Geometría del Universo

[Jaime Rudas]

Re: Geometría del Universo

Si los cilindros son isométricos con el plano, ¿hay alguna manera en que el planohabitante pueda de distinguir si vive en un plano o en un cilindro parabólico?

Se me ocurre lo siguiente: si descubres que hay geodésicas que cierran, estás en un cilindro (o en un cono).

Edito:
Lo que no creo que se pueda es distinguir entre un plano y la proyección de una cueva abierta (y=cos(x) en el espacio tridimensional, por ejemplo).

[Richard R Richard]

Re: Geometría del Universo

Cito un parrafo del libro Relatividad general de Bert Jannsen pag 169

Se relaciona con lo que estan debatiendo....

Finalmente,merece la pena enfatizar que las ecuaciones de Einstein determinan la métrica gμν
y por lo tanto la geometría local del espacio, pero no determinan la topología de las soluciones,
que es una propiedad global. La topología del espacio viene determinada (entre otras cosas) por
las condiciones de contorno, cosa que no entra en las ecuaciones de Einstein, sino que hay que
poner a mano. Dos espacios pueden tener la misma estructura geométrica, pero una topología
distinta. Un ejemplo muy sencillo es el caso del espacio plano.
Tanto el espacio de Minkowski cuadrimensional $\mathbb{R}^1_3$

$$ds^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2$$

como el producto directo del espacio de Minkowski bidimensional con el toro $\mathbb{R}^1_1 \times T^2<br />$

$$ds^2 = dt^2 - dx^2 - R^2_1d\theta^2 - R^2_2d\phi^2,$$

con R1 y R2 los radios del toro y $\theta, \phi \in [0, 2\pi],$ son soluciones de las ecuaciones del vacío y ambas
son planas, ya que Rμνρλ = 0. A escalas ℓ ≪ R1,R2, un observador no es capaz de ver la diferencia
entre estas dos soluciones, ya que en cada punto se puede hacer el cambio de coordenadas
local $y = R1\theta, z = R2\phi,$ de modo que las métricas de las dos soluciones son la misma. Sin embargo
la topología es muy diferente. Por ejemplo, cualquier curva en $\mathbb{R}^1_3$ se puede contraer a un
punto, mientras que una curva enroscada a lo largo de $\theta$ en $\mathbb{R}^1_1 \times T^2$ no es contraíble. En general
es difícil determinar la estructura topológica (como la presencia de asas o ciclos no-triviales),......

Espero que les sea útil el dato, les sigo leyendo...

[Alriga]

Re: Geometría del Universo

Se me ocurre lo siguiente: si descubres que hay geodésicas que cierran, estás en un cilindro (o en un cono).

Ya, pero si he particularizado a “cilindro parabólico” ha sido precisamente para puntualizar que el planihabitante no ha encontrado ni puede encontrar geodésicas cerradas.

Cito un parrafo del libro Relatividad general de Bert Jannsen pag 169 … Se relaciona con lo que estan debatiendo.... Espero que les sea útil el dato, les sigo leyendo...

… Finalmente, merece la pena enfatizar que las ecuaciones de Einstein determinan la métrica gμν y por lo tanto la geometría local del espacio, pero no determinan la topología de las soluciones, que es una propiedad global...

Gracias Richard, el texto me es muy útil.

Ya tenía claro previamente que cada medida de los ángulos de un triángulo que hace el planihabitante solo le puede dar información de la geometría local en la zona de ese triángulo. Por eso decía en mi post de Planilandia que “Hago triángulos en muchas zonas de mi mundo. Y en ellas … la suma de los ángulos internos siempre …”
Si todas las medidas locales que hago son iguales, podría arriesgar un “planiprincipo cosmológico” según el cual mi Planilandia es homogénea e isótropa e inferir que la geometría local probablemente coincide con la global.

