Velocidad de la luz para observadores no inerciales

[Richard R Richard]

La caída libre si tu lo quieres llamar así es en todo instante, al principio no lo veía, Azorrac viene delante de Piew (que salio más tarde) viene más despacio pero acelerando, entonces Piew viene con velocidad constante alcanzándolo, justo cuando lo alcanza sus velocidades son iguales, o piensalo como la velocidad relativa nula, luego como Azorrac sigue acelerando vuelve a adelantarse. es negativa la aceleracion cuando evaluando la distancia que los separa, haces la cuenta de la posición de Piew menos la posición de Azorrac

[Richard R Richard]

Es que ya tengo la tara para entenderlo, imagina si encima tengo que adivnar donde va la c? jeje

[javisot20]

Vale, igual esto es lo que no entiendo, ¿por qué es -9,8m/s^2 y no 9,8m/s^2?.
-9,8m/s^2 por estar subiendo pero en el instante del beso comienza la caída libre.

[carroza]

Pon la c en la formula de v, para no irritar más a Richard.

[carroza]

Es cierto que Tosivaj-Romeo viene de estar acelerado, pero en el instante de intercambiar un casto beso con Xibuig-Julieta su aceleración es =0. Si decimos que Tosivaj-Romeo es diferente a Xibuig-Julieta debido a que "viene" de ser un observador acelerado implicaría introducir nociones de retrocausalidad.

No, Javisot. En el instante del beso la aceleractón de Tosivaj-Romeo, visto desde el palacio de los Capuletos, es g (-9.8 m/s^2) . La velocidad puede ser instantaneamente cero, aunque la aceleración sea no nula.

Un saludo

[guibix]

Lo único que no descubro es de donde viene $v = \tanh(1) c = 0.761 c$
...

en que le sigo errando?.

Esto es fácil de deducir por la igualdad

$$\left(\gamma,\frac{\gamma v}{c}\right)=(\cosh \frac{\alpha\tau}{c},\sinh\frac{\alpha\tau}{c})$$

Para obtener la $v$ solo hay de dividir la segunda componente con la primera

$$\frac v c =\frac{\gamma v}{\gamma c}=\frac{\sinh\frac{\alpha\tau}{c}}{\cosh\frac{\alpha\tau}{c}}=\tanh\frac{\alpha\tau}{c}$$

Un saludo.

[carroza]

Muchas gracias, Guibix.

A ver si lo voy entendiendo:

Todos los observadores que ocupan posiciones fijas en el SRA que describes, el tren, vamos, deben moverse, con respecto a un observador externo, con diferentes aceleraciones, que deben ser inversamente proporcionales a la posición. Eso hace que este SRA solo sea aplicable para valores de x iniciales "positivos".

Entiendo que la escala de distancias en este SRA son los propios vagones del tren. Así, cualquier evento que describieramos en ese SRA lo describiríamos con una coordenada X que corresponde a si estamos en el vagón 1, en el vagón 100, o en el 1237.

Hasta ahi, perfecto. La duda me surge con las escalas de tiempo. Si lo estoy entendiendo bien, para que el SRA tenga sentido, y todos los observadores del SRA consideren que los demás del SRA estén en reposo con respecto a ellos, deben tener un funcionamiento de sus relojes un poco peculiar: Cuando para Arrozac ha transcurrido una unidad de tiempo propio, para Xiep han transcurrido 2/3 y para Tosivaj 2 unidades (tu indicas 1/2, pero creo que hay una errata ahi).

Esto me plantea el problema siguiente:
Imaginemos que Arrozac, Xiep y Tosivaj, antes de montarse en el tren SRA, compran en la tienda una red de difracción y un osciloscopio, marca ACME, todos idénticos. También podrían comprar relojes CASIO, como Shakira recomendó a Piqué. Ahora se montan en el tren SRA. Si yo lo estoy entendiendo bien, para que les cuadraran los números del SRA, tendrían que modificar sus relojes, con respecto al reloj CASIO estándar, que consideraremos que es el reloj físico.

Esto me lleva a que, si Arrozac, Xiep y Tosivaj, puestos en las posiciones que indicas del tren SRA, miden la velocidad de la luz haciendo uso de las red de difracción y el un osciloscopio, marca ACME, sin modificarlos para que cuadren con las exigencias del SRA, van a obtener la velocidad de la luz c.

