1r ciclo Geometría del Universo

[IsaacDL]

En cuanto a lo de la luz y el tamaño del universo, en el caso de ser este finito, la luz nunca llegaría al borde del universo observable, puesto la expansión acelerada del universo se produce a velocidades mayores de c a estas escalas. Las teorías más actuales definen el universo como finito e ilimitado. Me explico: el universo se expande a una velocidad mayor de la que cabría esperar para un observador. Es por eso que si nos movemos un tiempo infinito a velocidades próximas a la de la luz, debido a la expansión nunca llegaremos a un límite en el universo, de ahí que se diga que es ilimitado.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Sobre la luz.

Las teorías más actuales definen el universo como finito e ilimitado.

En realidad, de acuerdo con el modelo estándar, el universo puede ser finito (si su curvatura es positiva) o infinito (si su curvatura es negativa o nula, como indican las mediciones actuales).

[Alriga]

Re: Sobre la luz.

... Las teorías más actuales definen el universo como finito e ilimitado ...

No.

La herramienta que se utiliza para estudiar el Universo son las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General RG con la restricción del Principio Cosmológico PC, = el espacio es homogéneo e isótropo. ( RG+PC=Ecuaciones de Fridman ) Esta herramienta conduce a 3 posibles soluciones:

1. Universo finito e ilimitado, es decir sin bordes. (Curvatura positiva)

2. Universo infinito y plano. (Curvatura nula)

3. Universo infinito de curvatura negativa.

Para saber cual de las tres soluciones es la que corresponde a nuestro Universo real hay que hacer medidas. Las mejores medidas de las que disponemos en este momento, (COBE, WMAP, Observatorio Espacial Planck, Supernova Cosmology Project,...) se ajustan con gran precisión a la solución 2, Universo infinito y plano.

Por lo tanto, la mejor hipótesis (basada en R.G.+P.C.+medidas) que podemos aventurar en estos momentos para el Universo, es que es infinito y euclídeo.

Saludos.

[IsaacDL]

Re: Sobre la luz.

Gracias Alriga y Jaime por vuestro mensaje. Lo de una topología cerrada para el universo se nos fue dicho en clase. Argumentaba que un universo con un principio y que estaba en expansión, era muy difícil que fuera infinito (con las consecuencias que lleva de por si algo infinito). Se nos dijo que el caso más probable era el de una hyper-esfera 4D (obviamente con curvatura positiva y finita).

Me gustaría añadir al tema la paradoja de Olbers:

https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Olbers

la cual contiene la esencia del tema.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Sobre la luz.

todo esto es suponiendo que el universo tiene una topología simple, porque, si tiene, por ejemplo, una topología de toro tridimensional, podría tener una densidad uniforme y curvatura nula y, sin embargo, ser finito.

Me has clavado una duda...Si bien me aclaras que el universo observable tendría un radio $r_o$ mucho menor que los radios que definen la métrica del toro $r$ y $R$, no deja e llamarme la atención el hecho de que si bien pueda ser probable, porque alguien se le a ocurrido pensar que justo el universo pudiese tener esa topología tan compleja, cuando rige lo simple, lo isotropo y homogeneo a grandes escalas, supongo todo es teoría valida hasta que se pueda demostrar lo contrario. He buscado y no he encontrado una métrica que describa el espacio-tiempo con topología toroidal, para desasnarme.

Imaginando en $\mathbb{R}^3$


$x^2 + y^2 = \left ( R + \sqrt{r^2 - z^2} \right )$

si $r<R$



habría una dirección privilegiada la z, en donde la longitud del unirveso sería mayor y sería detectable, en algun momento

si $r=R$


habría un punto singular en $y=z=r=R$

si $r>R$


habría al menos dos puntos singulares observables ....

