Velocidad de la luz para observadores no inerciales

[carroza]

Pero esa medida de velocidad es local. Localmente, todos los observadores inerciales o no, miden la misma velocidad para c. Los diferentes valores para la medida de c surgen cuando intentamos trazar la trayectoria de la luz lejos del observador que use coordenadas "aceleradas". Ese observador describe las trayectorias de la luz como curvas y por lo tanto mide distintos valores de c para distintos puntos de su sistema de coordenadas..

Ok. Continuamos la historia introduciendo a observadores no locales

Xibiug, como observador no local del suceso en el que el pulso de luz llega a la posición en la que están Arrozac y Xeip, deduce, una vez que le llegan las imágenes del suceso, que la velocidad del pulso de luz es: (a)
Por otro lado, la velocidad que determina para Xiep es (b). La velocidad de Arrozac es (d), La velocidad relativa del pulso de luz con respecto a Xiep es (e), y la velocidad relativa de la luz con respecto a Arrozac es (f).

Adelantándome a que concluyamos que (a), (e) y (f) sean c, ya que Xibiug estla en un sistema inercial, consideremos también el caso en que Xibuig tenga un primo llamado Tosivaj, que se monta en una nave, con aceleración g, y que está a la misma velocidad y en la misma posición que Xibiug en el momento en el que este hace las medidas.

Tosivaj, como observador no local, y no inercial, del suceso en el que el pulso de luz llega a la posición en la que están Arrozac y Xeip, deduce, una vez que le llega las imágenes del proceso, que la velocidad del pulso de luz es: (h)
Por otro lado, la velocidad que determina para Xiep es (i). La velocidad de Arrozac es (j), La velocidad relativa del pulso de luz con respecto a Xiep es (k), y la velocidad relativa de la luz con respecto a Arrozac es (l).

¿Qué velocidad (h), (k), (j) sería distinta de c?

Saludos

[carroza]

Ok. Richard R Richard, algo que matizar?

[guibix]

Hola.
Para fijar ideas, consideremos que Xiep y Arrozac son astronautas, y saben usar sus aparatos, locales en la nave, para medir la velocidad de la luz. En concreto, ambos tienen una red de interferencia, que les permite medir la longitud de onda de la radiación que les manda Xibiug , y un osciloscopio, que les permite medir la frecuencia. El producto de longitud de onda y fecuencia da la velocidad de la luz. A la pregunta de si usan coordenadas de Rindler, ambos contestarían: Queee? O sea, que Xiep y Arrozac no saben nada de relatividad general, pero saben usar sus aparatos.

Pero esa medida de velocidad es local. Localmente, todos los observadores inerciales o no, miden la misma velocidad para c. Los diferentes valores para la medida de c surgen cuando intentamos trazar la trayectoria de la luz lejos del observador que use coordenadas "aceleradas". Ese observador describe las trayectorias de la luz como curvas y por lo tanto mide distintos valores de c para distintos puntos de su sistema de coordenadas..

[carroza]

Hola.

Gracias a todos los que habeis participado en este juego.

Alguna aclaración: Xiep alcanza a Azorrac, ya que tiene, antes del punto de encuentro, una velocidad constante más alta que la de Azorrac. Hay muchas formas de llegar a esta situación, sin tener que recurrir a cosas no físicas como una aceleración instantanea. Xiep puede comenzar elk viaje más tarde, y acelerar más rápido (digamos 2g), o bien comenzar el viaje antes, pero desde un puntos más atrasado, para alcanzar a Arrozac con velocidad constante en el punto indicado.

Para fijar ideas, consideremos que Xiep y Arrozac son astronautas, y saben usar sus aparatos, locales en la nave, para medir la velocidad de la luz. En concreto, ambos tienen una red de interferencia, que les permite medir la longitud de onda de la radiación que les manda Xibiug , y un osciloscopio, que les permite medir la frecuencia. El producto de longitud de onda y fecuencia da la velocidad de la luz. A la pregunta de si usan coordenadas de Rindler, ambos contestarían: Queee? O sea, que Xiep y Arrozac no saben nada de relatividad general, pero saben usar sus aparatos.

Finalmente, a la hora de contrastar sus resultados, ambos miden, ambos obtienen su velocidad de la luz, ambos la escriben en un papel, y ambos la comparten con Xibiug , por el método que consideren más oportuno.