Solamente cuando modifican sus relojes, y en este caso el osciloscopio, para que cuadren los números con las coordendadas del SRA, es cuando obtendrán velocidades diferentes a c.

¿Te cuadra esta interpretación?


Un saludo

[Richard R Richard]

Xibiug responde pacientemente: "Bueno, la velocidad de la luz no la podrás alcanzar. Yo calculo que, cuando pasen 0,97 años (c/g) para tí, es decir, para tu tiempo propio, para mí habrán transcurrido un tiempo $t = c/g \sinh(1)$, o sea de 1,14 años , y estarás a una distancia a de mí $x = c^2/g (\cosh(1)-1)$, o sea de 0,527 años-luz. En ese punto, te estará moviendo a una velocidad $v = \tanh(1) c = 0.761 c$"

Lo único que no descubro es de donde viene $v = \tanh(1) c = 0.761 c$ el resto he visto como deducirlo

según el hilo de pod

$v = \frac{\dd x}{\dd t} = \sqrt{ \frac{A}{B} }$. poniendo a c donde va

$v =c \frac{\dd x}{\dd t} = c\sqrt{ \frac{A}{B} }$.

luego según la métrica y el punto que escoges

$v =c \sqrt{ \frac{\alpha x}{1} }=c$.??

entendería que $v=\dfrac XT$ pero eso daría $v=\dfrac{x \cosh (\alpha t )}{\dfrac{x}{c} \sinh (\alpha t)}=\dfrac{c}{\tanh 1}=1.31c?? \neq 0.761c$ donde $1.31=1/0.761$

en que le sigo errando?.

[javisot20]

Ok. Un ejemplo literario que quizás ayude.

Xibuig-Julieta está su observatorio, que a la sazón está en el balcón del palacio de los Capuletos en Verona.

Tosivaj-Romeo se cuela en el jardín del palacio de los Capuletos, provisto de una cama elástica, sobre la que salta, para describir una trayectoria acelerada, de subida y caida libre, que lo hace coindidir en un instante dado, en el que tiene la misma posición (casi) y la misma velocidad que Xibuig-Julieta. Ese instante pueden utilizarlo para intercambiar un casto beso, o bien para tomar las medidas del suceso de Azorrac y Piex.

Tosivaj-Romeo y Xibuig-Julieta tienen, en un instante dado, la misma posición y velocidad, aunque uno está acelerado, y el otro no.

Saludos

Es cierto que Tosivaj-Romeo viene de estar acelerado, pero en el instante de intercambiar un casto beso con Xibuig-Julieta su aceleración es =0. Si decimos que Tosivaj-Romeo es diferente a Xibuig-Julieta debido a que "viene" de ser un observador acelerado implicaría introducir nociones de retrocausalidad.

Sin introducir nociones de retrocausalidad, Xibuig-Julieta y Tosivaj-Romeo son equivalentes en el momento de intercambiar un casto beso, eso es el principio de equivalencia, suponía.

[guibix]

Ok. Continuamos la historia introduciendo a observadores no locales

Creo que añadir más observadores supone un reto mayor si quieres resolver un problema difícil. Pero no creo que ayude a comprender porqué un SRA puede medir distintas c.

La necesidad de unas coordenadas de Rindler viene de un problema mucho más simple: ¿Cómo aceleras constantemente una regla hacia la dirección que marca? Si tienes en cuenta la longitud de la regla, se puede ver de que los dos extremos no pueden acelerar con la misma aceleración y mantener la regla en su tamaño propio. Si dos cohetes aceleran igual, uno detrás de otro y atados por una cuerda, sentirán una tensión en la cuerda y deberán romperla si quieren mantener la misma aceleración.

Para que la regla (o la cuerda) no se "estire", cada punto de la regla deberá tener una aceleración diferente. El extremo delantero acelerará menos que el extremo trasero. Así podemos decir que, a pesar de que cada punto de la regla está acelerando con distinta aceleración, toda la regla está en reposo consigo misma.

Lo que hacen las coordenadas de Rindler es considerar la regla en reposo como su coordenada espacial.

Pues bien, Xibuig propone un experimento donde, usando coordenadas de Rindler para un observador con aceleración constante $\alpha,$ podamos medir variaciones en c.