¿Se te ocurre alguna manera por la que el planohabitante pudiera distinguir con sus medidas locales múltiples entre un plano y un cilindro parabólico?

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Geometría del Universo

Cito un parrafo del libro Relatividad general de Bert Jannsen pag 169

Se relaciona con lo que estan debatiendo...

Se relaciona, sí: el $T^2$ que menciona no es otra cosa que el toro plano bidimensional del que habláramos antes.

Ya, pero si he particularizado a “cilindro parabólico” ha sido precisamente para puntualizar que el planihabitante no ha encontrado ni puede encontrar geodésicas cerradas.

Ah, ya veo: no sabía que a esto también se le llamaba cilindro.

¿Se te ocurre alguna manera por la que el planohabitante pudiera distinguir con sus medidas locales múltiples entre un plano y un cilindro parabólico?

Opino que no hay forma.

[Richard R Richard]

Re: Geometría del Universo

Con respecto al tema de fondo ,me parece que si la curvatura de la superficie es nula, dos curvas geodésicas paralelas nunca se cortarían entre sí, y lo recíproco también sería cierto si las geodésicas paralelas se cortan entonces hay curvatura. Pero claro, demostrarlo se haría por geometría diferencial y álgebra tensorial, de lo que solo he leído y releído un libro, por lo que les aporto lo que me ha quedado en mente.

¿Se te ocurre alguna manera por la que el planohabitante pudiera distinguir con sus medidas locales múltiples entre un plano y un cilindro parabólico?

Una forma sería por el concepto de distancia, dos puntos en sendas curvas geodésicas paralelas, y que por ambos puntos pase una recta ortogonal a ambas geodésicas, las comparas con la distancia a otros dos puntos separados un distancia arbitraria a partir esos puntos por ambas geodésicas, si la distancia entre estos dos nuevos puntos es menor o mayor dependerá de que tipo de superficie se trate, Esto se me ha ocurrido , supongo que habra algunas geodésicas donde esto sera trivial, pero con conseguir una que no lo sea podría marcar la diferencia.

Ejemplo la distancia entre dos hélices en un cilindro recto es constante si tienen el mismo angulo, pero intuyo que en un cilindro hiperbólico o un cilindro parabólico no, aunque no estoy seguro. Pensando mientras escribo , una superficie sin curvatura podría representarse como una hoja de papel, si marco 4 puntos como describí, y doblo el papel como me plazca, puedo acercar los puntos, pero me parece que la distancia se mide por la métrica (por sobre la superficie del papel y no atravesando el aire) por lo que la distancia permanecerá invariante.

Ahora bien con la idea del toro me parece que no ocurre lo mismo , tomando rectas que no se cortan apuntando al radio principal mayor ,un habitante de planilandia se daría cuenta , pues no habría teóricamente la misma distancia entre rectas cuando alcance el radio interior que cuando alcance que el exterior, pero no se como demostrarlo.

Es decir en una parte del donut la distancia es $\theta r_{int}$ y de otro $\theta r_{ext}$,para el mismo $\phi$ lo que no se es si la métrica compensa esta diferencia y mantiene constante la distancia entre puntos. Yo supongo que no porque sino todas las circunferencias medirían siempre la misma distancia independientemente del radio.


Y con respecto a la geometría del universo, se debería comparar la distancia teórica entre dos puntos muy distantes que pertenezcan al mismo plano tangente que la tierra, y la que reportan entre si tales tales puntos, . Esto es para comparar la geometría local con la topológica a grandes escalas, si la que se calcula en el plano tangente es menor la geometría sería hiperbólica o de curvatura negativa y si es mayor parabólica o de curvatura positiva. Y si da igual ....seguimos participando... para tener algo fiables los puntos deberían estar a varios años luz uno de otro, pero como aun no nos hemos alejado mucho....la voyager solo llego hasta una distancia de 135 unidades astronómicas (20 195 730 000 km) del Sol, en junio de 2016, estos km son solo unas 18 hs luz...

saludos

[Weip]

Re: Geometría del Universo

Gracias por tu esfuerzo Weip. Igual me he liado demasiado.