Por ahora, tenemos que javisot20 opina que ambas velocidades son C, mientras que Richard R Richard y guibix opinan que Xiep mide una velocidad más alta que Arrozac. Weip , que oponas? Y podremos tener la opinión de pod 10 años más tarde?

Un saludo

[javisot20]

[USER="508"]
Entiendo que Piex es un SRI a 0,761c del de Xibiug y que acelera “instantáneamente”. ¿No debería salir después de Azorrac para atraparlo justo cuando Azorrac alcanza 0,761c?

Saludos Guibix, igual lo he entendido mal, Carroza dice que:

-Xibuig es un observador estático.

-Peiw, que se encuentra con Xibuig, acelera de manera constante en una dirección con aceleración menor que la resultante en la superficie del planera tierra.

-Un tiempo después, sale Azorrac con un aceleración constante igual a la de la gravedad en la superficie terrestre, en la misma dirección que Piew.

-Xibuig hace unos cálculos desde su punto de vista de observador estático y lanza un pulso de manera que, según él, Azorrac y Piew reciben el pulso a la vez.


¿Es correcto?, (Carroza no lo dijo exactamente así, primero mencionó a Azorrac, pero el primero que se mueve es Piew que salió antes)

[guibix]

carroza Primero de todo felicidades por la dramatización, Me ha traído viejos recuerdos de nuestros debates.

Piex dice "Si no os importa, yo voy a salir un poco antes, voy a acelerar mi nave, de forma que pararé mis motores, para estar a una velocidad constante de 0,761 c, en el punto con posición 0,527 años luz desde Xibiug, y en elinstante 1,14 años, medido por Xibiug. Mediré la velocidad del pulso de luz que envía Xibiug,

Entiendo que Piex es un SRI a 0,761c del de Xibiug y que acelera “instantáneamente”. ¿No debería salir después de Azorrac para atraparlo justo cuando Azorrac alcanza 0,761c?

Azorrac responde: "Vale, vale. Pero entones, dada mi aceleración, podré ver como se viola la relatividad especial, y mediré velocidades de la luz diferentes de c con mi espectrómetro que tengo a bordo.

Si Azorrac quiere medir variaciones de $c$ es que usa coordenadas de Rindler o similares. En tal caso, con la medida del pulso hay que hacer las trasformaciones apropiadas.

Azorrac sabe donde esta en el SRI de Xibiug, por lo tanto sabe qué marcaba del reloj de Xibiug en el momento que lanzó el pulso. Pero el tema está en qué momento ocurre esto para Azorrac. Si usa coordenadas de Rindler debe centrarlas a $-c^2/a$, mirar en qué ángulo hiperbólico sale el pulso y tendrás el tiempo propio en el que Azorrac mide como simultaneo al evento. Luego se tiene que medir la distancia propia a Xibuig que será la que había en el momento $\tau,$ el momento de lanzar el pulso. Esa distancia sería la del SRI asociado al SRA en aquel momento.

No me he puesto a hacer las cuentas aún pero me jugaría un guisante a que mide una $c$ inferior. Y Piex mediria exactametne la $c$ de toda la vida.


Es cierto que parece extraño usar esas coordenadas pero si te paras a pensar, aquí en la Tierra vivimos y medimos dentro de un sistema de referencia acelerado. Medimos distancias y tiempos mientras sufrimos aceleración constante.

En un primer orden de aproximación (campo uniforme plano), la RG te dirá que existen unas coordenadas donde la caída libre está en reposo y todo se explica con un solo SRI sin gravedad donde todo sigue trayectorias aceleradas con la misma aceleración constante.

El principio de equivalencia nos permite pasar de coordenadas de Minkovski a coordenadas de Rindler y veceversa. Si bien es más "realista" tomar las de Minkowski como las buenas no es práctico para los que vivimos en aceleración constante.

Las coordenadas de Rindler son la solución de la RG para un sistema de coordenadas en reposo con un campo gravitatorio uniforme y plano. Y es también el primer orden de aproximación de las coordenadas de Schwarzschild centradas en el horizonte de sucesos.

Actualmente se usa en modelos de gravedad cuántica, ya que para un sistema acelerado existe una radiación hawking asociada y supongo que ayuda a simplificar cálculos para observadores muy cercanos al horizonte y en reposo.