Como nos sobra presupuesto y tiempo, Xibuig propone construir un tren interestelar con infinidad de pequeños vagones. Cada vagón tiene un reloj, una regla que lo cruza, propulsores propios y cualquier instrumento para medir lo que sea que se quiera. El tren medirá $c^2/\alpha_0$ metros por lo que los vagones pueden considerarse infinitesimales. El $\alpha_0$ es la aceleración que usaremos como referencia, la del SRA que queremos construir con Rindler.

Definimos un SRI $S$ donde la tierra está en reposo centrado en $(x=c^2/\alpha_0)$ y el tren va desde $\frac{c^2}{2\alpha_0}$ a $\frac{3c^2}{2\alpha_0}.$

Este SRI será el de Xibuig. Nuestro tres héroes ocuparán los vagones en cada extremo del tren y en el centro. Tosivaj se situará detrás en $\frac{c^2}{2\alpha_0},$ Arrozac en $\frac{c^2}{\alpha_0}$ junto a Xibuig y en $\frac{3c^2}{2\alpha_0}$ se situará Piex Todos en su sitio y en reposo entre ellos en S, sincronizarán sus relojes para que todos reinicien sus relojes a 0 en cierto momento de S. En ese momento todo el tren se pone en marcha a la vez y cada vagón acelera con una aceleración $\alpha=c^2/x.$

Por lo tanto Tosivaj acelera a $2\alpha_0$, Azorrac a $\alpha_0$ y Piex a $2\alpha_0/3.$. Además, en el mismo instante 0 cada vagón emite un pulso de luz en todas direcciones. Con esto, los tres viajeros crean su sistema de coordenadas. El tren mismo hace de regla para la dimensión espacial.

Aquí ocurre algo curioso, cada vagón tiene distinta aceleración del resto y sus relojes de irán des-sincronizando. Pero como para todo observador en el tren, todo el tren estará en todo instante en reposo, cada instante se definirá como el momento en que todos los observadores van a una misma velocidad.

Desde el SRI de Xibuig (azul), las coordenadas de Azorrac (verde) se verán así:






El naranja representa pulsos de luz lanzados en t=0 en todo el SRI (no solo el tren). La línea vertical central azul es la trayectoria de Xibiug.

Transcurrida una unidad de tiempo propio de Azorrac, la troyectoria del tren sería algo así:



Si bien cada observador no tiene el mismo tiempo propio que Azorrac, La recta inclinada de la posición final del tren indica que todos los SRIs comóviles construidos en ella están de acuerdo que están en reposo entre ellos y que la recta inclinada es un mismo instante para todos ellos. Todos medirán ese instante como distinto. Para Tosivaj habrá pasado media unidad de tiempo, para Azorrac una y para Piex 3/2 unidades.

Pero esto es precisamente lo que ocurre en un campo gravitatorio: los relojes de "arriba" van más rápido que los de "abajo". Pero si cambias el concepto de tiempo propio por ángulo propio, todos están de acuerdo que todos tienen el mismo ángulo (la misma velocidad) en cada instante. Y aunque los tres tienen tiempos diferentes se puede pasar de un observador al otro por un factor correspondiente a su posición en el tren y puede considerarse un solo sistema dse coordenadas.


Al trasformar las coordenadas obtenemos


Esto es lo que mides como observador de Rindler. Azorrac sigue la trayectoria verde central y Tosivaj y Piex las de la izquierda y derecha respectivamente.
Como ves los conos de luz solo están a 45º en la trayectoria de Azorrac y se deforman cuando te alejas de él.

Como ya he dicho anteriormente, son las coordenadas para un observador en reposo en un campo gravitatorio plano y uniforme (es uniforme en la perpendicular del eje de aceleración pero no puede ser uniforme en ese eje porque... RE). Las trayectorias temporales del SRI (azul) serían las geodésicas en caída libre.

También puedes ver que la luz emitida por Tosivaj y Piex en el tiempo 0 llegan a Azorrac en distintos momentos cuando han salido de la misma distancia (un rayo va más rápido que c y el otro menos)

No voy a meterme en números que se me alarga y complica el asunto y creo que con los gráficos puede verse. El tema es que todos los sistemas de coordenadas (Minkowski, Rindler, Schwarzschild, etc.) son sistemas "eternos". Tienen sentido porqué el tiempo pasado y futuro se extienda al infinito en las mismas condiciones.