No te has liado no, son preguntas que yo también me he hecho y son importantes.

¿hay alguna manera en que el planohabitante pueda de distinguir si vive en un plano o en un cilindro parabólico?

Con las condiciones que has exigido no. De hecho ese el problema real que tenemos nosotros con el universo pero el ser humano tiene más esperanzas que el planohabitante y es que nosotros tenemos el fondo cósmico de microondas y en él hay información sobre la geometría global del universo y de su topología.

Con respecto al tema de fondo ,me parece que si la curvatura de la superficie es nula, dos curvas geodésicas paralelas nunca se cortarían entre sí, y lo recíproco también sería cierto si las geodésicas paralelas se cortan entonces hay curvatura. Pero claro, demostrarlo se haría por geometría diferencial y álgebra tensorial, de lo que solo he leído y releído un libro, por lo que les aporto lo que me ha quedado en mente.

Y en ese caso la superficie está contenida en un plano. Lo digo por escribirlo explícitamente y que no se nos pasen detalles, que a mí me pasa mucho.

Una forma sería por el concepto de distancia, dos puntos en sendas curvas geodésicas paralelas, y que por ambos puntos pase una recta ortogonal a ambas geodésicas, las comparas con la distancia a otros dos puntos separados un distancia arbitraria a partir esos puntos por ambas geodésicas, si la distancia entre estos dos nuevos puntos es menor o mayor dependerá de que tipo de superficie se trate, Esto se me ha ocurrido , supongo que habra algunas geodésicas donde esto sera trivial, pero con conseguir una que no lo sea podría marcar la diferencia.

Es un buen intento pero Alriga dice que por mucho que prolongamos las rectas, éstas nunca se cortan. Entiendo que con esto Alriga nos quiere decir que no tenemos suficiente precisión como para medir las diferencias entre las distancias que planteas (la superficie es demasiado grande). Aunque a ver si te da el visto bueno.

Para supernena: Esta mañana se me ha ocurrido algo que igual suena más lógico. ¿Me aceptarías como argumento que para medir el volumen de, por ejemplo, una caja, no es necesario salir fuera del universo (si es que eso tiene sentido)? Si se puede hablar de estas nociones métricas sin salir de la superficie entonces podemos hablar de curvatura sin salir de la superficie.

¡Saludos a todos!

[Jaime Rudas]

Re: Geometría del Universo

La herramienta que se utiliza para estudiar el Universo son las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General RG con la restricción del Principio Cosmológico PC, = el espacio es homogéneo e isótropo. ( RG+PC=Ecuaciones de Fridman ) Esta herramienta conduce a 3 posibles soluciones:

1. Universo finito e ilimitado, es decir sin bordes. (Curvatura positiva)

2. Universo infinito y plano. (Curvatura nula)

3. Universo infinito de curvatura negativa.

Cuando hace poco alguien preguntó sobre los tensores, recordé que quizás la primera vez que leí sobre ellos había sido en un curioso librito de Aleksandr Fridman: El mundo como espacio y tiempo. Ahora, después de muchos años, volví a ojearlo y me topé con un, para mí, sorprendente pasaje:

Como conclusión sobre el asunto de la estructura del universo, nos queda solo detenernos en un malentendido que se repite no sólo en artículos y libros de carácter divulgativo, sino en obras más serias y especializadas que tratan del principio de la relatividad. Me refiero a la notable cuestión sobre la finitud del universo.
Se afirma que, si el universo tiene una curvatura positiva constante, se puede concluir que es finito, que una recta tendría una longitud finita, que el volumen del universo sería también finito, etc. Estas afirmaciones pueden estar basadas o en un malentendido o en el supuesto de hipótesis adicionales. De ninguna manera resulta de la métrica del espacio y solo la métrica puede determinarse mediante las ecuaciones globales. Un simple ejemplo pueden ayudarnos a entenderlo. La superficie de un cilindro y una superficie plana tienen la misma métrica, sin embargo, en el cilindro hay rectas de longitud finita (circunferencias), mientras que no hay tales rectas en el plano.