También se usan para estudiar colisiones de agujeros negros. Para aproximar como un agujero negro super mini colisiona con uno super gigante para un observador en reposo y muy cercano al grande.

Voy a usar tus fórmulas, para poner números concretos, y de paso teatralizar un poco el hilo.

Si te gusta jugar con estas expresiones intenta aplicar las generales con la ecuación de cohetes de Tsiolkovsky

$$\Delta v=u\log\frac{m_0}{m}$$

y lo pasas a

$$\Delta\theta=u\log\frac{m_0}{m}$$

En ese caso, $u$ (velocidad de expulsión) está restringido a $c$ pero $c$ está incluido. Si $u=c$ es la solución con un cohete 100% eficiente, el mejor que puede ofrecer la RE.

Solo con esta solución puedes sacar un montón de información. Puedes buscar cosas como la relación entre potencia y aceleración, índice de eficiencia con respecto de $u$ o buscar como es la derivada de la masa expulsada respecto del tiempo propio para mantener una aceleración constante, etc.

Es divertido comprobar que un cohete 100% eficiente de 1kg que quisiera generar una g, necesitaría liberar una potencia de $3*10^9W.$ Pensad bien a qué potencia apuntáis al suelo cuando despeguéis.


PD in: Xibug diría a Azorrac y a Piex algo que deberían saber:

"Para que sus naves de masa $m$ generen un impulso para lograr una aceleración $\alpha$ los propulsores deberían liberar una potencia de"

$$P=\dfrac{\mu mc^2}{u}$$

"Siendo $\mu=1-\sqrt{1-u^2/c^2}$ la eficiencia del cohete. Aseguraos de saber a qué potencia disparáis a qué cosas con vuestros cohetes.
Cuanto más eficiente el cohete, más destructivo es. Parece contradictorio pero no lo es."

PD out


Lo de “meter” las soluciones para $v$ de Newton tratadas como ángulos hiperbólicos $\theta$ permite afrontar problemas que no nos atreveríamos a afrontar de otra manera. Y sorprende la de soluciones analíticas y elegantes que salen al probar funciones básicas para $\theta(\tau).$ Pero evidentemente solo sirve para una dimensión espacial. Se pueden añadir las demás pero es un poco complicado y debería repasarlo.

El espacio de cuadrivelocidades $U^\mu$ es un hiperplano hiperbólico. Lo que mide un SRI es una proyección de Klein de ese hiperplano y por eso vemos el límite de $c$ (el círculo exterior de la proyección). Pero dentro del hiperplano c es infinito y uno puede moverse tanto como quiera en la dirección que quiera.

Todos los efectos relativistas que conocemos en RE son debidos a que cada SR mide una proyección de Klein distinta del mismo hiperplano. Además, como cada observador está siempre en el centro de la proyección y nada de lo que haga lo sacará de allí, entonces su “física propia” es la de Newton. Dicho de otra manera: ningún observador sentirá nunca ningún efecto relativista sobre si mismo y la transformación de Lorentz sobre si mismo de dará siempre las soluciones de Newton.

Al final, el hiperplano es el objeto invariante de Lorenz y es en lo que todos deberíamos estar de acuerdo el sistema de coordenadas que elijas solo cambiará la forma de proyectar de manera cartesiana lo que ocurre en un espacio hiperbólico.

Tema muy interesante y que da para mucho, desde luego.
Un saludo!

[Richard R Richard]

Azorrac tiene que alcanzar a Peiw, así que lo ve llegar por delante , lo pasa justo a los 0.97 años de Arrozac y luego lo deja atrás.No?

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Mi apuesta
Xibuig envió el pulso a $c$.
Piew lo mide y le da $c$.
Azorrac lo mide y le da menos de $c$...
si Azorrac tiene dos relojes separados 1 m en la línea de viaje los pulsos le llegan con $1/c$ de diferencia de tiempos.

Voy por palomitas.