Con esto quiero decir que ninguna de las tres posibilidades lo hacen isótropo, a escalas mas mucho mas grandes de lo que hoy se ha observado y sería esta topología conjuntamente con la esferíca de curvatura positiva, las que podían ser confirmadas mediante un estudio muy sensible de isotropia, pues son las que tienen limite?.

Edito:
La paradoja de Olbers, se resuelve pensando que el universo ha tenido un inicio y tiene una edad finita, que la luz de las estrellas muy distantes no nos ha alcanzado aún o que debido a la expansión del universo su luz nunca nos llegue.

[Alriga]

Re: Sobre la luz.

... Me gustaría añadir al tema la paradoja de Olbers ...

https://forum.lawebdefisica.com/forum/el-aula/teoría-cuántica-de-campos-física-nuclear-y-de-partículas/27323-¿posible-solución-paradoja-de-olbers?p=259130#post259130

... Argumentaba que un universo con un principio y que estaba en expansión, era muy difícil que fuera infinito (con las consecuencias que lleva de por si algo infinito). Se nos dijo que el caso más probable era el de una hyper-esfera 4D (obviamente con curvatura positiva y finita) ...

El que te dijo eso, era, ... ... bueno, ... dejémoslo en alguien que especula sin usar el método científico...
Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Sobre la luz.

Por lo tanto, la mejor hipótesis (basada en R.G.+P.C.+medidas) que podemos aventurar en estos momentos para el Universo, es que es infinito y euclídeo.

Mi opinión a este respecto es que ni siquiera a esto podemos calificarlo como 'mejor hipótesis' por lo siguiente: la única explicación que tenemos actualmente sobre por qué el universo se nos presenta tan plano, es debido a la inflación, que 'aplana' cualquier curvatura, pero ese 'aplanamiento' es solo aparente: a grandísimas escalas (mucho mayores al universo observable) seguiría teniendo la misma curvatura (cualitativamente, no cuantitativamente) que antes de la inflación. Así las cosas, el que lo veamos plano solo nos indica que, o tiene curvatura muy ligeramente positiva, o muy ligeramente negativa o nula, y seguimos sin poderle dar mayor peso a alguna de estas posibilidades.

Lo de una topología cerrada para el universo se nos fue dicho en clase. Argumentaba que un universo con un principio y que estaba en expansión, era muy difícil que fuera infinito (con las consecuencias que lleva de por si algo infinito).

No veo en qué pudiera estar basando esa supuesta dificultad, porque, hasta donde conozco, el que tenga principio y que esté en expansión no determinan que sea finito o infinito. Como ya lo explicó Alriga, según la teoría más aceptada, si tiene curvatura negativa o nula, sería infinito y si es positiva, finito.

Se nos dijo que el caso más probable era el de una hyper-esfera 4D (obviamente con curvatura positiva y finita).

Como expliqué antes, tampoco considero que sea lo más probable. Por otra parte, para evitar confusiones, deberían haber dicho que es análogo a la superficie de una hiperesfera 4D, porque el universo (del modelo aceptado) tiene solo 3 dimensiones espaciales, no 4.

Me gustaría añadir al tema la paradoja de Olbers:

https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Olbers

la cual contiene la esencia del tema.

Tampoco la paradoja de Olbers nos da luces sobre la finitud o infinitud del universo ya que, con la sola expansión, se resuelve la paradoja, sea el universo finito o infinito.

- - - Actualizado - - -

Me has clavado una duda...Si bien me aclaras que el universo observable tendría un radio $r_o$ mucho menor que los radios que definen la métrica del toro $r$ y $R$, no deja e llamarme la atención el hecho de que si bien pueda ser probable, porque alguien se le a ocurrido pensar que justo el universo pudiese tener esa topología tan compleja, cuando rige lo simple, lo isotropo y homogeneo a grandes escalas, supongo todo es teoría valida hasta que se pueda demostrar lo contrario. He buscado y no he encontrado una métrica que describa el espacio-tiempo con topología toroidal, para desasnarme.
[...]
habría una dirección privilegiada la z, en donde la longitud del univeso sería mayor y sería detectable, en algun momento