El asunto de la finitud del espacio no sólo depende de su métrica, sino también de las condiciones bajo las cuales dos sistemas de coordenadas definen un mismo punto. Esta condición es en gran medida arbitraria; incluso su limitación racional, que no explicaré aquí, deja suficiente margen para la arbitrariedad en cuanto a determinar la identificación o diferenciación de puntos en el espacio. Lo anterior significa que la sola métrica del espacio no nos permite resolver el problema de la finitud del universo. Para resolverlo, se requieren estudios teóricos y experimentales adicionales. Por supuesto, considerando algunas limitaciones de compromiso, ya no resultaría imposible resolver el problema de la finitud del universo. Supongamos que este problema lo tratan de resolver seres que, como sombras, viven en la superficie de una esfera. Lo podrían resolver si, al enviar un viajero que mantuviera siempre la misma dirección, [...] resultara que en algún momento termina llegando al mismo punto de partida [...]. Sin embargo, para establecer que, en efecto, se trata del mismo punto y no de puntos diferentes con iguales características, debe asumir criterios de compromiso. Con la sola métrica, no hubiera sido posible resolver el problema de la finitud.

Así, pues, por el solo hecho de tener una curvatura constante y positiva, no se puede, de ninguna forma, concluir que el universo sea finito.

Nota: no tengo la versión en español, por lo que la traducción es mía.

[Richard R Richard]

Re: Geometría del Universo

Hola jaime

Las condiciones adicionales son la isotropía, al parecer en todas las direcciones habría la misma o ninguna curvatura.Como hemos hablado un universo toroidal, o cilíndrico , no tendrían las mismas propiedades en todas las direcciones...

Y otra la finitud de las observaciones, es decir no podemos saber que hay mas alla del universo observable, por lo que las mediciones locales pueden llegar a ser erróneas al extrapolar un modelo equivocado.

Ahora bien si en momento se halla un patrón repetido de cúmulos, supercúmulos etc, o periódico quiere decir que hemos vuelto a un principio, indicando un universo finito pero sin limites.

[Jaime Rudas]

Re: Geometría del Universo

Las condiciones adicionales son la isotropía, al parecer en todas las direcciones habría la misma o ninguna curvatura.

No me parece: según entiendo, las isotropía es una condición intrínseca a la métrica de FLRW, por lo que no creo que sea a eso a lo que se refiere Fridman. Además, hace énfasis en que la condición adicional es el criterio que utilizamos para identificar o diferenciar los puntos. O sea, el criterio que se utiliza para determinar que el punto de partida es, en efecto, el mismo que el punto de llegada.

Como hemos hablado un universo toroidal, o cilíndrico , no tendrían las mismas propiedades en todas las direcciones...

Desde el punto de vista de la métrica, sí podría ser. O sea, el espacio euclídeo tiene exactamente la misma métrica que la del 3-toro plano.

Y otra la finitud de las observaciones, es decir no podemos saber que hay mas alla del universo observable, por lo que las mediciones locales pueden llegar a ser erróneas al extrapolar un modelo equivocado.

Totalmente de acuerdo: el universo observable bien puede ser totalmente homogéneo e isótropo, pero eso no impide, para nada, que se trate solo de una característica local del del universo total.

Ahora bien si en momento se halla un patrón repetido de cúmulos, supercúmulos etc, o periódico quiere decir que hemos vuelto a un principio, indicando un universo finito pero sin limites.

El punto de Fridman es que la sola métrica no nos puede confirmar que ese patrón repetitivo se trate efectivamente del mismo cúmulo o de varios cúmulos que se parecen mucho.