[javisot20]

Azorrac responde: "Vale, vale. Pero entones, dada mi aceleración, podré ver como se viola la relatividad especial, y mediré velocidades de la luz diferentes de c con mi espectrómetro que tengo a bordo.
Un saludos

La aceleración de Azorrac hemos dicho que es constante, por tanto,

Xibiug responde: "Eso no está nada claro. Si quieres, para probarlo, te enviaré un pulso de luz, de manera que te alcance precisamente dentro de 1.14 años, para mí, cuando estés precisamente a 0,527 años luz. Así, puedes medir la velocidad de mi pulso desde tu nave, y me das tus resultados.

"y me das tus resultados" no quiere decir instantáneamente, Azorrac deberá emitir la información del resultado de vuelta, lo que le tomará un tiempo.

En ese momento, pasa por allí y escucha la conversación el astronauta Piew, que tiene una nave idéntica a la de Azorrac, Piex dice "Si no os importa, yo voy a salir un poco antes, voy a acelerar mi nave, de forma que pararé mis motores, para estar a una velocidad constante de 0,761 c, en el punto con posición 0,527 años luz desde Xibiug, y en elinstante 1,14 años, medido por Xibiug. Mediré la velocidad del pulso de luz que envía Xibiug,
Un saludos

En el instante que Piew y Azorrac tiene las mismas condiciones son observadores equivalentes, Piew y Azorrac confirman la misma velocidad de la luz.

[carroza]

Muchas gracias, guibix .

Voy a usar tus fórmulas, para poner números concretos , y de paso teatralizar un poco el hilo.

El intrépido astronauta Azorrac ha construido una nave que proporciona una aceleración constante $g = 9.8 m/s^2$. Con dicha nave Arrozac dice al afamado experto en relatividad Xibiug:
"Viajando en mi nave, cómodamente ya que sentirá una gravedad aparente igual que la de la tierra, podré alcanzar la velocidad de la luz en un tiempo $\tau = c/g$ de aproximadamente 0,97 años."

Xibiug responde pacientemente: "Bueno, la velocidad de la luz no la podrás alcanzar. Yo calculo que, cuando pasen 0,97 años (c/g) para tí, es decir, para tu tiempo propio, para mí habrán transcurrido un tiempo $t = c/g \sinh(1)$, o sea de 1,14 años , y estarás a una distancia a de mí $x = c^2/g (\cosh(1)-1)$, o sea de 0,527 años-luz. En ese punto, te estará moviendo a una velocidad $v = \tanh(1) c = 0.761 c$"

Azorrac responde: "Vale, vale. Pero entones, dada mi aceleración, podré ver como se viola la relatividad especial, y mediré velocidades de la luz diferentes de c con mi espectrómetro que tengo a bordo.

Xibiug responde: "Eso no está nada claro. Si quieres, para probarlo, te enviaré un pulso de luz, de manera que te alcance precisamente dentro de 1.14 años, para mí, cuando estés precisamente a 0,527 años luz. Así, puedes medir la velocidad de mi pulso desde tu nave, y me das tus resultados.

En ese momento, pasa por allí y escucha la conversación el astronauta Piew, que tiene una nave idéntica a la de Azorrac, Piex dice "Si no os importa, yo voy a salir un poco antes, voy a acelerar mi nave, de forma que pararé mis motores, para estar a una velocidad constante de 0,761 c, en el punto con posición 0,527 años luz desde Xibiug, y en elinstante 1,14 años, medido por Xibiug. Mediré la velocidad del pulso de luz que envía Xibiug,


Conforme Azorrac, 0,97 años después (para el), se va acercando al punto acordado, a una velocidad que (para Xibiug) se acerca a 0,761 c, pero está por debajo. El está comodamente sentado en su sillón, experimentando una gravedad g.

Puntual a la cita, ve acercarse por detrás a Peiw, que va a velocidad constante de 0,761 c (para Xibiug). Piew está flotando en su nave, ya que está en "caida libre", Cuando llega el instante acordado, ambos están a la misma distancia 0,527 años-luz, ambos a la misma velocidad, 0,761 c, y ambos reciben el pulso de luz que les envió Xibiug.

Ambos miden la velocidad de dicho pulso, y continuan su viaje. Peiw a velocidad constante, 0,761 c , y Arrozac acelerando, ya a velocidades mayores a 0,761 c , con lo que ve cómo Piew vuelve a quedarse atrás.

¿Qué velocidad de la luz mide Piew? ¿Qué velocidad de la luz mide Azorrac?