El toro plano en el que estaba pensando se podría visalizar de la siguiente forma: imagínate que estás en el centro de un cubo y, por tanto, tienes una cara del cubo al frente, otra atrás, otra a la derecha, otra arriba y otra abajo. Si te desplazas hacia adelante y cruzas la cara de enfrente, inmediatamente apareces en el mismo cubo, pero por la cara de atrás, y en forma análoga sucede con las otras caras: si atraviesas la de arriba, apareces en la de abajo y si atraviesas la de la izquierda, apareces por la derecha. Localmente, se trata de una geometría euclídea (curvatura nula) homogénea, pero tengo dudas sobre si es isótropa.

- - - Actualizado - - -

http://forum.lawebdefisica.com/threa...650#post163650

No había visto esto: ¡muy interesante!

[Richard R Richard]

Re: Sobre la luz.

Si te desplazas hacia adelante y cruzas la cara de enfrente, inmediatamente apareces en el mismo cubo, pero por la cara de atrás, y en forma análoga sucede con las otras caras: si atraviesas la de arriba, apareces en la de abajo y si atraviesas la de la izquierda, apareces por la derecha. Localmente, se trata de una geometría euclídea (curvatura nula) homogénea, pero tengo dudas sobre si es isótropa.

me lo había tomado mas literal,
entonces lo que habría que observar es si la luz tarda en volver al mismo punto mas tiempo tomando una dirección determinada, si en todas tarda lo mismo el universo sería isótropo....
pero bueno experimentalmente, una ridícula idea sería enviar ninguna señal que se pueda reconocer que llevará unos años, miles, millones o miles de millones, en volver .... y si no lo hacen ,nunca nadie que pudiera existir en ese entonces lo sabrá.

Incluso creo que hay una objeción a la proposición de un universo con topología toroidal, y es que los agujeros negros deberían tener "pelo", 6 precisamente si mi ingles y el de google translator no fallan,

http://arxiv.org/pdf/1608.03133v1.pdf

A la vez un cruce de datos esperados para una topología toroidal con los del fondo de microondas del CMB parece no dar una buena correlación, dando falsos positivos.

http://arxiv.org/pdf/1412.5355v2.pdf.

[Jaime Rudas]

Re: Sobre la luz.

Incluso creo que hay una objeción a la proposición de un universo con topología toroidal, y es que los agujeros negros deberían tener "pelo", 6 precisamente si mi ingles y el de google translator no fallan,

http://arxiv.org/pdf/1608.03133v1.pdf

Mis conocimientos sobre el tema no dan para tanto como para entender la relación entre los agujeros negros y la topología del universo, pero, aun si existe, no me parece que sea una objeción, sino, más bien, una posible forma de verificar si en realidad tiene esa topología. O sea, si llegamos a descubrir que los agujeros negros reales presentan ese tipo de anisotropía cúbica, sería un buen indicio de que el universo tiene topología de 3-toro plano.

A la vez un cruce de datos esperados para una topología toroidal con los del fondo de microondas del CMB parece no dar una buena correlación, dando falsos positivos.

http://arxiv.org/pdf/1412.5355v2.pdf.

Sí, pero eso no significa que tenga esa topología, sino que, de tenerla, su radio es mayor que la superficie del fondo cósmico.

[Cipriano]

Re: Sobre la luz.

Admitamos que el universo visto como un conjunto de puntos presentara una frontera, conforme a la definición topológica de frontera. Cualquier razonamiento basado en esta hipótesis resulta desde mi punto de vista absurdo, salvo que dicha frontera se expandiera a una velocidad enorme, cualquier razonamiento basado en esa hipótesis parece conducir a situaciones tan absurdas que resultan en mi opinión imposibles. No es muy ortodoxo el razonamiento, lo sé, pero la verdad es que no puedo imaginar como sería un universo que tuviera una frontera con ... la nada.