Para cambios de sistemas de coordenadas debe plantearse como se plantea en los diagramas de Penrose. En nuestro ejemplo, los tres viajeros viven en un mismo SRI y al empezar a acelerar pasan a sus respectivas coordenadas de Rindler. Puedes simplemente juntarlo pero tendrás problemas con lo que ocurre más allá de los horizontes de sucesos.

Se puede crear un SRA para distintas aceleraciones pasando de un sistema de Rindler a otro y a SRIs para cuando no se acelera. Pero se tiene que restringir el tiempo propio hasta el momento de entrar en contacto causal con un horizonte de sucesos. El espacio a medir tampoco puede rebasar ningún horizonte.

Con estas restricciones, se puede considerar un SRA "legítimo". Pero no más allá por los evidentes problemas causales.
Por esto me preguntaba en otro mensaje si existe una forma de describir relativísticamente un Universo único para un SRA único que no conlleve estos problemas. Unas coordenadas donde el observador siempre está en $(\tau,0)$ y todo evento tiene una única posición $(\tau,x)$

Por eso propuse lo de reconstruir las coordenadas de un evento a partir de medidas del SRI asociado en el momento de la observación del evento. Pero no encuentro información de algo así y tengo que desarrollarlo para ver si serviría. Estoy en ello y ya veremos que sale.

¿Alguna otra idea?

[carroza]

Bueno voy con mi versión interpretativa de las coordenadas de Rindler.

tenemos un movil que acelera según su propio acelerómetro, con aceleración constante $\alpha$, como buenos relativistas le adosamos un sistema de referencia , y para convertir las mediciones locales de ese sistema de referencia , a uno inercial, y en particular en reposo. aplicamos el sistema de coordenadas de Rindler.

Aquí es donde por enésima vez enunciaré mi queja a presentar ecuaciones en coordenadas reducida, si $c$ existe pues ponla!!!

Hola.

Toda la información relevante está en el post #15 de guibix . La aceleración, constante, que observaría un observador inercial que coincida instantaneamente, con la misma velocidad, con la nave que acelera, es $a$. A partir de ahi, podemos definir una cantidad $\alpha = a/c$, con dimensiones de inversa del tiempo. Si usamos ahora como $\tau$ el tiempo propio del observador acelerado, se obtienen todas las fórmilas que da guibix, en términos de senos y cosenos hiperbilicos de $\alpha \tau$ para posiciones y velocidades del objeto "uniformemente" acelerado. Todos los calculos de mi post corresponden al instante en el que $\alpha \tau = 1$

Aqui hay que entender que la aceleración es uniforme, desde un observador inercial que se mueva a una velocidad muy próxima a la que tiene el acelerado. Un acelerador a velocidad muy diferente verá que la masa aumenta por un factor gamma con la velocidad, de forma que la aceleración disminiye conforme la velocidad se acerca a c

Saludos

[carroza]

Entiendo Carroza que Xibuig y Tosivaj son el mismo observador realmente, me explico, creo que has intentando expresar que Xibuig es un observador que no experimenta aceleración o curvatura alguna mientras que Tosivaj, que se encuentra en un momento dado en la misma posición y condiciones que Xibuig, experimenta una cierta curvatura o aceleración, por tanto, lo analiza todo desde otra métrica.

Igual estoy completamente equivocado y no logro ver cual es la diferencia entre Xibuig y Tosivaj, pero si los dos en un momento dado tienen las mismas condiciones entonces son el mismo, ¿no?, no logro distinguir que Xibiug sea inercial y Tosivaj no inercial.

Ok. Un ejemplo literario que quizás ayude.

Xibuig-Julieta está su observatorio, que a la sazón está en el balcón del palacio de los Capuletos en Verona.

Tosivaj-Romeo se cuela en el jardín del palacio de los Capuletos, provisto de una cama elástica, sobre la que salta, para describir una trayectoria acelerada, de subida y caida libre, que lo hace coindidir en un instante dado, en el que tiene la misma posición (casi) y la misma velocidad que Xibuig-Julieta. Ese instante pueden utilizarlo para intercambiar un casto beso, o bien para tomar las medidas del suceso de Azorrac y Piex.

Tosivaj-Romeo y Xibuig-Julieta tienen, en un instante dado, la misma posición y velocidad, aunque uno está acelerado, y el otro no.