Un saludos

[carroza]

Ok, Gracias, Weip, por las aclaraciones sobre el sistema acelerado y por recordar el hilo de hace 10 años!

Creo que ya me queda claro el sistema de Rindler y su relevancia para el sistema con aceleración uniforme. En cualquier caso, entiendo que estamos de acuerdo en que la velocidad física, que mediría un observador, local, para medir la luz que le llega es siempre $c$. La expresión $\tilde c = |g x|/c$, es el cociente entre la variación de una coordenada x y la de una cierta coordendada t, que no tienen por qué ser las distanctas medidas con una regla y los tiempos con un cronómetro. Por tanto, es una "velocidad", pero no es la velocidad física que infeririamos, por ejemplo, de multiplicar la longitud de onda por la frecuencia.

Un saludo

[Weip]

Hola de nuevo.

Debo decir que mi objetivo inicial era imaginarme un observador en el espacio, como una persona que viaja en su pequeña nave espacial, con sus aparatos para medir la velocidad de la luz que le llega. Esta persona puede acelerar o frenar la nave, irse a zonas del espacio en las que la gravedad es despreciable, y también someterse a gravedades intensas, entrando en la proximidad de agujeros negros.

Por recuperar el tema principal del hilo, mi argumentación es que estás en lo correcto, siempre y cuando se hagan medidas locales. Ya que Richard ha dado con un hilo donde pod explica lo mismo pero con otras palabras y un ejemplo más general, pongo otra vez el link para que no se pierda con tanto mensaje. La conclusión final a la que llegas en ese hilo en la página 2 yo la comparto.

Las coordenadas de Rindler mencionadas por Weip a las que nos referimos no parecen contener ninguna aceleración. Quizás nos puedas dar una referencia adicional.

Lo comentó guibix pero en todo caso la wikipedia española elimina la aceleración de las ecuaciones haciéndola $1$. Como es constante siempre podemos hacerlo, como cuando tenemos una masa y hacemos $m=1$ para no preocuparnos de constantes. Lo dije de palabra pero no puse link así que aprovecho para poner la referencia a la wikipedia inglesa, que recupera la aceleración propia en todas las ecuaciones.

Entiendo que uses unidades naturales, en la que X y T tienen las mismas dimensiones (digamos distancias), con lo que c es adimensional. No obstante, cuando defines la coordenada x como $\mbox{arctanh} (X/T)$, mientras que t es $\sqrt{T^2 - X^2}$, entonces x es adimensional, mientras que t tiene dimensiones de longitud, con lo que $\tilde c$ tendria dimesniones de 1/distancia. Esto me resulta preocupante, si queremos entender la relación de c con $\tilde c$. Quizás la cuestión es expresar una métrica de Rindler, en la que aparece explíctamente una aceleración. Agradecería mucho alguna aclaración en ese sentido.

Al revés, la arcotangente es $t$ y la raíz es $x$. Pero bueno eso no es importante, la cuestión es que, recuperando la aceleración suprimida por la wikipedia española (que quizás es la causa de la confusión) y usando unidades naturales, $X$ y $T$ se miden en inverso de energía $1/E$. Como resultado $x$ se mide en $1/E$. Para $t$ la arcotangente queda adimensional, pero como tiene inverso de aceleración multiplicando, la aceleración se mide en $E$, por tanto $t$ se mide en unidades de $1/E$ también. Conclusión, $x, t$ se miden en las mismas unidades que $X, T$ y por tanto $c$ y $\tilde{c}$ son adimensionales. En todo caso también comenté que si no queremos líos con unidades podemos quedarnos con unidades del sistema internacional. Entonces $\tilde{c}=|gx|/c$ tiene unidades de velocidad: $(m/s^ 2) m / (m/s)=(m/s)^2/(m/s)=m/s$. Espero que no haya despistado en exceso el tema de las unidades.

[Weip]

No era ese hilo exactamente pero me sirve, explica exactamente lo que quiero decir. ¡Gracias Richard!

[guibix]

Respondo una parte y ya responderé el resto más adelante.

Hola.

Muchas gracias a todos por vuestras contribuciones.

Debo decir que mi objetivo inicial era imaginarme un observador en el espacio, como una persona que viaja en su pequeña nave espacial, con sus aparatos para medir la velocidad de la luz que le llega. Esta persona puede acelerar o frenar la nave, irse a zonas del espacio en las que la gravedad es despreciable, y también someterse a gravedades intensas, entrando en la proximidad de agujeros negros.