Honestamente para mi el universo no debería tener puntos frontera. Ni un toro, ni una esfera ni nada que sea limitado en alguna dirección, de manera que un rayo de luz debería poder viajar indefinidamente en él.

Salu2

[Alriga]

Re: Sobre la luz.

… Admitamos que el universo visto como un conjunto de puntos presentara una frontera, conforme a la definición topológica de frontera …

No conozco ninguna teoría cosmológica que afirme eso. La Relatividad General+el Principio Cosmológico conducen a soluciones en las que la parte espacial puede ser de curvatura positiva, nula o negativa, pero siempre sin fronteras. No puede haber puntos frontera, pues en ellos no se cumpliría la isotropía.

… para mí el universo no debería tener puntos frontera. Ni un toro, ni una esfera ni nada que sea limitado en alguna dirección, de manera que un rayo de luz debería poder viajar indefinidamente en él …

Aquí tienes un malentendido. Cuando se pone como ejemplo de una topología 3D una esfera o un toro que son 2D, la analogía está restringida a la superficie de la esfera, (o el toro) Ni la superficie de la esfera ni la del toro tienen frontera. Ambas son ilimitadas, aunque finitas.
Por la superficie de una esfera un rayo de luz seguiría una geodésica, (distancia más corta entre dos puntos) que en ese caso es un círculo. Viajaría indefinidamente por la esfera, solo que al cabo de un tiempo volvería a pasar por los mismos puntos una y otra vez.
Entonces, si la sección 3D espacial del Universo tiene curvatura positiva sería análogo a la esfera, ilimitado pero finito. Un rayo de luz viajando en “línea recta” al cabo de mucho tiempo volvería a pasar por su punto de partida.

En cambio, si tiene curvatura nula o negativa, los análogos 2D serían un plano y un paraboloide hiperbólico. Además de ser ilimitado, el Universo sería infinito. Las mejores medidas de curvatura de las que disponemos, dan el valor cero.

Sobre el tema del Universo toroidal, sinceramente no sé mucho. Creo que la idea surgió de lo que cada vez con más fuerza parece que fue un error: se malinterpretaron los resultados de las medidas diferenciales de temperatura del Fondo Cósmico de Microondas realizados por COBE viendo en ellas anisotropía en el Universo. Para interpretar esa anisotropía se hipotetizó el universo tri-tórico. Sin embargo mejores medidas y análisis recientes más cuidadosos, apuntan a todo lo contrario, a que el universo es isótropo y por lo tanto dejan sin justificación experimental el universo tri-tórico: http://forum.lawebdefisica.com/threa...a-del-Universo

... El toro plano en el que estaba pensando se podría visalizar de la siguiente forma: imagínate que estás en el centro de un cubo y, por tanto, tienes una cara del cubo al frente, otra atrás, otra a la derecha, otra arriba y otra abajo. Si te desplazas hacia adelante y cruzas la cara de enfrente, inmediatamente apareces en el mismo cubo, pero por la cara de atrás, y en forma análoga sucede con las otras caras: si atraviesas la de arriba, apareces en la de abajo y si atraviesas la de la izquierda, apareces por la derecha. Localmente, se trata de una geometría euclídea (curvatura nula) homogénea, pero tengo dudas sobre si es isótropa ...

El toro bidimensional no es evidentemente isótropo. Y entiendo que el tridimensional tampoco lo puede ser: si lo fuera debería ser una solución de las Ecuaciones de Fridman, que proporcionan todas las soluciones posibles de las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General + Homogeneidad e Isotropía, y yo no he visto nunca el tri-toro como solución en ningún libro.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Sobre la luz.

[FONT=arial]

El toro bidimensional no es evidentemente isótropo.

