las coordenadas hyperesféricas $\dd s^2=\dd r^2+\frac{1}{K}\sin^2(r\sqrt{K})\dd\Omega^2$?

¿Cuál es la diferencia con tu versión?

[Weip]

Saludos carroza! Cuanto tiempo!!

Disculpa quise leer rápido y ahora veo que pusiste la solución , Por eso iba siguiendo el hilo y no entendía de dónde salía.

¿Pero entonces mi métrica no es correcta?

No entiendo lo de ${1 \over 1 - K r^2}$ en las coordenadas esféricas, se anula para $K=0$ pero no veo como sale. Por lo que entiendo, y al menos en el caso de curvatura constante, la dirección radial no debería ser afectada por la curvatura: si avanzo 1m radialmente, avanzo un 1m por la superfície. Claro que dices que tu $r$ no es un radio, si no un parámetro útil. Pero no entiendo su propósito aunque lo de la curvatura gausiana es un tema que tengo pendiente y hay algo que no veo.

Si la tuya es correcta será que la mía no lo es? No puedo negar que la tuya no lo sea, pero lo que no veo es porque la mía no lo es.

¿Acaso no son las coordenadas hyperesféricas $\dd s^2=\dd r^2+\frac{1}{K}\sin^2(r\sqrt{K})\dd\Omega^2$?

¿Cuál es la diferencia con tu versión?

Hola guibix, la diferencia entre las dos métricas es un cambio de coordenadas que puedes ver en este enlace de la wikipedia en el apartado "Normalización", caso $k>0$ (es la versión española del link de carroza y muestra el cambio de coordenadas concreto). La métrica del hilo es las misma pero quitando el tiempo. Por tanto, tu métrica y la de carroza son correctas las dos.

[carroza]

Hola, guibix . Efectivamente, como dice Weip , ambas descripciones son idénticas, solo que utilizan variables diferentes.

En mi caso, mi "r" es tal que todos los puntos de una circunferencia con los mismos valores de "r" ( por ejemplo, los valores con $\phi=0$ y distintos valores de $\theta$ ) tienen un perimetro $P= 2 \pi r$. Sin embargo, el radio, es decir, la distancia de estos puntos al origen no es "r", sino $R = \int_0^r dr' {1 \over \sqrt{1 - K r'^2} } = K^{-1/2} \arcsin(\sqrt{K}r) )$. El cociente de ambos es algo menor que $2 \pi$ .

En tu caso, tu "r" es tal que todos los puntos de una circunferencia con los mismos valores de "r" ( por ejemplo, los valores con $\phi=0$ y distintos valores de $\theta$ ) tienen un perimetro $P= 2 \pi \sin(\sqrt{K} r) /\sqrt{K}$. Sin embargo, el radio, es decir, la distancia de estos puntos al origen es $R=r$. El cociente de ambos es, igualmente, algo menor que $2 \pi$ .

Puedes hacer el ejercicio de obtener el volumen de la esfera, en función del radio, poniendo el factor $\sqrt{|g|}$, en tus variables, y debes obtener la misma expresión que yo.

Un saludo