Vale, creo que ya veo por donde vas. En un extremo de aproximación podemos tener un mapa de la galaxia en donde todas las estrellas se puedan considerar en reposo entre ellas. También omitiremos la gravedad para no salir de RE. En ese caso nos interesa crear un SRA para nuestra nave con el objetivo de saber cuando acelerar y frenar y llegar a al destino deseado a la velocidad deseada.

Existe un truco en RE cuando tenemos funciones de aceleración propia que dependen del tiempo propio. O sea, lo que nos interesa: Yo estoy en mi SRA y elijo hacia donde, cuando y cuanto acelerar mi nave para ir donde quiero. El truco es debido a un fenómeno súper interesante. Y es que en tu propio SR estás en reposo contigo mismo y localmente se puede aplicar la física de Newton. Me explico: para facilitar definiremos $c=1$ y una dimensión espacial para simplificar, La ecuación newtoniana

$$\Delta v=\int_{t_0}^t a(t)\dd t$$

cuando el tiempo es el propio y la aceleración es propia, adquiere otro significado en RE. Y es que esa $v$ es lo llamado "rapidez" o "rapidity". Que corresponde al ángulo hiperbólico $\theta$. De manera que con una aceleración propia $\alpha$ la ecuación quedaría como

$$\Delta\theta=\int_{\tau_0}^{\tau}\alpha(\tau)\dd\tau$$

Esto es muy útil porque por definición, el cuadrivector $U^\mu$ es

$$U^\mu=(\gamma,\gamma v)=(\cosh\theta,\sinh\theta)$$

y eso nos permite formular la siguiente definición:

$$U^\mu=\left(\cosh\left(\theta_0+\int_{\tau_0}^{\tau}\alpha(\tau)\dd\tau\right),\sinh\left(\theta_0+\int_{\tau_0}^{\tau}\alpha(\tau)\dd\tau\right)\right)$$

Si se integran las componentes con respecto de $\tau$ se obtiene la posición en el SRI "universal" con respecto del tiempo propio.

Si $U^\mu=(U^0,U^1),$ entonces la cuadriposición $X^\mu$ es

$$X^\mu=(t,x)=\left(\int_{\tau_0}^\tau U^0\dd\tau,\int_{\tau_0}^\tau U^1\dd\tau\right)$$

Esta forma general te permite saber donde y cuando acabará la nave en un tiempo $\tau$ así como su velocidad final.

Con una aceleración propia constante y con velocidad inicial igual a 0 obtenemos que

$$U^\mu=\left(\cosh \alpha\tau,\sinh\alpha\tau\right)$$

Y las posiciones serían

$$X^\mu=\left(\frac{1}{\alpha}\sinh\alpha\tau,\frac{1}{\alpha}\cosh\alpha\tau-\frac{1}{\alpha}\right)$$

Si elegimos una posición inicial igual a $\frac{c^2}{\alpha}$ o $\frac{1}{\alpha}$ tenemos que

$$X^\mu=\left(\frac{1}{\alpha}\sinh\alpha\tau,\frac{1}{\alpha}\cosh\alpha\tau\right)$$

.

Con todo esto deberías poder aislar $\tau$ para saber en que momento propio se alcanza cierta posición y velocidad en el SRI "universal".

Las coordenadas de Rindler mencionadas por Weip a las que nos referimos no parecen contener ninguna aceleración. Quizás nos puedas dar una referencia adicional.

He estado intentando derivar las expresiones de las coordenadas (X,T) de un suceso, según se verían desde los diferentes SRI que acompañan a un SRA. No he podido resolverlo completamente, pero intuyo que habría problemas como los que indicas, en especial a distancias X grandes, ya que el tiempo en las transformaciones de Lorentz se modifica tanto dependiendo del tiempo T como de la posición X.
[/TEX]

Quizás el problema es que la aceleración está implícita en las coordenadas de Rindler. No hay aceleraciones “extra” y esa aceleración propia queda “diluida” en las coordenadas. Quedaría como una curvatura intrínseca en la métrica donde la curvatura es proporcional a la aceleración propia. Es una constante en la métrica y por eso no “parece” una aceleración, ya que normalmente se considera igual a 1.