[/FONT][FONT=arial]Bueno,mis conocimientos sobre tema también son escasos, pero no me parece tan evidente. Quizás si hablamos de la superficie bidimensional de un toro embebida en un espacio tridimensional euclídeo (vamos, una simple rosquilla), evidentemente no es isótropa porque su curvatura es diferente en cada dirección. Sin embargo, matemáticamente, no es la única opción: son posibles espacios toroidales con curvatura nula, como el que se describe aquí o, más rigurosamente, aquí. También los mencionan en los trabajos que citó Richard aquí.[/FONT]
[FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]

si lo fuera debería ser una solución de las Ecuaciones de Fridman, que proporcionan todas las soluciones posibles de las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General + Homogeneidad e Isotropía, y yo no he visto nunca el tri-toro como solución en ningún libro.

Supongo que conoces el Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler. En la página 725 dice:[/FONT]

Nonuniqueness of Topology
Although the demand for homogeneity & isotropy determines completely the local geometric properties of a hypersurface of homogeneity up to the single disposible factor k, it leaves the global topology of the hypersurface undetermined. The above choice of topology are the most straightforward. But other choices are possible.
This arbitrariness shows most simply when the hypersurface is flat (k=0). Write the full spacetime metric in cartesian coordinates as

$ds^2=-dt^2+a^2(t)(dx^2+dy^2+dz^2) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ (16)$
[FONT=arial]
Then take a cube of coordinate edge L[/FONT]
[FONT=arial]
0 < x < L, 0 < y < L, 0 < z < L,[/FONT]
[FONT=arial]
and identify opposite faces (process similar to rolling up a sheet of paper into a tuve and gluing its edges together; see last three paragraphs of 11.5 for detailed discussion). The resulting geometry is still described by the line element 16, but now all three spatial coordinates are 'cyclic', like the $\phi$ coordinate of a spherical coordinate system:
[/FONT]
[FONT=arial](t,x,y,z) is the same event as (t,x+L,y+L,z+L)
[/FONT]
[FONT=arial]The homogeneous hypersurfaces are now the 3-toruses of finite volume[/FONT]
[FONT=arial]
$V=a^3L^3$[/FONT]

Esto no es otra cosa que el 3-toro plano del que hemos venido hablando.

[Alriga]

Tri-Toro

El toro bidimensional no es evidentemente isótropo.

... Bueno, mis conocimientos sobre tema también son escasos, pero no me parece tan evidente. Quizás si hablamos de la superficie bidimensional de un toro embebida en un espacio tridimensional euclídeo (vamos, una simple rosquilla), evidentemente no es isótropa porque su curvatura es diferente en cada dirección. Sin embargo, matemáticamente, no es la única opción: son posibles espacios toroidales con curvatura nula, como el que se describe aquí o, más rigurosamente, aquí. También los mencionan en los trabajos que citó Richard aquí ...

La redacción tan poco clara de ese párrafo me dispersa, pero intentaré puntualizar lo que yo quería decir: El toro bidimensional al que me refería es la superficie 2D de un donut en nuestro espacio normal 3D. Si me hubiese querido referir a algo diferente hubiese precisado más. Y es evidente que esa superficie 2D no es isótropa.

Entiendo que dices que en cambio, el tri-toro sí es isótropo, pues entonces si es así, la analogía con el donut es como mínimo "pobre" o "débil" en ese sentido.

… Supongo que conoces el Gravitation de Misner, Thorne y Wheeler ...

No, no conozco ese libro.