Saludos

[Richard R Richard]

Bueno voy con mi versión interpretativa de las coordenadas de Rindler.

Edito :Tenemos un movil que acelera según su propio acelerómetro, con aceleración constante $\alpha=\dfrac{a}{c}$(gracias carroza), como buenos relativistas le adosamos un sistema de referencia , y para convertir las mediciones locales de ese sistema de referencia , a uno inercial, y en particular en reposo. aplicamos el sistema de coordenadas de Rindler.

Aquí es donde por enésima vez enunciaré mi queja a presentar ecuaciones en coordenadas reducida, si $c$ existe pues ponla!!!

Así que la posición descripta por el observador fijo para ese móvil es

$X=x \cosh\left(\alpha t \right)$

$T= \dfrac xc \sinh\left(\alpha t \right)$

$Y=y$

$Z=z$

veamos como salen las métricas en estas coordenadas

$dX=\alpha x \sinh\left(\alpha t \right) dt+ \cosh\left(\alpha t \right) dx$

$dT=\dfrac{\alpha x}{c} \cosh\left(\alpha t \right) dt+ \dfrac 1c\sinh\left(\alpha t \right) dx$

$dY=dy$

$dZ=dz$

asumiendo la métrica plana de Minkowsky en el espacio estático

$ds^2=-c^2dT^2+dX^2+dY^2+dZ^2$

si se reemplazan los valores y se calcula, he comprobado que

el invariante queda expresado en las coordenadas móviles como

$ds^2=-\alpha^2 x^2 dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$

la anti transformación queda

$t =\frac{c}{\alpha}arctanh\left(\frac{cT}{X}\right)$

$x=\sqrt{X^2-c^2T^2}$

Ocultar contenido

Mostrar solución Ocultar solución

Editado ,lo siguiente esta mal (errado en una constante, creo hasta el momento de la edición) volveré a revisar los datos del problema .

Si acelera constantemente hasta 1 segundo menos antes de alcanzar la velocidad de la luz $t=\dfrac{c}{g}-1= 30570321,99511s$ y sabiendo que hay $365.25\cdot 86400$ segundos en un año $t= 0,9687150795723$ años y se habrá desplazado $\Delta x=\dfrac12gt^2= 0,4843575397861$ años luz de que cree es su espacio.

con esos datos no he conseguido cuando vale X me da error el coseno hiperbólico

pero si hago la integral

$\Delta X=\displaystyle \int\limits_0^t \gamma(t)v(t)dt=\int\limits_0^{30570321,99511} \dfrac{\alpha t}{\sqrt{1-\dfrac{\alpha^2t^2}{c^2}}} dt=9162408120331860s= 0,968467$años luz

$\Delta T=\displaystyle \int\limits_0^t \dfrac1{\gamma(t)}dt=\int\limits_0^{30570321,99511} \sqrt{1-\dfrac{\alpha^2t^2}{c^2}} dt=2.4009875534656454\times 10^7s= 0.7608270$años

Estos resultados me parecen ilógicos ... hasta allí llegue.

[javisot20]

Entiendo Carroza que Xibuig y Tosivaj son el mismo observador realmente, me explico, creo que has intentando expresar que Xibuig es un observador que no experimenta aceleración o curvatura alguna mientras que Tosivaj, que se encuentra en un momento dado en la misma posición y condiciones que Xibuig, experimenta una cierta curvatura o aceleración, por tanto, lo analiza todo desde otra métrica.

Igual estoy completamente equivocado y no logro ver cual es la diferencia entre Xibuig y Tosivaj, pero si los dos en un momento dado tienen las mismas condiciones entonces son el mismo, ¿no?, no logro distinguir que Xibiug sea inercial y Tosivaj no inercial.

[Richard R Richard]

Hola, Rindler me tiene entre las cuerdas, no he desistido pero la voy asimilando por otro lado integrando a la vieja usansa como proponías en el otro hilo, no he llegado a tus 0.527c (si tienes tiempo pon el cálculo ), así que por ahora sigo siendo todo oídos. en concreto quiero extraer ideas , para confirmar o no si dos eventos conectados causalmente a velocidad local c en la localía de Xibiug , el ratio entre distancia medida y tiempo medido para esos mismos eventos es o no igual a c, para Arrozac, que es la duda que entiendo todos tenemos.