Si tomamos lo de antes como partida

$$U^\mu=\left(\cosh \alpha\tau,\sinh\alpha\tau\right)$$

$$X^\mu=\left(\frac{1}{\alpha}\sinh\alpha\tau,\frac{1}{\alpha}\cosh\alpha\tau\right)$$

,

entonces obtenemos una rotación hiperbólica para el SRA. Por lo tanto, las coordenadas de Rindler son unas coordenadas polares hiperbólicas para un sistema con aceleración constante, donde $\alpha\tau$ son las coordenadas angulares ($\alpha$ hace de "velocidad angular") y donde tu $X$ es la distancia propia de cada evento simultaneo al SRI asociado al SRA en el momento $\tau.$ Esto ocurre cuando un radio de la rotación intersecta con el evento y se mapea su posición en el momento $\tau$ correspondiente a su ángulo $\alpha\tau$. Como el dominio de $\theta$ es $(-\infty,\infty)$ por ser una rotación abierta, las coordenadas polares son isomorfas a unas coordenadas cartesianas. Pero como los radios solo pueden ser positivos, cualquier evento más allá de $\frac{1}{\alpha}$ del SRA tiene ese comportamiento "anti-causal".

Seguiré mi respuesta en otros mensajes,

Un saludo!

[javisot20]

Debo decir que mi objetivo inicial era imaginarme un observador en el espacio, como una persona que viaja en su pequeña nave espacial, con sus aparatos para medir la velocidad de la luz que le llega. Esta persona puede acelerar o frenar la nave, irse a zonas del espacio en las que la gravedad es despreciable, y también someterse a gravedades intensas, entrando en la proximidad de agujeros negros.

Saludos Carroza, interesante imagen, un observador moviéndose por distintas regiones del espacio-tiempo de menor a mayor curvatura, por tanto, experimentando distintas distribuciones de materia y energía. Dicho observador pasa por todas las distintas distribuciones y curvaturas que permitan soluciones físicas.

El observador pasa por regiones en las que la TRE puede ser confirmada local y globalmente, también pasa por regiones donde se confirma localmente pero no globlamente.

No pasará por regiones donde la TRE no puede ser confirmada ni local ni globlamente, o confirmables solo globalmente.

[carroza]

Reescribiendo lo que nos dices empleando RE entiendo que la integral resulta de plantear el sumatorio de esos diferenciales de tiempo divididos el factor de Lorentz evaluado a la velocidad de ese momento , este factor resulta que es variable dependiente del tiempo pues es una función de la velocidad previa y de la aceleración que le provoque la fuerza impulsora instantes previos y en ese instante.

$d\tau =\dfrac{d t'}{\gamma(v(t'))}$

conociendo la función de la velocidad en función del tiempo se puede integrar entre dos tiempos dados y llegar a tu expresión.

Pero interpreto que el resultado $\tau$ debe tender siempre a un resultado coincidente independientemente de la evolución del muón respecto del laboratorio, experimento tras experimento debe de coincidir o tender a un valor, puesto $\tau$ es la vida media o tiempo hasta que su población se reduce a la mitad medido por un reloj solidario a los muones de prueba, no puede variar en función de como hagas el experimento. Yo supongo esto lo sabes, pero lo hago mas literario para el que no.

Espero te haya aportado algo.

Lo que expresas sobre el factor gamma es corerecto. No obstante, el valor de $\tau$ no es la vida media del muón, sino el tiempo propio en el que el pulso de muones está viajando. Es cueto que, en muchos casos, se usa $\tau$ para indicar la vida media de una partícula, pero no es el caso aqui. La idea es que, cuando el tiempo propio del pulos de muones sea$\tau = 2.2 \mu s$, es decir, cuando sea igual a la vida media de los muones, el numero inicial de muones se reduce en un factor 1/e. Cuando sea $\tau = 4.4 \mu s$, es decir, cuando sea igual a dos veces la vida media de los muones, el numero de muones será $1/e^2$. Con este ejemplo quería indicar que el tiempo propio de los muones es perfectamente medible.

Un saludo

(PS creia que los tres mensajes iban a aparecer en uno solo. No estoy muy ducho con el multicitar. Pero bueno, consideradlos como uno conjunto)