Las ecuaciones de Fridman dan tres posibles geometrías para el Universo:

- En todos los puntos k>0, (“símil esférico”)

- En todos k=0 (“símil plano”) y

- En todos k<0, (“símil paraboloide hiperbólico”)

Nonuniqueness of Topology
Although the demand for homogeneity & isotropy determines completely the local geometric properties of a hypersurface of homogeneity up to the single disposible factor k, it leaves the global topology of the hypersurface undetermined. The above choice of topology are the most straightforward. But other choices are possible.
This arbitrariness shows most simply when the hypersurface is flat (k=0). Write the full spacetime metric in cartesian coordinates as

$ds^2=-dt^2+a^2(t)(dx^2+dy^2+dz^2) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ (16)$

Then take a cube of coordinate edge L

0 < x < L, 0 < y < L, 0 < z < L,

and identify opposite faces (process similar to rolling up a sheet of paper into a tuve and gluing its edges together; see last three paragraphs of 11.5 for detailed discussion). The resulting geometry is still described by the line element 16, but now all three spatial coordinates are 'cyclic', like the $\phi$ coordinate of a spherical coordinate system:

(t,x,y,z) is the same event as (t,x+L,y+L,z+L)

The homogeneous hypersurfaces are now the 3-toruses of finite volume

$V=a^3L^3$

Lo que a mí me parece entender de ese párrafo, (gracias por ponerlo), es que dice que en el caso particular k=0, aunque todos los puntos sean euclideos localmente, la estructura global del Universo admite 2 soluciones:

1. Universo 3D euclídeo, ( “geometría plana”, dos geodésicas paralelas se mantienen siempre a la misma distancia, la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es siempre $\pi$ ) infinito en todas direcciones. Es la solución natural de la que hablan todos los libros. Es la que cuenta con mayor respaldo observacional.

2. Universo 3D euclídeo, ( “geometría plana”, dos geodésicas paralelas se mantienen siempre a la misma distancia, la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es siempre $\pi$ ) pero finito, si vas en cualquier dirección vuelves al punto de partida, a esa geometría global se le llama Tri-Toro. (Si es así, me alegro de haberlo entendido y te doy las gracias)

Si todo lo que he entendido fuese correcto, (no estoy seguro), el Tri-Toro ese yo lo veo como una interesante curiosidad, pero tan "fea" y "poco natural" que necesitaría mucho respaldo observacional para ser tenido seriamente en cuenta.

Saludos.

[skynet]

Re: Sobre la luz.

Aquí tienes un malentendido. Cuando se pone como ejemplo de una topología 3D una esfera o un toro que son 2D, la analogía está restringida a la superficie de la esfera, (o el toro) Ni la superficie de la esfera ni la del toro tienen frontera. Ambas son ilimitadas, aunque finitas.
Por la superficie de una esfera un rayo de luz seguiría una geodésica, (distancia más corta entre dos puntos) que en ese caso es un círculo. Viajaría indefinidamente por la esfera, solo que al cabo de un tiempo volvería a pasar por los mismos puntos una y otra vez.
Entonces, si la sección 3D espacial del Universo tiene curvatura positiva sería análogo a la esfera, ilimitado pero finito. Un rayo de luz viajando en “línea recta” al cabo de mucho tiempo volvería a pasar por su punto de partida.

pero no hablamos de superficie, sino de volumen......¿te refieres entonces a una esfera 4D, con volumen finito y sin fronteras?....si te refieres a una esfera 3D su volumen es finito, pero tiene fronteras.

[Alriga]

Re: Sobre la luz.

pero no hablamos de superficie, sino de volumen......¿te refieres entonces a una esfera 4D, con volumen finito y sin fronteras?....si te refieres a una esfera 3D su volumen es finito, pero tiene fronteras.

Perdona, tal vez no me he explicado muy bien. Lo que he intentado decir es que si el Universo tuviese curvatura positiva, los puntos de su espacio tridimensional tendrían propiedades análogas a las que tienen los puntos de la superficie de una esfera:

-Dos líneas paralelas, (geodésicas), prolongadas lo suficiente se cortarían siempre.

-La suma de los ángulos interiores de un triángulo sería mayor que dos rectos.

-Viajando siempre en línea recta, acabarías volviendo al punto de partida. (Análogamente a una superficie esférica, no habría fronteras, pero la cantidad de espacio sería finita)

Saludos.